ガンマ関数で表せる二項係数の4乗が付いた級数

ここでは,

を示す. まず,
\begin{align*} \kappa(x):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}n^2}{2^{4n}}x^n \end{align*}
と定義する. 以下のような二次の変換公式がよく知られている.

この記事 で示した,

\begin{align*} \frac{\pi^4}{3\Gamma\left(\frac 34\right)^8}=\int_{0< s< u<1}\frac{\kappa(s)}{\sqrt{s(1-s)}}\,ds\frac{\kappa(1-u)}{\sqrt{u(1-u)}}\,du \end{align*}
において, $s\to\frac{4s}{(1+s)^2}, u\to\frac{4u}{(1+u)^2}$として, 二次の変換公式を用いると,
\begin{align*} &\int_{0< s< u<1}\frac{\kappa(s)}{\sqrt{s(1-s)}}\,ds\frac{\kappa(1-u)}{\sqrt{u(1-u)}}\,du\\ &=2\int_{0< s< u<1}\frac{\kappa(s^2)}{\sqrt{s}}\,ds\frac{\kappa(1-u^2)}{\sqrt{u}}\,du\\ &=\frac 12\int_{0< s< u<1}s^{-3/4}\kappa(s)\,ds u^{-3/4}\kappa(1-u)\,du\\ &=2\int_0^1\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}n^2}{2^{4n}(4n+1)}u^{n-1/2}\kappa(1-u)\,du\\ &=2\pi\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}n^4}{2^{8n}(4n+1)} \end{align*}
となるから,
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\binom{2n}n^4}{2^{8n}(4n+1)}=\frac{\pi^3}{6\Gamma\left(\frac 34\right)^8} \end{align*}
が示される.