部分関手

$C$ を圏とする．
$C$ 上の前層，すなわち関手 $C^{op} \to Set$ とそれらの間の自然変換がなす圏を $\hat{C}$ とかく．
評価関手 $\hat{C} \times C \to Set$ を $ev$ とかく．
米田埋め込み $C \to \hat{C}$ を $y$ とかく．
部分対象はモノ射の同型類として定義する．

前層の圏のモノ射

$\hat{C}$ の射 $ι : Q \to P$ に対して，以下は同値である．

$ι$ は $\hat{C}$ のモノ射 $Q \to P$ である．
任意の $a \in Obj (C)$ に対して， $ι_{a}$ は $Set$ のモノ射（すなわち単射） $Q (a) \to P (a)$ である．

(1)⇒(2) $a \in Obj (C)$ を任意にとる．米田の補題より，自然同型 $θ : {Hom}_{\hat{C}} (y (a), -) \to ev (-, a)$ をとれる． $θ$ の自然性より，
${Hom}_{\hat{C}} (y (a), Q) θ_{Q} ι \circ - = Q (a) ι_{a} {Hom}_{\hat{C}} (y (a), P) θ_{P} P (a)$
が成り立つ． $ι \circ -$ は単射であるから， $ι_{a}$ も単射である．米田の補題って偉いな．
(2)⇒(1) 明らか．