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格子点と体積の関係

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はじめに

皆さんは以下のような問題に出会したことが一度はあると思う。

1998年東大理系前期第二問

$n$ を正の整数とする。連立不等式
${\begin{aligned} x + y + z ≦ n \\ - x + y - z ≦ n \\ x - y - z ≦ n \\ - x - y + z ≦ n \end{aligned}$
を満たす $x y z$ 空間の点 $P (x, y, z)$ で, $x, y, z$ が整数であるものの個数を $f (n)$ とおく。極限
$\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \frac{f (n)}{n^{3}} \end{array}$
を求めよ。

答えは, $\frac{8}{3}$ である。 $n = 1$ のときの連立不等式が満たす点 $(x, y, z)$ で出来上がる四面体の体積である。実は, 一般的にこのような事実は成り立ちます。格子点を数え上げることは, 体積を計算するようなものであると習った人もいるでしょう。正確に主張を述べると

$A \subset R^{3}$ を体積確定集合（立方体や球などの体積が求まる図形で後述の定義8を参照）とし, $S (A)$ を $A$ の境界上もしくは内部にある格子点全体, そして $Vol (A)$ を $A$ の体積とする。このとき
$\begin{array}{r} Vol (A) = lim_{n \to \infty} \frac{| S (n A) |}{n^{3}} . \end{array}$

です。 $R^{3}$ を $R^{d}$ で置き換えても成り立ちます。証明は, 大学一年生のリーマン積分の正確な定義が分かっていれば問題ありません。

内部, 外部, 境界

内部, 外部, 境界という言葉を数学的に厳密に理解していなくても今回困ることはないので, 読み飛ばしてもらっても構わないが, 定義は以下の通りである。

説明のため
$\begin{array}{r} B_{3} (a; ε) : = {x \in R^{3} ∣ | x - a | < ε} \end{array}$
とする。

$A \subset R^{3}$ の内部, 外部, 境界を以下で定める。

点 $a \in R^{3}$ が
$\begin{array}{r} \exists ε > 0, B_{3} (a; ε) \subset A \end{array}$
であるとき, $a$ を $A$ の内点という。 $A$ の内点全体を内部といい, $A^{i}$ と書く。

また, $A$ の補集合 $A^{c}$ の内部を $A$ の外部といい, $A^{e}$ で表し, その元を外点という。

最後に, $A$ の内点でも外点でもない点全体を $A$ の境界といい, $\partial A$ と書く。

当然
$\begin{array}{r} A \subset A^{i} ⊔ \partial A \end{array}$
と
$\begin{array}{r} R^{3} = A^{i} ⊔ \partial A ⊔ A^{e} \end{array}$
が成り立つ。

リーマン積分の復習

ここではリーマン積分の復習を用語の確認程度でする。だから, リーマン積分の定義を一度もしたことない人はわかりやすい別の資料を漁ってほしい。また分割に合う標本点などは一般的な言葉ではないので, 証明で用語がわからないときに確認してほしい。

直方体の体積と直径

直方体領域 $I : = [a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}] \times [a_{3}, b_{3}] \subset R^{3}$ に対し, その体積 $v (I)$ と直径 $d (I)$ を
$\begin{array}{r} v (I) : = (b_{1} - a_{1}) (b_{2} - a_{2}) (b_{3} - a_{3}), \end{array}$
$\begin{array}{r} d (I) : = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}} \end{array}$
で定める。

ただの直方体の体積と直径を以下の議論で扱いやすいように書いただけです。

閉区間の分割

閉区間 $[a, b]$ を考える。そこに $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b$ を満たすような $n + 1$ 個の点 $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}$ を取ってみる。このとき
$\begin{array}{r} Δ^{n} : = {x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}} \end{array}$
を閉区間 $[a, b]$ の $n$ 分割ということにする。ただ, 今後は $n$ はとくに意識しないから集合 $Δ$ が正の整数 $n$ に対し, 閉区間 $[a, b]$ の $n$ 分割であるなら, $Δ$ を閉区間 $[a, b]$ の分割ということにする。

直方体の分割

直方体の領域 $I : = [a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}] \times [a_{3}, b_{3}] \subset R^{3}$ に対する分割 $Δ$ とは, 適当な $[a_{1}, b_{1}]$ の分割 $Δ_{1}, [a_{2}, b_{2}]$ の分割 $Δ_{2},$ そして, $[a_{3}, b_{3}]$ の分割 $Δ_{3}$ を用いて
$\begin{array}{r} Δ = Δ_{1} \times Δ_{2} \times Δ_{3} \end{array}$
を満たす直積集合のことである。

