③コラッツ予想で循環する数が「1」のみであることの証明のアイデア

0.はじめに

こんにちは、えのきたけです。
この記事は
https://mathlog.info/articles/iUlNVtdGEfxgeulpkLSG
の続きとなっています。
こちらをご覧になれば、この記事の内容をより理解しやすいと思います。
また、リング先の記事にも前編がありますが、リンク先の記事だけでも大丈夫だと思います。
また、記事内の$C_1$や、$C_2$などは、コラッツ予想において循環する奇数を表しています。
nやaなどの2の指数の記号の振り付けが適当になってしまっています。すみません。
ですが、この記事内では2の指数はあまり重要ではないので気にしないで下さい。

1.前回の記事までの進捗

$$C_1\to C_1\to C_1\to C_1$$
という循環する数の$C_1$は1のみである。
$$C_1\to C_2\to C_1\to C_2$$
という循環する数の$C_1$は存在しない。

$$C_1\to C_2\to C_3\dots \to C_f\to C_1$$
という循環において、変化量に注目すると、

という公式が得られることを示しました。

2.変化量について

前回の記事で、コラッツ動作を大きく

1.$3C_1＋1＝2^n\times C_2$
2.$3C_2＋1＝2^m\times C_3$
3.$3C_3＋1＝2^o\times C_4$
　　　　　　　…
f.$3C_f＋1＝2^z\times C_1$

という動きに分けました。
そして、変化量を（左辺）−（右辺）することで、求めました。

公式①は、それぞれの変化量の総和が0になることを利用して求めました。

ですが、（左辺）−（右辺）＝ 0ですから、変化量は0ということになります。
よって、それぞれの変化量を引いてと0になるので、これを利用して第二の公式を作れるはずです。

$C_3＝C_f$の場合と、$C_4＝C_f$の場合を調べてから、一般形を求めたいと思います。

$C_3＝C_f$の場合、

$$\begin{array}{rl}（2^n\times C_2-3C_1-1）-（2^m\times C_3-3C_2-1）-（2^o\times C_1-3C_3-1）& =0\\ （-2^o\times C_1-3C_1）＋（2^n\times C_2＋3C_2）＋（-2^m\times C_3＋3C_3）& =-1\\ -C_1（2^o＋3）＋C_2（2^n＋3）-C_3（2^m-3）& ＝-1\\ C_1（2^o＋3）-C_2（2^n＋3）＋C_3（2^m-3）& ＝1\end{array}$$

変化量（引き算）の式は、

$C_4＝C_f$の場合、

$$\begin{array}{rl}（2^n\times C_2-3C_1-1）-（2^m\times C_3-3C_2-1）-（2^o\times C_4-3C_3-1）-（2^p\times C_1-3C_4-1）& =0\\ （-2^p\times C_1-3C_1）＋（2^n\times C_2＋3C_2）＋（-2^m\times C_3＋3C_3）＋（-2^o\times C_4＋3C_4）＋& =-2\\ -C_1（2^p＋3）＋C_2（2^n＋3）-C_3（2^m-3）-C_4（2^o-3）& ＝-2\\ C_1（2^p＋3）-C_2（2^n＋3）＋C_3（2^m-3）＋C_4（2^o-3）& ＝2\end{array}$$

変化量（引き算）の式は、

一般形

3.二つの条件を満たす数について

よって、コラッツ予想における循環には少なくともこの２つの式を成立させる必要があることが分かります。

$C_1＝C_2＝C_3\dots ＝C_f＝1$かつ$a＝b＝c\dots ＝z＝2$のとき、確かにこの2つの式が成立します。

この2つの式を同時に満たすのはかなり困難だと思われますが、私の力不足により同時に満たす数がこのパターン以外に存在することは示せすことはできません。

お時間があれば、ぜひご協力をお願いします。

4.さいごに

最後までご覧下さりありがとうございます。
ご協力をして下さる方や、何かこの記事の間違いを見つけられた方、感想をお持ちの方は、ぜひコメントをして下さい。