指定したx座標にピークを持つDyck路の数はカタラン数

$n$は非負整数とする．二次元平面${\mathbb{R}}^2$の二つのベクトル$\mathsf{U}\triangleq (1,1),\mathsf{D}\triangleq (1,-1)$の列
$$\begin{array}{r}\omega =({\omega }_1,\dots ,{\omega }_{2n}){\omega }_i\in \{\mathsf{U},\mathsf{D}\}\end{array}$$
であって，以下の二条件

• 任意の部分和の$y$座標が非負である．つまり
  $$\begin{array}{r}(x_r,y_r)\triangleq \sum _{i=1}^r{\omega }_i\end{array}$$
  と定義すると$y_r\ge 0(r=1,\dots ,2n)$が成り立つ．
• $y_{2n}=0$が成り立つ．
  を満たすものを，サイズ$n$のDyck路という．

サイズ$n$のDyck路の個数は，カタラン数$C_n\triangleq \frac{1}{n+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$であることが知られている．

Dyck路$\omega$に現れる$\mathsf{UD}$という部分列のことを，ピークという．

下の図1を見るとわかりやすいと思う．Dyck路は下図のように図示され，線の高さが極大な場所がピークである．

サイズ$10$のDyck路$\mathsf{UUDUUDDDUD}$の図示．赤い矢印で示した部分がピーク．

特定の$x$座標にピークを持つDyck路の数は以下のように求められる．