代入写像が準同型であること

代数学,環論,多項式環

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概要

多項式に値を代入する写像が準同型であることを示します．

準備

$A$を集合とする．写像$\phi\colon A\times A\to A$を$A$上の演算という．以下，$\phi(a,b)$のことを$ab$と書く．

可換群

$A$を空でない集合とする．$A$上の演算が定義されていて以下の(1)～(3)を満たすとき，$A$を群という．
(1) $e\in A$が存在して，任意の$a\in A$に対し$ae=ea=a$となる．この元$e$を単位元とよぶ．
(2) 任意の$a\in A$に対し$b\in A$が存在して，$ab=ba=e$となる．この元$b$は$a$の逆元とよばれ，$a^{-1}$と書く．
(3) （結合法則）任意の$a,b,c\in A$に対し，$(ab)c=a(bc)$が成り立つ．

さらに下記を満たすとき，$A$を可換群という．
(4) 任意の$a,b\in A$に対し，$ab=ba$が成り立つ．

可換群の場合，演算を$a+b$，単位元を$0$，$a$の逆元を$-a$と書く場合も多い．

可換環

集合$A$に2つの演算$+$と$\times$が定義されていて，以下の(1)～(4)を満たすとき，$A$を環という。なお，$a\times b$は$a\cdot b$や$ab$とも書く．
(1) $A$は$+$に関して可換群をなす．
(2) （積の結合法則）任意の$a,b,c\in A$に対し，$(ab)c=a(bc)$が成り立つ．
(3) （分配法則）任意の$a,b,c\in A$に対し，以下が成り立つ．
$$ a(b+c)=ab+bc,\ (a+b)c=ac+bc$$
(4) 積に関する単位元$1$が存在する．つまり，任意の$a\in A$に対し$1a=a1=a$が成り立つ．

さらに下記を満たすとき，$A$を可換環という．
(5) 任意の$a,b\in A$に対し，$ab=ba$が成り立つ．

複数の環が登場して単位元を区別したいときは，$0_A$や$1_A$のように書く．

$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$

$\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$は通常の和と積で可換環をなす．

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$n$を正の整数とする．$n$で割った余りが$m$である整数からなる集合を$\overline{m}$と書く．例えば$n=5$のとき，
\begin{align} \overline{0}&=\{ \cdots,-10,-5,0,5,10,\cdots\}， \\ \overline{1}&=\{ \cdots,-9,-4,1,6,11,\cdots\}， \\ \overline{2}&=\{ \cdots,-8,-3,2,7,12,\cdots\}， \\ \overline{3}&=\{ \cdots,-7,-2,3,8,13,\cdots\}， \\ \overline{4}&=\{ \cdots,-6,-1,4,9,14,\cdots\} \end{align}
のようになる．上記のとき，例えば$\overline{-4}=\overline{1}$などが成り立つ．
　集合$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$を
$$ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},\cdots\overline{n-1}\}$$
と定めれば，これは$n$個の元からなる．$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$の和と積を下記で定めれば，可換環となる．
\begin{align} \overline{a}+\overline{b}&=\overline{a+b} \quad (a,b\in \mathbb{Z})\\ \overline{a}\cdot\overline{b}&=\overline{a\cdot b} \quad (a,b\in \mathbb{Z}) \end{align}
和の単位元は$\overline{0}$，積の単位元は$\overline{1}$である．$\overline{a}$の逆元は$\overline{-a}$である．
　$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$の場合で具体的な計算をしてみよう．例えば
\begin{align} \overline{4}+\overline{3}&=\overline{4+3}\\ &=\overline{7} \\ &=\overline{2} \end{align}
のように計算する．積は例えば
\begin{align} \overline{-3}\cdot\overline{3}&=\overline{-3\cdot3}\\ &=\overline{-9} \\ &=\overline{1} \\ \end{align}
のように計算する．

なお，上記の$\overline{m}$は$\lbrack m \rbrack$や$m+n\mathbb{Z}$とも表記される．

環の準同型

$A,B$を環とする．写像$\phi\colon A\to B$が以下を満たすとき，$\phi$を（環の）準同型という．
(1) 任意の$x,y\in A$に対し，$\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$
(2) 任意の$x,y\in A$に対し，$\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$
(3) $\phi(1_A)=1_B$

