$S_3$の自己同型群

$S_3=\{e,\ (1\ 2),\ (1\ 3),\ (2\ 3),\ (1\ 2\ 3),\ (1\ 3\ 2)\}$である.
$g\in S_3$に対し$g$に対応する内部自己同型を$\sigma_g$と表す.
$\sigma_{(1\ 2)}((1\ 3))=(2\ 3)$
$\sigma_{(1\ 2)}((2\ 3))=(1\ 3)$
$\sigma_{(1\ 3)}((1\ 2))=(2\ 3)$
$\sigma_{(1\ 3)}((2\ 3))=(1\ 2)$
$\sigma_{(2\ 3)}((1\ 2))=(1\ 3)$
$\sigma_{(2\ 3)}((1\ 3))=(1\ 2)$
よって$S_3$の互換は内部自己同型の作用により$\{(1\ 2),\ (1\ 3),\ (2\ 3)\}$に互換を引き起こし, 全ての互換を尽くす. $S_3$は互換で生成されるから自己同型はこれらの値で定まる.よって自己同型群は$S_3$に同型である.