加法と乗法が有限生成な体

$u,v,w,x\in A$が存在して、$au+bv=aw+cx=1$となるとする。
$1=au+bv=au+bv(aw+cx)=a(u+btw)+bcvx$

$u,v\in A$が存在して、$au+bv=1$となるとする。
$c=(au+bv)c=acu+bcv$
仮定より$a$は$bc$を割り切るので$a$は$c$も割り切る。

$a^e$が$a^d$を割り切るので$b\in A$を用いて$a^eb=a^d$と書ける。$e≧d+1$だと仮定すると$a^da^{e-d}b=a^d$で$a_d≠0$なので整域性より$a^{e-d}b=1$である。$e-d≧1$なので$a(a^{e-d-1}b)=1$と書けるが、これは$a\not\in A ^×$に矛盾する。

$1≦i≦k$を取ったとき、$a^0=1$や命題1を繰り返し用いることで、$a_i^{e_i}$と$ \prod_{j≠i} a_j^{d_j}$が互いに素になることが分かる。
よって命題2より$a_i^{e_i}$は$a_i^{d_i}$を割り切るので命題3より$ｅ_i≦d_i$が言える。同様に$ｅ_i≧d_i$も言えるので$ｅ_i=d_i$が言える。

非零元$a\in A\backslash A^×$を取る。
このとき$1+a\prod_{s\not \in A ^×\backslash \{1\}}(s-1)$は0でも単元でもない。もし0と等しいと仮定すると$1=-a\prod_{s\not \in A ^×\backslash \{1\}}(s-1)$となり$a$が単位元でないことに矛盾する。もし1と等しいと仮定すると$0=a\prod_{s\not \in A ^×\backslash \{1\}}(s-1)$となるがこれは整域性に矛盾する。もし$t\not \in A ^×\backslash \{1\}$と等しいとすると$t-1=a\prod_{s\not \in A ^×\backslash \{1\}}(s-1)$であり、$1=a\prod_{s\not \in A ^×\backslash \{1,t\}}(s-1)$となるがこれは$a$が単位元でないことに矛盾する。
非零元$i\in I$を取ったとき$I$が非自明なイデアルであるのでこれは単元ではなく、$i_1=i\prod_{s\not \in A ^×\backslash \{1\}}(s-1)$,$i_{n+1}=1+i_1…i_n\in 1+I$を定義したとき先程の議論から$i_n$は非零元かつ非単元である。また$n≠m$に対して$i_n$と$i_m$は互いに素である。
$〈i_1…,i_n…〉$において$\{i_1…,i_n…\}$が基底になることを示す。
ある$e_1…,e_k\in \mathbb{Z}$に対して$1=i_1^{e_1}…i_k^{e_k}$とする。$i_1^{|e_1|}…i_k^{|e_k |}=i_1^{e_1+|e_1|}…i_k^{e_k+|e_1|}$と書けるが、命題4より$0=e_1…=e_k$となる。

(1)
(標数0の場合)
有理数体の加法群が非有限生成であることを示せばよい。
$\mathbb Q/\mathbb Z$の任意の元は有限位数であるが$\mathbb Q/\mathbb Z$は無限集合であるので$\mathbb Q$は非有限生成である。
(標数$p$の場合)
$K$を標数$p$で加法群が有限生成な体とすると$pK=0$なので$K$の任意の元は有限位数であり、有限生成性より$K$は有限体である。
(2)
(標数0の場合)
有理数体の乗法群が有限生成でないことを示せばよい。
例えば$〈2\mathbb Z+1〉\subset \mathbb Q^×$は有限生成ではないので$\mathbb Q^×$も有限生成ではない。
(標数$p$の場合)
$K$を標数$p$で加法群が有限生成な体とすると、$K^×$が有限位数の元しか持たないならば乗法群の有限生成性より$K$は有限体。$K^×$が非有限な位数の元$x\in K$を持つと仮定すると、これは$\mathbb F_p$上既約であり、よって$〈1+x\mathbb F_p[x]〉\subset K^×$も有限生成ではないので$K^×$も有限生成でない。