コラッツ予想で循環する数が「1」のみであることの証明のアイデア

0.はじめに

こんにちはえのきたけです。
この記事は https://mathlog.info/articles/Uur1KKKEUAE1GurN5JlS
の記事の続きとなっています。
この記事をご覧になるとより理解しやすいと思います。
また、記事中の$C_1$や$C_2$はコラッツ予想で循環すると仮定した奇数です。

1.前回の記事までの進捗

$$C_1\to C_1\to C_1\to C_1$$
という循環する数の$C_1$は1のみである。
$$C_1\to C_2\to C_1\to C_2$$
という循環する数の$C_1$は存在しない。

2.今回の目的

$$C_1\to C_2\to C_3\to C_4\to \dots \to C_f\to C_1$$
という$C_1$と$C_f$の間に複数の奇数を含む場合の循環の$C_1$について調べる。

3.循環の条件

2で示した場合の循環においてこのような条件があります。

これを利用して証明を進めます。
（1の場合）
1→4→2→1
3＋（−2）＋（−1）＝0

4.$C_3$＝$C_f$の場合

この循環が成り立つとき、大きく3つの動作に分けることができます。

　① $3C_1＋1＝ 2^n\times C_2$
　② $3C_2＋1＝ 2^m\times C_3$
　③ $3C_3＋1＝ 2^o\times C_1$

このとき、（左辺）−（右辺）＝（変化量）
となります。
よって、それぞれの変化量の総和が0になるときを求めます。

$$\begin{array}{rl}（2^n\times C_2-3C_1-1）＋（2^m\times C_3-3C_2-1）＋（2^o\times C_1-3C_3-1）& =0\\ （2^o-C_1-3C_1）＋（2^n\times C_2-3C_2）＋（2^m\times C-3C_3）& =3\\ C_1（2^o-3）＋C_2（2^n-3）＋C_3（2^m-3）& ＝3\end{array}$$

この式が成り立つときは、全てのCが1であり、n＝m＝o＝2のときのみです。

$C_4$＝$C_f$のときは、

この式でも同様のことを言えます。

つまり、Cが何個あったとしてもCは1しか存在しないということです。

5.さいごに

いかがでしたでしょうか？
ご意見・ご感想を下さると嬉しいです。

.追記（補強）