代入写像が準同型であること

代数学,環論,多項式環

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概要

多項式に値を代入する写像が準同型であることを示します．

準備

$A$ を集合とする．写像 $ϕ : A \times A \to A$ を $A$ 上の演算という．以下， $ϕ (a, b)$ のことを $a b$ と書く．

可換群

$A$ を空でない集合とする． $A$ 上の演算が定義されていて以下の(1)～(3)を満たすとき， $A$ を群という．
(1) $e \in A$ が存在して，任意の $a \in A$ に対し $a e = e a = a$ となる．この元 $e$ を単位元とよぶ．
(2) 任意の $a \in A$ に対し $b \in A$ が存在して， $a b = b a = e$ となる．この元 $b$ は $a$ の逆元とよばれ， $a^{- 1}$ と書く．
(3) （結合法則）任意の $a, b, c \in A$ に対し， $(a b) c = a (b c)$ が成り立つ．

さらに下記を満たすとき， $A$ を可換群という．
(4) 任意の $a, b \in A$ に対し， $a b = b a$ が成り立つ．

可換群の場合，演算を $a + b$ ，単位元を $0$ ， $a$ の逆元を $- a$ と書く場合も多い．

可換環

集合 $A$ に2つの演算 $+$ と $\times$ が定義されていて，以下の(1)～(4)を満たすとき， $A$ を環という。なお， $a \times b$ は $a \cdot b$ や $a b$ とも書く．
(1) $A$ は $+$ に関して可換群をなす．
(2) （積の結合法則）任意の $a, b, c \in A$ に対し， $(a b) c = a (b c)$ が成り立つ．
(3) （分配法則）任意の $a, b, c \in A$ に対し，以下が成り立つ．
$a (b + c) = a b + b c, (a + b) c = a c + b c$
(4) 積に関する単位元 $1$ が存在する．つまり，任意の $a \in A$ に対し $1 a = a 1 = a$ が成り立つ．

さらに下記を満たすとき， $A$ を可換環という．
(5) 任意の $a, b \in A$ に対し， $a b = b a$ が成り立つ．

複数の環が登場して単位元を区別したいときは， $0_{A}$ や $1_{A}$ のように書く．

Z, Q, R, C

$Z, Q, R, C$ は通常の和と積で可換環をなす．

Z / n Z

$n$ を正の整数とする． $n$ で割った余りが $m$ である整数からなる集合を $\overset{―}{m}$ と書く．例えば $n = 5$ のとき，
$\begin{aligned} \overset{―}{0} & = {\dots, - 10, - 5, 0, 5, 10, \dots} ， \\ \overset{―}{1} & = {\dots, - 9, - 4, 1, 6, 11, \dots} ， \\ \overset{―}{2} & = {\dots, - 8, - 3, 2, 7, 12, \dots} ， \\ \overset{―}{3} & = {\dots, - 7, - 2, 3, 8, 13, \dots} ， \\ \overset{―}{4} & = {\dots, - 6, - 1, 4, 9, 14, \dots} \end{aligned}$
のようになる．上記のとき，例えば $\overset{―}{- 4} = \overset{―}{1}$ などが成り立つ．
　集合 $Z / n Z$ を
$Z / n Z = {\overset{―}{0}, \overset{―}{1}, \dots \overset{―}{n - 1}}$
と定めれば，これは $n$ 個の元からなる． $Z / n Z$ の和と積を下記で定めれば，可換環となる．
$\begin{aligned} \overset{―}{a} + \overset{―}{b} & = \overset{―}{a + b} (a, b \in Z) \\ \overset{―}{a} \cdot \overset{―}{b} & = \overset{―}{a \cdot b} (a, b \in Z) \end{aligned}$
和の単位元は $\overset{―}{0}$ ，積の単位元は $\overset{―}{1}$ である． $\overset{―}{a}$ の逆元は $\overset{―}{- a}$ である．
　 $Z / 5 Z$ の場合で具体的な計算をしてみよう．例えば
$\begin{aligned} \overset{―}{4} + \overset{―}{3} & = \overset{―}{4 + 3} \\ = \overset{―}{7} \\ = \overset{―}{2} \end{aligned}$
のように計算する．積は例えば
$\begin{aligned} \overset{―}{- 3} \cdot \overset{―}{3} & = \overset{―}{- 3 \cdot 3} \\ = \overset{―}{- 9} \\ = \overset{―}{1} \end{aligned}$
のように計算する．

