ヒルベルトの定理90について

ヒルベルトの定理90

$L / K$ を巡回拡大, $G$ をそのガロア群, $σ \in G$ を $G$ の生成元とする. このとき, $a \in L$ が $N_{L / K} (a) = 1$ を満たすならば, ある $x \in L$ が存在して, $a = x / σ (x)$ と表せる. ここで, $N_{L / K} (a)$ は $L / K$ における $a$ のノルムを表す.

$K$ 線形写像 $a σ (∙) : L \to L$ が固有値 $1$ の固有ベクトル $w \neq 0$ を持つことを持つことを示せばいいです.

$G$ の位数を $n$ とする. $i = 1, 2, \dots, n$ に対して $a_{i} = \prod_{k = 0}^{i - 1} σ^{k} (a)$ とおく. 写像 $φ : L \to L$ を $φ (v) = a σ (v)$ と定めると, $i = 1, \dots, n - 1$ に対して $φ (a_{i}) = a_{i + 1}$ , $φ (a_{n}) = a \prod_{i = 1}^{n} σ^{i} (a) = a N_{L / K} (a) = a$ となる. 以下の補題より, $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} σ^{i} (x) \neq 0$ となる $x \in L$ が取れる. この和を $w$ とおくと, $φ (w) = \sum_{i = 1}^{n - 1} a_{i + 1} σ^{i + 1} (x) + a_{1} σ (x) = w$ . $◻$

$L / K$ を $n$ 次ガロア拡大, $G = {σ_{1}, \dots, σ_{n}}$ をそのガロア群とする. このとき, 任意の $(c_{1}, \dots, c_{n}) \in L^{n} ∖ (0, \dots, 0)$ に対して, $x \in L$ を適当に選べば, $\sum_{i = 1}^{n} c_{i} σ_{i} (x) \neq 0$ とできる.

すべての $x \in L$ に対して, $\sum_{i = 1}^{n} c_{i} σ_{i} (x) = 0$ となるような $c = (c_{1}, \dots, c_{n}) \in L^{n} ∖ (0, \dots, 0)$ が存在したと仮定する. そのような $c$ の中で, $0$ でない成分の個数が最も少ないものを取ることができる. $c_{i}$ と $σ_{i}$ の番号を適当に付け替えることで, それを $c = (c_{1}, \dots, c_{r}, 0, \dots, 0)$ とする. $r = 1$ ではあり得ないので, $r > 1$ である. $σ_{1} \neq σ_{2}$ なので $σ_{1} (x^{'}) \neq σ_{2} (x^{'})$ となる $x^{'} \in L$ が存在する. 任意の $x \in L$ に対して, $σ_{i} (x)$ $(i = 1, \dots, n)$ の一次結合
$Φ (x) = \sum_{i = 1}^{r} c_{i} σ_{i} (x^{'} x) - σ_{1} (x^{'}) \sum_{i = 1}^{r} c_{i} σ_{i} (x) = \sum_{i = 2}^{r} c_{i} (σ_{i} (x^{'}) - σ_{1} (x^{'})) σ_{i} (x)$
を考えると, 任意の $x \in L$ に対して $Φ (x) = 0$ で, $c_{2} (σ_{2} (x^{'}) - σ_{1} (x^{'})) \neq 0$ で, $0$ でない係数が $r - 1$ 個なので, これは $c$ の取り方に反する. $◻$

投稿日：7月2日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

Takumi Ishikawa

835

名古屋の大学院生です。整数論を研究したいです。

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

Takumi Ishikawa

ヒルベルトの定理90について