③コラッツ予想で循環する数が「1」のみであることの証明のアイデア

0.はじめに

こんにちは、えのきたけです。
この記事は
https://mathlog.info/articles/iUlNVtdGEfxgeulpkLSG
の続きとなっています。
こちらをご覧になれば、この記事の内容をより理解しやすいと思います。
また、リング先の記事にも前編がありますが、リンク先の記事だけでも大丈夫だと思います。
また、記事内の$C_1$や、$C_2$などは、コラッツ予想において循環する奇数を表しています。
nやaなどの2の指数の記号の振り付けが適当になってしまっています。すみません。
ですが、この記事内では2の指数はあまり重要ではないので気にしないで下さい。

1.前回の記事までの進捗

$$ C_1 → C_1 → C_1 → C_1 $$
という循環する数の$C_1$は1のみである。
$$ C_1 → C_2 → C_1 → C_2 $$
という循環する数の$C_1$は存在しない。

$$ C_1 → C_2 → C_3 …→ C_f → C_1 $$
という循環において、変化量に注目すると、

という公式が得られることを示しました。

2.変化量について

前回の記事で、コラッツ動作を大きく

1.$3C_1 ＋ 1 ＝ 2^n × C_2$
2.$3C_2 ＋ 1 ＝ 2^m × C_3$
3.$3C_3 ＋ 1 ＝ 2^o × C_4$
　　　　　　　…
f.$3C_f ＋ 1 ＝ 2^z × C_1$

という動きに分けました。
そして、変化量を（左辺）−（右辺）することで、求めました。

公式①は、それぞれの変化量の総和が0になることを利用して求めました。

ですが、（左辺）−（右辺）＝ 0ですから、変化量は0ということになります。
よって、それぞれの変化量を引いてと0になるので、これを利用して第二の公式を作れるはずです。

$C_3＝C_f$の場合と、$C_4＝C_f$の場合を調べてから、一般形を求めたいと思います。

$C_3＝C_f$の場合、

\begin{align} （2^n×C_2−3C_1−1）−（2^m×C_3−3C_2−1）−（2^o×C_1−3C_3−1） &= 0 \\ （−2^o×C_1−3C_1）＋（2^n×C_2＋3C_2）＋（−2^m×C_3＋3C_3） &= −1 \\ 　−C_1（2^o＋3）＋C_2（2^n＋3）−C_3（2^m−3）&＝ −1 \\ 　C_1（2^o＋3）−C_2（2^n＋3）＋C_3（2^m−3）&＝ 1 \\ \end{align}

変化量（引き算）の式は、

$C_4＝C_f$の場合、

\begin{align} （2^n×C_2−3C_1−1）−（2^m×C_3−3C_2−1）−（2^o×C_4−3C_3−1）−（2^p×C_1−3C_4−1）&= 0 \\ （−2^p×C_1−3C_1）＋（2^n×C_2＋3C_2）＋（−2^m×C_3＋3C_3）＋（−2^o×C_4＋3C_4）＋ &= −2 \\ 　−C_1（2^p＋3）＋C_2（2^n＋3）−C_3（2^m−3）−C_4（2^o−3）&＝ −2 \\ 　C_1（2^p＋3）−C_2（2^n＋3）＋C_3（2^m−3）＋C_4（2^o−3）&＝ 2 \\ \end{align}

変化量（引き算）の式は、

一般形

3.二つの条件を満たす数について

よって、コラッツ予想における循環には少なくともこの２つの式を成立させる必要があることが分かります。

$C_1＝C_2＝C_3…＝C_f＝1$かつ$a＝b＝c…＝z＝2$のとき、確かにこの2つの式が成立します。

この2つの式を同時に満たすのはかなり困難だと思われますが、私の力不足により同時に満たす数がこのパターン以外に存在することは示せすことはできません。

お時間があれば、ぜひご協力をお願いします。

4.さいごに

最後までご覧下さりありがとうございます。
ご協力をして下さる方や、何かこの記事の間違いを見つけられた方、感想をお持ちの方は、ぜひコメントをして下さい。