関数の展開方法13個

f(x)=$\sum _{k=0}^{\infty }$$\frac{f^{(k)}(0)x^k}{k!}$

f(a+x)=$\sum _{k=0}^{\infty }$$\frac{f^{(k)}(a)x^k}{k!}$

f(x)=$\frac{a_0}{2}$+$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k\sin \left(kx\right)+b_k$$\cos$(kx)
$a_n$=$\frac{1}{L}$${\int }_{-L}^L$f(t)$\sin$(nt)dt
$b_n$=$\frac{1}{L}$${\int }_{-L}^L$f(t)$\cos$(nt)dt
周期 2L の周期関数の場合

f(x)=$\frac{a_0}{2}$+$\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k\sinh \left(kx\right)+b_k$$\cosh$(kx)
$a_0$=$\frac{1}{L}$${\int }_{-L}^L$f(-it)dt
$a_n$=$\frac{i}{L}$${\int }_{-L}^L$f(-it)$\sin$(nt)dt
$b_n$=$\frac{1}{L}$${\int }_{-L}^L$f(-it)$\cos$(nt)dt
f(-ix)が周期2Lの周期関数の場合

f(a+x)=$\sum _{k=0}^{\infty }$$\frac{{\Delta }^{k}f(a){\left(x\right)}_k}{k!}$

f(a+x)-f(x)=g(x)
例${ｇ}^{(2)}$(x)=(f(2a+x)-f(a+x))-(f(a+x)-f(x))
f(b+x)=f(b)+$\sum _{k=1}^{\infty }$$\frac{{ｇ}^{(k)}(b)}{k!}$$\prod _{m=0}^{k-1}$(x-am)

f(x)=f(0)+(F(0)-F(1))+$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n+b_n^n}{n^x}$
$a_n=0$
$b_n^n$=$\frac{F^{(n)}(0)}{n!}$
F($e^{-t}$)={$M^{-1}$F(s)Γ(s)}(t)

f(s)=$\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k$(sk)!
$a_n$=$\frac{g^{(n)}(0)}{n!}$
x!=${\int }_0^{\infty }$$\frac{x^t}{e^t}$dt
$\mathcal{L}$[g($t^x$)] (1)=f(x)

f(s)=$\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k$β(x,k)
$a_n$=$\frac{g^{(n)}(0)}{n!}$
$$f^{(s-1)}(0)=M\frac{g(1-\frac{1}{e^t})}{e^t}(s)$$↑見にくいですがメリン変換

$$(\frac{f(a+h)}{f(a)}{)}^{\frac{1}{h}}=f(a,1)$$
f(a+x)=$f(a,0{)}^{\frac{x^0}{0!}}$$f(a,1{)}^{\frac{x^1}{1!}}$$f(a,2{)}^{\frac{x^2}{2!}}$$f(a,3{)}^{\frac{x^3}{3!}}$$f(a,4{)}^{\frac{x^4}{4!}}$…

$a_{-1}$=1⇒$a_0$+$a_1$+$a_2$…=$\frac{a_0}{1+K_{k=0}^{\infty }\frac{-a_{k-1}{a}_{k+1}}{a_k+a_{k+1}}}$

f(x)=$a_0$+$a_1$+$a_2$…=$\frac{a_0}{1+K_{k=0}^{\infty }\frac{-a_{k-1}{a}_{k+1}}{a_k+a_{k+1}}}$

$a_k$=$\frac{f^{(k)}(a)x^k}{k!}$
$a_{-1}$=1

f(s)=$\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k$(s(k+1))!
$a_n$=$\frac{g^{(n)}(0)}{n!}$
s$\mathcal{L}$[g($t^s$)t] (1)=f(s)

f(s)=$\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k$$\frac{1}{1-\frac{x}{k}}$
$a_n$=$\frac{F^{(n)}(0)}{n!}$
$\frac{f^{(s)}(0)\Gamma (s)}{s!}$={MF($e^{-t}$))}(s)