幅

直方体の領域 $I$ は分割 $Δ$ によっていくつかの互いに内点（内部の点）を共有しない直方体の領域の和集合とみることができる。そのような長方形の総数を $K (Δ)$ と書くことにし, $I_{k} (k \in K (Δ))$ とそれぞれの直方体の領域に名前をつける。 $I_{k}$ を $Δ$ の小直方体領域ということにする。
$\begin{array}{r} | Δ | : = max_{k \in K (Δ)} d (I_{k}) \end{array}$
を $Δ$ の幅という。

リーマン和

$I_{k}$ は定義4で与えたものです。 $ξ_{k} \in I_{k}$ を各 $I_{k}$ から取り, $ξ : = {ξ_{1}, ξ_{2}, \dots, ξ_{K (Δ)}}$ を定め, これを $Δ$ に合う標本点ということにする。そして関数 $f : I \to R$ に対し
$\begin{array}{r} S (f; Δ; ξ) : = \sum_{k \in K (Δ)} f (ξ_{k}) v (I_{k}) \end{array}$
を定め, これを $f$ の $Δ$ と $ξ$ に関するリーマン和という。

リーマン積分可能

$f$ を $I$ 上の実数値関数とする。 $f$ が
$\begin{array}{r} \exists S \in R, \forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall | Δ | < δ を満たす I の分割 Δ, \forall Δ にあう標本点 ξ, | S (f; Δ; ξ) - S | < ε \end{array}$
を満たすとき
$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} f (x, y, z) d x d y d z : = S \end{array}$
と定め, $f$ は直方体領域 $I$ 上でリーマン積分可能という。

定義関数

$A \subset R^{3}$ に対し, $χ_{A} : A \to R$ を
$χ_{A} (x, y, z) = {\begin{array}{r} 1 ((x, y, z) \in A) \\ 0 ((x, y, z) \notin A) \end{array}$
で定め, これを $A$ の定義関数という。

体積確定集合とその体積

有界集合 $A \subset R^{3}$ が体積確定集合であることを以下で定義する。 $A \subset I$ を満たす直方体領域 $I$ を任意に取る。
$\begin{array}{r} \int_{I} χ_{A} (x, y, z) d x d y d z = S \end{array}$
となる実数 $S$ が存在するとき, $A$ は体積確定集合といい, その体積は $S$ であるという。また
$\begin{array}{r} \int_{A} d x d y d z : = \int_{I} χ_{A} (x, y, z) d x d y d z \end{array}$
と書く。

証明

自然数 $n$ と体積確定集合 $A$ に対し
$\begin{array}{r} n A : = {y \in R^{3} ∣ \exists x \in A, y = n x} \end{array}$
とする。

自然数 $n$ に対し
$\begin{array}{r} \frac{Z}{n} : = {y ∣ \exists x \in Z, y = \frac{x}{n}} \end{array}$
とする。

定理1の再掲

$A \subset R^{3}$ を体積確定集合とし, $S (A)$ を $A$ の境界上もしくは内部にある格子点全体, そして $Vol (A)$ を $A$ の体積とする。このとき
$\begin{array}{r} Vol (A) = lim_{n \to \infty} \frac{| S (n A) |}{n^{3}} . \end{array}$

まず, 自然数 $n$ を1つとる。そして $A \subset I : = [a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}] \times [a_{3}, b_{3}]$ で, $(a_{i}, b_{i}) \in \frac{Z}{2 n}$ かつ, $(a_{i}, b_{i}) \notin \frac{Z}{n} (i = 1, 2, 3)$ を満たす $I$ を1つとる。そして, 閉区間 $[a_{i}, b_{i}]$ の分割 $Δ_{i} : = {x_{0}^{i}, x_{1}^{i}, \dots, x_{k_{i} + 1}^{i}} (i = 1, 2, 3)$ を

$x_{0}^{i} < x_{1}^{i} < \dots < x_{k_{i} + 1}^{i}$
$0 ≦ \forall l ≦ k_{i}, x_{l}^{i} < x_{l + 1}^{i}$

を満たすようにとり, $Δ$ の小直方体領域に $I_{k} (k \in K (Δ))$ と名前をつける。ここで, $a \in I_{k}$ で
$\begin{array}{r} a \in {(\frac{Z}{n})}^{3} \end{array}$
を満たすものがただ一つ取れることに留意しよう。

次に $Δ$ に合う標本点を $ξ, ξ^{'}$ それぞれ以下で定める。ただし, $A$ の内部, 外部, 境界をそれぞれ $A^{i}, A^{e}, \partial A$