なお，上記の $\overset{―}{m}$ は $[m]$ や $m + n Z$ とも表記される．

環の準同型

$A, B$ を環とする．写像 $ϕ : A \to B$ が以下を満たすとき， $ϕ$ を（環の）準同型という．
(1) 任意の $x, y \in A$ に対し， $ϕ (x + y) = ϕ (x) + ϕ (y)$
(2) 任意の $x, y \in A$ に対し， $ϕ (x y) = ϕ (x) ϕ (y)$
(3) $ϕ (1_{A}) = 1_{B}$

自然な全射

$n$ を正の整数とする．写像
$Z \to Z / n Z; n \mapsto \overset{―}{n}$
を定義することができ，これは環の準同型である．

Z

から任意の環への準同型

$A$ を環とする． $n$ が正の整数なら，
$n \cdot 1_{A} = 1_{A} + 1_{A} + \dots + 1_{A} (n 個の和)$
と定める． $n = 0$ に対しては $n \cdot 1_{A} = 0_{A}$ と定め， $n$ が負の整数ならば $n \cdot 1_{A} = - (- n) \cdot 1_{A}$ と定める．
　写像 $Z \to A$ を $n \mapsto n \cdot 1_{A}$ で定めれば，これは環の準同型となる．

最後に使用する補題をここで示しておく．

$A$ を可換環， $n$ を正の整数とする．このとき， $Z / n Z$ から $A$ への環準同型は，存在すれば一意的である．

　 $ϕ, ψ : Z / n Z \to A$ を環の準同型写像とする．準同型写像は $0$ を $0$ に， $1$ を $1$ に写すので， $ϕ (\overset{―}{0}) = 0_{A} = ψ (\overset{―}{0})$ および $ϕ (\overset{―}{1}) = 1_{A} = ψ (\overset{―}{1})$ である．
　 $m \in Z$ に対し $ϕ (\overset{―}{m}) = ψ (\overset{―}{m})$ と仮定すれば，
$\begin{aligned} ϕ (\overset{―}{m + 1}) & = ϕ (\overset{―}{m + 1}) \\ = ϕ (\overset{―}{m} + \overset{―}{1}) \\ = ϕ (\overset{―}{m}) + ϕ (\overset{―}{1}) \\ = ψ (\overset{―}{m}) + ψ (\overset{―}{1}) \\ = ψ (\overset{―}{m + 1}) \end{aligned}$
となる．同様に $ϕ (\overset{―}{m - 1}) = ψ (\overset{―}{m - 1})$ である．したがって数学的帰納法により，任意の $m \in Z$ に対し $ϕ (\overset{―}{m}) = ψ (\overset{―}{m})$ ．

多項式環

$A$ を可換環， $X$ を変数， $n$ を非負整数とする． $a_{0}, a_{1}, \dots a_{n} \in A$ に対し，形式的に
$f (X) = a_{0} + a_{1} X + a_{2} X^{2} + \dots + a_{n} X^{n}$
を考え，これを $A$ 上の $1$ 変数多項式とよぶ． $a_{i}$ を多項式の係数といい，特に $a_{0}$ は定数項という．
　 $A$ 上の $1$ 変数多項式全体を $A [X]$ と書く．対応する係数がすべて等しいとき， $2$ つの多項式は等しいと定義する．すなわち， $f (X) = \sum a_{i} X^{i}, g (X) = \sum b_{i} X^{i}$ に対し，
$f (X) = g (X) :⟺ 任意の i に対し， a_{i} = b_{i}$
と定める．和と積は通常の多項式の和と積と同様に定める．すなわち，
$f (X) + g (X) = \sum_{i \geq 0} (a_{i} + b_{i}) X^{i}$
$f (X) g (X) = \sum_{ℓ \geq 0} (\sum_{i + j = ℓ} a_{i} b_{j}) X^{ℓ}$
と定義する．これによって $A [X]$ は可換環となる． $A [X]$ を $A$ 上の $1$ 変数多項式環とよぶ． $A$ の元は定数項のみの多項式とみなせるので， $A \subset A [X]$ である．

