部分関手

$\C$を圏とする．
$\C$上の前層，すなわち関手$\op\rightarrow\Set$とそれらの間の自然変換がなす圏を$\psh$とかく．
評価関手$\psh\times\C\rightarrow\Set$を$\ev$とかく．
米田埋め込み$\C\rightarrow\psh$を$\y$とかく．
部分対象はモノ射の同型類として定義する．

前層の圏のモノ射

$\psh$の射$\iota\colon Q\rightarrow P$に対して，以下は同値である．

$\iota$は$\psh$のモノ射$Q\rightarrow P$である．
任意の$a\in\Obj(\C)$に対して，$\iota_a$は$\Set$のモノ射（すなわち単射）$Q(a)\rightarrow P(a)$である．

(1)⇒(2) $a\in\Obj(\C)$を任意にとる．米田の補題より，自然同型$\theta\colon\Hom(\y(a),-)\rightarrow\ev(-,a)$をとれる．$\theta$の自然性より，
\begin{equation} \mat{ \Hom(\y(a),Q)\ar[r]^{\theta_Q}\ar[d]_{\iota\circ-}\ar@{}[rd]|{=} & Q(a)\ar[d]^{\iota_a}\\ \Hom(\y(a),P)\ar[r]_{\theta_P} & P(a) } \end{equation}
が成り立つ．$\iota\circ-$は単射であるから，$\iota_a$も単射である．米田の補題って偉いな．
(2)⇒(1) 明らか．

部分関手

$P\in\Obj(\psh)$の部分対象の標準的な代表元は$P$の部分関手によって与えられる．

$Q\in\Obj(\psh)$が$P\in\Obj(\psh)$の部分関手（subfunctor）であるとは，以下が成り立つことをいう．

任意の$a\in\Obj(\C)$に対して，$Q(a)\subset P(a)$．
$\C$の任意の射$f\colon b\rightarrow a$に対して，
\begin{equation} \mat{ Q(a)\ar[r]^\inc\ar[d]_{Q(f)}\ar@{}[rd]|{=} & P(a)\ar[d]^{P(f)}\\ Q(b)\ar[r]_\inc & P(b). } \end{equation}

投稿日：1月21日

更新日：1月28日