ガンマ関数で表せる二項係数の4乗が付いた級数

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ここでは,

$\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{4}}{2^{8 n} (4 n + 1)} = \frac{π^{3}}{6 Γ {(\frac{3}{4})}^{8}} \end{array}$

を示す. まず,
$\begin{array}{r} κ (x) := \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2}}{2^{4 n}} x^{n} \end{array}$
と定義する. 以下のような二次の変換公式がよく知られている.

二次の変換公式

$\begin{aligned} \frac{1}{1 + x} κ (\frac{4 x}{(1 + x)^{2}}) & = κ (x^{2}) \\ \frac{2}{1 + x} κ (1 - \frac{4 x}{(1 + x)^{2}}) & = κ (1 - x^{2}) \end{aligned}$

この記事で示した,

$\begin{array}{r} \frac{π^{4}}{3 Γ {(\frac{3}{4})}^{8}} = \int_{0 < s < u < 1} \frac{κ (s)}{\sqrt{s (1 - s)}} d s \frac{κ (1 - u)}{\sqrt{u (1 - u)}} d u \end{array}$
において, $s \to \frac{4 s}{(1 + s)^{2}}, u \to \frac{4 u}{(1 + u)^{2}}$ として, 二次の変換公式を用いると,
$\begin{aligned} \int_{0 < s < u < 1} \frac{κ (s)}{\sqrt{s (1 - s)}} d s \frac{κ (1 - u)}{\sqrt{u (1 - u)}} d u \\ = 2 \int_{0 < s < u < 1} \frac{κ (s^{2})}{\sqrt{s}} d s \frac{κ (1 - u^{2})}{\sqrt{u}} d u \\ = \frac{1}{2} \int_{0 < s < u < 1} s^{- 3 / 4} κ (s) d s u^{- 3 / 4} κ (1 - u) d u \\ = 2 \int_{0}^{1} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2}}{2^{4 n} (4 n + 1)} u^{n - 1 / 2} κ (1 - u) d u \\ = 2 π \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{4}}{2^{8 n} (4 n + 1)} \end{aligned}$
となるから,
$\begin{array}{r} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{4}}{2^{8 n} (4 n + 1)} = \frac{π^{3}}{6 Γ {(\frac{3}{4})}^{8}} \end{array}$
が示される.