$S_3$の自己同型群

$S_{3}$ の自己同型群を求めます.

$S_{3}$ の自己同型群は $S_{3}$ に同型である.

$S_{3} = {e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}$ である.
$g \in S_{3}$ に対し $g$ に対応する内部自己同型を $σ_{g}$ と表す.
$σ_{(1 2)} ((1 3)) = (2 3)$
$σ_{(1 2)} ((2 3)) = (1 3)$
$σ_{(1 3)} ((1 2)) = (2 3)$
$σ_{(1 3)} ((2 3)) = (1 2)$
$σ_{(2 3)} ((1 2)) = (1 3)$
$σ_{(2 3)} ((1 3)) = (1 2)$
よって $S_{3}$ の互換は内部自己同型の作用により ${(1 2), (1 3), (2 3)}$ に互換を引き起こし, 全ての互換を尽くす. $S_{3}$ は互換で生成されるから自己同型はこれらの値で定まる.よって自己同型群は $S_{3}$ に同型である.

$σ_{(1 2)} ((1 3))$ は $(1 3)$ の $1$ を $2$ で置き換えたものになっていますが, これは一般の場合も同様です.例えば
$σ_{(1 3 2)} ((1 2)) = (1 3)$ では $(1 2)$ において $1$ を3に, $2$ を $1$ に置き換えたものが値になっています.
知られている事実として, 対称群の自己同型群は $n = 6$ の場合を除いて内部自己同型群に一致します.

投稿日：2023年12月31日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

qq_pp

3429

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

qq_pp

$S_3$の自己同型群