関数の展開方法13個

f(x)=$\sum_{k=0}^{∞}$$\frac{ f^{(k)}(0)x^{k} }{k!}$

f(a+x)=$\sum_{k=0}^{∞}$$\frac{ f^{(k)}(a)x^{k} }{k!}$

f(x)=$\frac{a_{0} }{2}$+$\sum_{k=1}^{∞}a_{k} \sin(kx) +b_{k}$$\cos$(kx)
$a_{n}$=$\frac{1}{L}$$\int_{-L}^{L}$f(t)$\sin$(nt)dt
$b_{n}$=$\frac{1}{L}$$\int_{-L}^{L}$f(t)$\cos$(nt)dt
周期 2L の周期関数の場合

f(x)=$\frac{a_{0} }{2}$+$\sum_{k=1}^{∞}a_{k} \sinh(kx) +b_{k}$$\cosh$(kx)
$a_{0}$=$\frac{1}{L}$$\int_{-L}^{L}$f(-it)dt
$a_{n}$=$\frac{i}{L}$$\int_{-L}^{L}$f(-it)$\sin$(nt)dt
$b_{n}$=$\frac{1}{L}$$\int_{-L}^{L}$f(-it)$\cos$(nt)dt
f(-ix)が周期2Lの周期関数の場合

f(a+x)=$\sum_{k=0}^{∞}$$\frac{ Δ^{k} f(a) \left( x \right)_{k} }{k!}$

f(a+x)-f(x)=g(x)
例$ ｇ^{(2)} $(x)=(f(2a+x)-f(a+x))-(f(a+x)-f(x))
f(b+x)=f(b)+$ \sum_{k=1}^{∞} $$ \frac{ｇ^{(k)}(b)}{k!} $$ \prod_{m=0}^{k-1} $(x-am)

f(x)=f(0)+(F(0)-F(1))+$\sum_{n=1}^{∞}\frac{ a_{n}+b_{n}^{n} }{n^{x} }$
$a_{n}=0$
$b_{n}^{n}$=$\frac{F^{(n)}(0) }{n!}$
F($e^{-t}$)={$M^{-1}$F(s)Γ(s)}(t)

f(s)=$\sum_{k=0}^{∞} a_{k} $(sk)!
$a_{n}$=$\frac{ g^{(n)}(0) }{n!}$
x!=$\int_{0}^{∞}$$\frac{ x^{t} }{ e^{t} }$dt
$\mathcal{L}$[g($t^{x}$)] (1)=f(x)

f(s)=$\sum_{k=0}^{∞} a_{k} $β(x,k)
$a_{n}$=$\frac{ g^{(n)}(0) }{n!}$
$$ f^{(s-1)}(0)={M \frac{g(1- \frac{1}{e^{t} } )}{ e^{t} } }(s) $$↑見にくいですがメリン変換

$$ (\frac{f(a+h)}{f(a)}) ^{ \frac{1}{h} }=f(a,1) $$
f(a+x)=$f(a,0)^{ \frac{x^{0} }{0!} }$$f(a,1)^{ \frac{x^{1} }{1!} }$$f(a,2)^{ \frac{x^{2} }{2!} }$$f(a,3)^{ \frac{x^{3} }{3!} }$$f(a,4)^{ \frac{x^{4} }{4!} }$…

$a_{-1}$=1⇒$a_{0}$+$a_{1}$+$a_{2}$…=$\frac{a_{0}}{1+ K_{k=0}^{∞}\frac{-a_{k-1}a_{k+1}}{a_{k}+a_{k+1}} }$

f(x)=$a_{0}$+$a_{1}$+$a_{2}$…=$\frac{a_{0}}{1+ K_{k=0}^{∞}\frac{-a_{k-1}a_{k+1}}{a_{k}+a_{k+1}} }$

$a_{k}$=$\frac{ f^{(k)}(a)x^{k} }{k!}$
$a_{-1}$=1

f(s)=$\sum_{k=0}^{∞} a_{k} $(s(k+1))!
$a_{n}$=$\frac{ g^{(n)}(0) }{n!}$
s$\mathcal{L}$[g($t^{s}$)t] (1)=f(s)

f(s)=$\sum_{k=0}^{∞} a_{k} $$\frac{1}{1- \frac{x}{k} }$
$a_{n}$=$\frac{ F^{(n)}(0) }{n!}$
$\frac{ f^{(s)}(0)Γ(s)}{s!}$={MF($e^{-t}$))}(s)