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$S_3$の自己同型群

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$S_3$の自己同型群を求めます.

$S_3$の自己同型群は$S_3$に同型である.

$S_3=\{e,\ (1\ 2),\ (1\ 3),\ (2\ 3),\ (1\ 2\ 3),\ (1\ 3\ 2)\}$である.
$g\in S_3$に対し$g$に対応する内部自己同型を$\sigma_g$と表す.
$\sigma_{(1\ 2)}((1\ 3))=(2\ 3)$
$\sigma_{(1\ 2)}((2\ 3))=(1\ 3)$
$\sigma_{(1\ 3)}((1\ 2))=(2\ 3)$
$\sigma_{(1\ 3)}((2\ 3))=(1\ 2)$
$\sigma_{(2\ 3)}((1\ 2))=(1\ 3)$
$\sigma_{(2\ 3)}((1\ 3))=(1\ 2)$
よって$S_3$の互換は内部自己同型の作用により$\{(1\ 2),\ (1\ 3),\ (2\ 3)\}$に互換を引き起こし, 全ての互換を尽くす. $S_3$は互換で生成されるから自己同型はこれらの値で定まる.よって自己同型群は$S_3$に同型である.

$\sigma_{(1\ 2)}((1\ 3))$$(1\ 3)$$1$$2$で置き換えたものになっていますが, これは一般の場合も同様です.例えば
$\sigma_{(1\ 3\ 2)}((1\ 2))=(1\ 3)$では$(1\ 2)$において$1$を3に, $2$$1$に置き換えたものが値になっています.
知られている事実として, 対称群の自己同型群は$n=6$の場合を除いて内部自己同型群に一致します.

投稿日:20231231

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qq_pp
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