多項式 $f (X) = \sum a_{i} X^{i} \in A [X]$ と $α \in A$ に対し
$f (α) = \sum_{i} a_{i} α^{i} \in A$
の値を考えることを代入という．

代入の例

$Z / 5 Z$ 上の多項式 $f (X) = - \overset{―}{1} + \overset{―}{3} X + X^{2}$ と $\overset{―}{2} \in Z / 5 Z$ について，
$\begin{aligned} f (\overset{―}{2}) & = - \overset{―}{1} + \overset{―}{3} \cdot \overset{―}{2} + {\overset{―}{2}}^{2} \\ = \overset{―}{4} \end{aligned}$
となる．

$A$ 上の多項式に対して $A$ の元を代入する例を見たが，環の準同型 $ι : A \to B$ があれば， $A$ 上の多項式に $B$ の元を代入して考えることもできる．
具体的には，多項式 $f (X) = \sum a_{i} X^{i} \in A [X]$ と $β \in B$ に対して
$f (β) = \sum_{i \geq 0} ι (a_{i}) β^{i} \in B$
を定義できる．

代入写像が準同型であること

多項式環の普遍性

$R, A$ を可換環， $ι : R \to A$ を環の準同型写像とする． $R [X]$ を $R$ 上の $1$ 変数多項式環とし， $α \in A$ とする．このとき，以下を満たす環の準同型 $ϕ : R [X] \to A$ がただ一つ存在する．

$ϕ |_{R} = ι$ 　（ $ϕ$ の定義域を $R$ に制限した写像は $ι$ に等しい）
$ϕ (X) = α$ 　（ $ϕ$ で多項式 $X$ は $α$ に行く）

$R [X] ϕ R ι A$

　写像 $ϕ : R [X] \to A$ を
$\begin{aligned} \sum_{i} c_{i} X^{i} & \mapsto \sum_{i} ι (c_{i}) α^{i} \end{aligned}$
で定義する（ただし $c_{i} \in R$ ）． $ϕ$ が準同型であることを示す．
　任意に多項式 $\sum c_{i} X^{i}, \sum d_{i} X^{i} \in R [X]$ を取る．まず和については，
$\begin{aligned} ϕ (\sum_{i} c_{i} X^{i} + \sum_{i} d_{i} X^{i}) \\ (∵ 多項式の和の定義) & = & ϕ (\sum_{i} (c_{i} + d_{i}) X^{i}) \\ (∵ ϕ の定義) & = & \sum_{i} ι (c_{i} + d_{i}) α^{i} \\ (∵ ι は準同型) & = & \sum_{i} (ι (c_{i}) + ι (d_{i})) α^{i} \\ (∵ A での分配法則) & = & \sum_{i} ι (c_{i}) α^{i} + \sum_{i} ι (d_{i}) α^{i} \\ (∵ ϕ の定義) & = & ϕ (\sum_{i} c_{i} X^{i}) + ϕ (\sum_{i} d_{i} X^{i}) \end{aligned}$
が成り立つ．積については，
$\begin{aligned} ϕ ((\sum_{i} c_{i} X^{i}) (\sum_{i} d_{i} X^{i})) \\ (∵ 多項式の積の定義) & = & ϕ (\sum_{ℓ} (\sum_{i + j = ℓ} a_{i} b_{j}) X^{ℓ}) \\ (∵ ϕ の定義) & = & \sum_{ℓ} ι (\sum_{i + j = ℓ} a_{i} b_{j}) X^{ℓ} \\ (∵ ι は準同型) & = & \sum_{ℓ} (\sum_{i + j = ℓ} ι (a_{i}) ι (b_{j})) X^{ℓ} \\ (∵ A での分配法則) & = & (\sum_{i} ι (c_{i}) α^{i}) (\sum_{j} ι (d_{j}) α^{j}) \\ (∵ ϕ の定義) & = & ϕ (\sum_{i} c_{i} X^{i}) ϕ (\sum_{i} d_{i} X^{i}) \end{aligned}$
が成り立つ．また，
$ϕ (1_{R}) = ι (1_{R}) = 1_{A}$
である．以上より， $ϕ$ は環の準同型写像である．
　任意に $c \in R$ を取る． $ϕ$ の定義より $ϕ (c) = ι (c)$ なので， $ϕ |_{R} = ι$ である．また， $ϕ (X) = ϕ (1_{R} X) = ι (1_{R}) α = 1_{A} α = α$ である．
　環準同型 $ψ : R [X] \to A$ が $ψ |_{R} = ι$ と $ψ (X) = α$ を満たすとする．任意に多項式 $\sum c_{i} X^{i} \in R [X]$ を取る．このとき，
$\begin{aligned} ψ (\sum_{i} c_{i} X^{i}) \\ = & \sum_{i} ψ (c_{i}) ψ (X)^{i} \\ = & \sum_{i} ι (c_{i}) α^{i} \\ = & ϕ (\sum_{i} c_{i} X^{i}) \end{aligned}$
である．よって， $ψ = ϕ$ である．