$I_{k} \subset A^{i} (k \in K (Δ))$ なら, $ξ_{k} \in {(\frac{Z}{n})}^{3}$ をとる
$I_{k} \subset A^{e} (k \in K (Δ))$ なら, $ξ_{k}$ を任意にとる
$I_{k} (k \in K (Δ))$ がその他の場合なら, $ξ_{k} \in A^{e}$ を任意にとる
と
$I_{k} \subset A^{i} (k \in K (Δ))$ なら, $ξ_{k}^{'} \in {(\frac{Z}{n})}^{3}$ をとる
$I_{k} \subset A^{e} (k \in K (Δ))$ なら, $ξ_{k}^{'}$ を任意にとる
$I_{k} (k \in K (Δ))$ がその他の場合なら, $ξ_{k}^{'} \in A^{i}$ を任意にとる

$\begin{array}{r} \sum_{k = 1}^{K (Δ)} χ_{A} (ξ_{k}) = A^{i} に含まれる小直方体領域 I_{k} の総数, \end{array}$
$\begin{array}{r} | A \cap {(\frac{Z}{n})}^{3} | = A の境界及び内部の a \in {(\frac{Z}{n})}^{3} の総数, \end{array}$
$\begin{array}{r} \sum_{k = 1}^{K (Δ)} χ_{A} (ξ_{k}^{'}) = A を覆うのに必要な小直方体領域 I_{k} の総数最小値 \end{array}$
だから
$\begin{array}{r} \sum_{k = 1}^{K (Δ)} χ_{A} (ξ_{k}) ≦ | A \cap {(\frac{Z}{n})}^{3} | ≦ \sum_{k = 1}^{K (Δ)} χ_{A} (ξ_{k}^{'}) . \end{array}$
各辺 $v (I_{k}) = \frac{1}{n^{3}}$ をかけると
$\begin{array}{r} \sum_{k = 1}^{K (Δ)} χ_{A} (ξ_{k}) v (I_{k}) ≦ \frac{1}{n^{3}} | A \cap {(\frac{Z}{n})}^{3} | ≦ \sum_{k = 1}^{K (Δ)} χ_{A} (ξ_{k}^{'}) v (I_{k}) . \end{array}$
$A$ は体積確定集合なので, 任意の $ε > 0$ に対し, ある $δ > 0$ が存在し
$\begin{array}{r} | Δ | = \frac{\sqrt{3}}{n} < δ なら, | \sum_{k = 1}^{K (Δ)} χ_{A} (ξ_{k}) v (I_{k}) - Vol A | < ε \end{array}$
である。手を加えると任意の $ε > 0$ に対し, ある $δ > 0$ が存在し
$\begin{array}{r} n > N = [\frac{\sqrt{3}}{δ}] なら, | \sum_{k = 1}^{K (Δ)} χ_{A} (ξ_{k}) v (I_{k}) - Vol A | < ε . \end{array}$
ゆえに
$\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{K (Δ)} χ_{A} (ξ_{k}) v (I_{k}) = Vol (A) . \end{array}$
同様の理由で
$\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{K (Δ)} χ_{A} (ξ_{k}^{'}) v (I_{k}) = Vol (A) . \end{array}$
はさみうちの原理により
$\begin{array}{r} Vol (A) = lim_{n \to \infty} \frac{| A \cap {(\frac{Z}{n})}^{3} |}{n^{3}} . \end{array}$
ここで,
$\begin{aligned} | S (n A) | & : = n A \cap Z = | A \cap {(\frac{Z}{n})}^{3} | \end{aligned}$
に注意すると
$\begin{array}{r} Vol (A) = lim_{n \to \infty} \frac{| S (n A) |}{n^{3}} . \end{array}$

さいごに

冒頭でも言ったように一般的に $d$ 次元ユークリッド空間でも同じことが成り立つ。すなわち

定理1の一般化

$A \subset R^{d}$ を体積確定集合（立方体や球などの体積が求まる図形で後述の定義8を参照）とし, $S (A)$ を $A$ の境界上もしくは内部にある格子点全体, そして $Vol (A)$ を $A$ の体積とする。このとき
$\begin{array}{r} Vol (A) = lim_{n \to \infty} \frac{| S (n A) |}{n^{d}} . \end{array}$

さらに, 以下の定理も実は証明の中で得ています。

$I : = [a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}] \times \dots \times [a_{d}, b_{d}] \subset R^{d}$ が2条件

点 $(a_{i}, b_{i}) (n = 1, 2, \dots, d)$ が格子点である
$Vol (I) = 1$

を満たすとき, $I$ を $d$ 次元格子立方体と呼ぶことにする。

$A \subset R^{d}$ を体積確定集合, $n A$ の内部にある $d$ 次元格子立方体の総数を $N_{0} (n A),$ 外部にある $d$ 次元格子立方体の総数を $N_{1} (n A)$ とすると
$\begin{array}{r} Vol (A) = lim_{n \to \infty} \frac{N_{0} (n A)}{n^{d}} = lim_{n \to \infty} \frac{N_{1} (n A)}{n^{d}} . \end{array}$