京大数学院試過去問解答例(2020専門01)

$p=3$のときは$p$-群の可解性からすぐに従う。

$p>3$の場合を考える。$G$の$p$-Syllow部分群$H$をとったとき、Syllowの定理からこれは正規部分群である。よって完全列
$$0\to H\to G\to G/H\to 0$$
が取れ、$H$及び$G/H$はそれぞれ$p$-群及び$3$-群なので、いずれも可解であるから$G$の可解性が従う。

$p=2$の場合を考える。帰納法で示す。$n=1$のとき、$G$は$3$次対称群かアーベル群であるから可解である。次に$n\le k$のとき、位数$2^{n}3$の群が可解であったとする。ここで$G$を位数$2^{k+1}3$の群とする。まずSyllowの定理から$2$-Syllow部分群は$1$個または$3$個である。前者の場合、これを$H$とすると、$H$及び$G/H$が$2$-群及び$3$-群で可解なので、$G$の可解性が従う。以下後者の場合を考える。$2$-Syllow部分群のひとつを$H$とし、剰余類の集合$G/H$を考える。このとき左作用$G\curvearrowright G/H$から準同型$G\to S_3$が誘導される。$G$の位数は$\ge 12$であるから、この準同型は非自明な核$K$を持つ。ここで完全列
$$0\to K\to G\to G/K\to 0$$
が取れる。$K$は$H$の部分群であるから可解であり、同時に$G/K$も帰納法の仮定から可解である。よって$G$の可解性が従う。