格子点と体積の関係

まず, 自然数$n$を1つとる。そして$A\subset{I}\coloneqq{[a_{1}, b_{1}]\times[a_{2}, b_{2}]\times[a_{3}, b_{3}]}$で, $(a_{i}, b_{i})\in\dfrac{\mathbb{Z}}{2n}$かつ,$(a_{i}, b_{i})\notin\dfrac{\mathbb{Z}}{n}\quad (i=1, 2, 3)$を満たす$I$を1つとる。そして, 閉区間$[a_{i}, b_{i}]$の分割$\Delta_{i}\coloneqq{\{x^{i}_{0}, x^{i}_{1}, \cdots, x^{i}_{k_{i}+1}\}}\quad (i=1, 2, 3)$を

• $x^{i}_{0}< x^{i}_{1}<\cdots< x^{i}_{k_{i}+1}$
• $0\leqq{\forall l}\leqq{k_{i}}, x^{i}_{l}< x^{i}_{l+1}$

を満たすようにとり, $\Delta$の小直方体領域に$I_{k}\quad (k\in K(\Delta))$と名前をつける。ここで, $a\in{I_{k}}$で
\begin{align*} a\in\left(\dfrac{\mathbb{Z}}{n}\right)^{3} \end{align*}
を満たすものがただ一つ取れることに留意しよう。

次に$\Delta$に合う標本点を$\xi, \xi^{\prime}$それぞれ以下で定める。ただし, $A$の内部, 外部, 境界をそれぞれ$A^{i}, A^{e}, \partial{A}$

• $I_{k}\subset{A^{i}}\quad (k\in K(\Delta))$なら, $\xi_{k}\in\left(\dfrac{\mathbb{Z}}{n}\right)^{3}$をとる
• $I_{k}\subset{A^{e}}\quad (k\in K(\Delta))$なら, $\xi_{k}$を任意にとる
• $I_{k}\quad (k\in K(\Delta))$がその他の場合なら, $\xi_{k}\in{A^{e}}$を任意にとる
  と
• $I_{k}\subset{A^{i}}\quad (k\in K(\Delta))$なら, $\xi^{\prime}_{k}\in\left(\dfrac{\mathbb{Z}}{n}\right)^{3}$をとる
• $I_{k}\subset{A^{e}}\quad (k\in K(\Delta))$なら, $\xi^{\prime}_{k}$を任意にとる
• $I_{k}\quad (k\in K(\Delta))$がその他の場合なら, $\xi^{\prime}_{k}\in{A^{i}}$を任意にとる

\begin{align*} \sum_{k=1}^{K(\Delta)}\chi_{A}(\xi_{k})=A^{i}に含まれる小直方体領域I_{k}の総数, \end{align*}
\begin{align*} \left|A\cap\left(\dfrac{\mathbb{Z}}{n}\right)^{3}\right|=Aの境界及び内部のa\in\left(\dfrac{\mathbb{Z}}{n}\right)^{3}の総数, \end{align*}
\begin{align*} \sum_{k=1}^{K(\Delta)}\chi_{A}(\xi^{\prime}_{k})=Aを覆うのに必要な小直方体領域I_{k}の総数最小値 \end{align*}
だから
\begin{align*} \sum_{k=1}^{K(\Delta)}\chi_{A}(\xi_{k})\leqq{\left|A\cap\left(\dfrac{\mathbb{Z}}{n}\right)^{3}\right|}\leqq{\sum_{k=1}^{K(\Delta)}\chi_{A}(\xi^{\prime}_{k})}. \end{align*}
各辺$v(I_{k})=\dfrac{1}{n^{3}}$をかけると
\begin{align*} \sum_{k=1}^{K(\Delta)}\chi_{A}(\xi_{k})v(I_{k})\leqq{\dfrac{1}{n^{3}}\left|A\cap\left(\dfrac{\mathbb{Z}}{n}\right)^{3}\right|}\leqq{\sum_{k=1}^{K(\Delta)}\chi_{A}(\xi^{\prime}_{k})v(I_{k})}. \end{align*}
$A$は体積確定集合なので, 任意の$\varepsilon>0$に対し, ある$\delta>0$が存在し
\begin{align*} |\Delta|=\dfrac{\sqrt{3}}{n}<\deltaなら , |\sum_{k=1}^{K(\Delta)}\chi_{A}(\xi_{k})v(I_{k})-\mathrm{Vol{A}}|<\varepsilon \end{align*}
である。手を加えると任意の$\varepsilon>0$に対し, ある$\delta>0$が存在し
\begin{align*} n>N=\left[\dfrac{\sqrt{3}}{\delta}\right]なら , |\sum_{k=1}^{K(\Delta)}\chi_{A}(\xi_{k})v(I_{k})-\mathrm{Vol{A}}|<\varepsilon. \end{align*}
ゆえに
\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{K(\Delta)}\chi_{A}(\xi_{k})v(I_{k})=\mathrm{Vol}(A). \end{align*}
同様の理由で
\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{K(\Delta)}\chi_{A}(\xi^{\prime}_{k})v(I_{k})=\mathrm{Vol}(A). \end{align*}
はさみうちの原理により
\begin{align*} \mathrm{Vol}(A)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\left|A\cap\left(\dfrac{\mathbb{Z}}{n}\right)^{3}\right|}{n^{3}}. \end{align*}
ここで,
\begin{align*} |S(nA)|&\coloneqq{nA\cap{\mathbb{Z}}}=\left|A\cap\left(\dfrac{\mathbb{Z}}{n}\right)^{3}\right| \end{align*}
に注意すると
\begin{align*} \mathrm{Vol}(A)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{|S(nA)|}{n^{3}}. \end{align*}