　
上記の証明から，代入写像 $f (X) \mapsto f (α)$ が環の準同型であることが分かった．

多項式環 $(Z / 10 Z) [X]$ から $Z / 5 Z$ への環準同型が何個あるか考えてみよう．
まず，写像
$ι : Z / 10 Z \to Z / 5 Z; m + 10 Z \mapsto m + 5 Z$
を定義できる．実際， $m - n$ が $10$ の倍数ならば $m - n$ は $5$ の倍数なので， $m + 10 Z = n + 10 Z$ ならば $ι (m + 10 Z) = ι (n + 10 Z)$ である．また， $ι$ は環の準同型写像である．よって補題1より， $Z / 10 Z$ から $Z / 5 Z$ への環準同型は $ι$ しかない．
　命題2より，環準同型 $ψ, ϕ : (Z / 10 Z) [X] \to Z / 5 Z$ に対し，
$\begin{aligned} ψ = ϕ \\ ⟺ & ψ |_{Z / 10 Z} = ϕ |_{Z / 10 Z} かつ ψ (X) = ϕ (X) \end{aligned}$
である． $Z / 10 Z$ から $Z / 5 Z$ への環準同型は $ι$ しかないので，常に $ψ |_{Z / 10 Z} = ϕ |_{Z / 10 Z}$ となる．したがって，
$ψ = ϕ ⟺ ψ (X) = ϕ (X)$
である．つまり， $X$ の行き先を見て環準同型を数えられる．
　次の $5$ つの代入写像 $(Z / 10 Z) [X] \to Z / 5 Z$ は相異なる環準同型である．

$f (X) \mapsto f (\overset{―}{0})$
$f (X) \mapsto f (\overset{―}{1})$
$f (X) \mapsto f (\overset{―}{2})$
$f (X) \mapsto f (\overset{―}{3})$
$f (X) \mapsto f (\overset{―}{4})$
なぜならば， $\overset{―}{0}, \dots, \overset{―}{4}$ は相異なる $Z / 5 Z$ の元だからである．
任意に準同型写像を $(Z / 10 Z) [X] \to Z / 5 Z$ をとれば， $X$ の行き先は $\overset{―}{0}, \dots, \overset{―}{4}$ のいずれかだから，上記の代入写像のいずれかに等しい．以上より， $(Z / 10 Z) [X]$ から $Z / 5 Z$ への環準同型は5つである．