②コラッツ予想で循環する数が「1」のみであることの証明のアイデア

0.はじめに

こんにちはえのきたけです。
この記事は https://mathlog.info/articles/Uur1KKKEUAE1GurN5JlS
の記事の続きとなっています。
この記事をご覧になるとより理解しやすいと思います。
また、記事中の$C_1$や$C_2$はコラッツ予想で循環すると仮定した奇数です。

1.前回の記事までの進捗

$$ C_1 → C_1 → C_1 → C_1 $$
という循環する数の$C_1$は1のみである。
$$ C_1 → C_2 → C_1 → C_2 $$
という循環する数の$C_1$は存在しない。

2.今回の目的

$$ C_1 → C_2 → C_3 → C_4 →… → C_f → C_1 $$
という$C_1$と$C_f$の間に複数の奇数を含む場合の循環の$C_1$について調べる。

3.循環の条件

2で示した場合の循環においてこのような条件があります。

これを利用して証明を進めます。
（1の場合）
1→4→2→1
3＋（−2）＋（−1）＝0

4.$C_3$＝$C_f$の場合

この循環が成り立つとき、大きく3つの動作に分けることができます。

　① $3C_1＋1 ＝　2^n×C_2$
　② $3C_2＋1 ＝　2^m×C_3$
　③ $3C_3＋1 ＝　2^o×C_1$

このとき、（左辺）−（右辺）＝（変化量）
となります。
よって、それぞれの変化量の総和が0になるときを求めます。

\begin{align} （2^n×C_2−3C_1−1）＋（2^m×C_3−3C_2−1）＋（2^o×C_1−3C_3−1） &= 0 \\ （2^o−C_1−3C_1）＋（2^n×C_2−3C_2）＋（2^m×C−3C_3） &= 3 \\ C_1（2^o−3）＋C_2（2^n−3）＋C_3（2^m−3）&＝ 3 \\ \end{align}

この式が成り立つときは、全てのCが1であり、n＝m＝o＝2のときのみです。

$C_4$＝$C_f$のときは、

この式でも同様のことを言えます。

つまり、Cが何個あったとしてもCは1しか存在しないということです。

5.さいごに

いかがでしたでしょうか？
ご意見・ご感想を下さると嬉しいです。

.追記（補強）