ヒルベルトの定理90について
$L/K$を巡回拡大, $G$をそのガロア群, $\sigma \in G$を$G$の生成元とする. このとき, $a \in L$が$N_{L/K}(a) = 1$を満たすならば, ある$x \in L$が存在して, $a = x/\sigma(x)$と表せる. ここで, $N_{L/K}(a)$は$L/K$における$a$のノルムを表す.
$K$線形写像$a \sigma(\bullet): L \rightarrow L$が固有値$1$の固有ベクトル$w \neq 0$を持つことを持つことを示せばいいです.
$G$の位数を$n$とする. $i = 1, 2, \cdots, n$に対して$\displaystyle a_i = \prod_{k = 0}^{i-1} \sigma^{k}(a)$とおく. 写像$\varphi: L \rightarrow L$を$\varphi(v) = a\sigma(v)$と定めると, $i=1, \cdots, n-1$に対して$\varphi(a_i) = a_{i+1}$, $\displaystyle \varphi(a_n) = a \prod_{i=1}^{n}\sigma^{i}(a) = a N_{L/K}(a) = a$となる. 以下の補題より, $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i \sigma^i(x) \neq 0$となる$x \in L$が取れる. この和を$w$とおくと, $\displaystyle \varphi(w) = \sum_{i=1}^{n-1} a_{i+1} \sigma^{i+1}(x) + a_1 \sigma(x) = w$. $\square$
$L/K$を$n$次ガロア拡大, $G = \{\sigma_1, \cdots, \sigma_n \}$をそのガロア群とする. このとき, 任意の$(c_1, \cdots, c_n) \in L^n \setminus{(0, \cdots, 0)}$に対して, $x \in L$を適当に選べば, $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} c_i \sigma_i(x) \neq 0$とできる.
すべての$x \in L$に対して, $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} c_i \sigma_i(x) = 0$となるような$c = (c_1, \cdots, c_n) \in L^n \setminus{(0, \cdots, 0)}$が存在したと仮定する. そのような$c$の中で, $0$でない成分の個数が最も少ないものを取ることができる. $c_i$と$\sigma_i$の番号を適当に付け替えることで, それを$c = (c_1, \cdots, c_r, 0, \cdots, 0)$とする. $r = 1$ではあり得ないので, $r > 1$である. $\sigma_1 \neq \sigma_2$なので$\sigma_1(x') \neq \sigma_2(x')$となる$x' \in L$が存在する. 任意の$x \in L$に対して, $\sigma_i(x)$ $(i=1, \cdots, n)$の一次結合
$$
\Phi(x) = \sum_{i=1}^{r} c_i \sigma_i(x'x) - \sigma_{1}(x')\sum_{i=1}^{r} c_i \sigma_i(x) = \sum_{i=2}^{r} c_i (\sigma_i(x') - \sigma_1(x'))\sigma_i(x)
$$
を考えると, 任意の$x\in L$に対して$\Phi(x) = 0$で, $c_2 (\sigma_2(x') - \sigma_1(x')) \neq 0$で, $0$でない係数が$r-1$個なので, これは$c$の取り方に反する. $\square$
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