自然な全射

$n$を正の整数とする．写像
$$\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\ ;\ n\mapsto\overline{n}$$
を定義することができ，これは環の準同型である．

$\mathbb{Z}$から任意の環への準同型

$A$を環とする．$n$が正の整数なら，
$$ n\cdot 1_A=1_A+1_A+\cdots +1_A \quad(n個の和) $$
と定める．$n=0$に対しては$n\cdot 1_A=0_A$と定め，$n$が負の整数ならば$n\cdot 1_A=-(-n)\cdot 1_A$と定める．
　写像$\mathbb{Z}\to A$を$n\mapsto n\cdot 1_A$で定めれば，これは環の準同型となる．

最後に使用する補題をここで示しておく．

$A$を可換環，$n$を正の整数とする．このとき，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$から$A$への環準同型は，存在すれば一意的である．

　$\phi,\psi\colon \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to A$を環の準同型写像とする．準同型写像は$0$を$0$に，$1$を$1$に写すので，$\phi(\overline{0})=0_A=\psi(\overline{0})$および$\phi(\overline{1})=1_A=\psi(\overline{1})$である．
　$m\in\mathbb{Z}$に対し$\phi(\overline{m})=\psi(\overline{m})$と仮定すれば，
\begin{align} \phi(\overline{m+1})&=\phi(\overline{m+1}) \\ &=\phi(\overline{m}+\overline{1}) \\ &=\phi(\overline{m})+\phi(\overline{1}) \\ &=\psi(\overline{m})+\psi(\overline{1}) \\ &=\psi(\overline{m+1}) \end{align}
となる．同様に$\phi(\overline{m-1})=\psi(\overline{m-1})$である．したがって数学的帰納法により，任意の$m\in\mathbb{Z}$に対し$\phi(\overline{m})=\psi(\overline{m})$．

多項式環

$A$を可換環，$X$を変数，$n$を非負整数とする．$a_0,a_1,\cdots a_n\in A$に対し，形式的に
$$ f(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots +a_nX^n $$
を考え，これを$A$上の$1$変数多項式とよぶ．$a_i$を多項式の係数といい，特に$a_0$は定数項という．
　$A$上の$1$変数多項式全体を$A[X]$と書く．対応する係数がすべて等しいとき，$2$つの多項式は等しいと定義する．すなわち，$f(X)=\sum a_iX^i,g(X)=\sum b_iX^i$に対し，
$$ f(X)=g(X) :\Longleftrightarrow 任意のiに対し，a_i=b_i $$
と定める．和と積は通常の多項式の和と積と同様に定める．すなわち，
$$ f(X)+g(X)=\sum_{i\ge0} (a_i+b_i)X^i $$
$$ f(X)g(X)=\sum_{\ell\ge0}\left(\sum_{i+j=\ell} a_ib_j\right) X^\ell $$
と定義する．これによって$A[X]$は可換環となる．$A[X]$を$A$上の$1$変数多項式環とよぶ．$A$の元は定数項のみの多項式とみなせるので，$A\subset A[X]$である．

多項式$f(X)=\sum a_i X^i\in A[X]$と$\alpha\in A$に対し
$$ f(\alpha)=\sum_{i} a_i\alpha^i\in A $$
の値を考えることを代入という．

代入の例

$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$上の多項式$f(X)=-\overline{1}+\overline{3}X+X^2$と$\overline{2}\in\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$について，
\begin{align} f(\overline{2})&=-\overline{1}+\overline{3}\cdot\overline{2}+\overline{2}^2 \\ &=\overline{4} \end{align}
となる．

$A$上の多項式に対して$A$の元を代入する例を見たが，環の準同型$\iota \colon A\to B$があれば，$A$上の多項式に$B$の元を代入して考えることもできる．
具体的には，多項式$f(X)=\sum a_i X^i\in A[X]$と$\beta\in B$に対して
$$ f(\beta)=\sum_{i\ge0} \iota(a_i)\beta^i \in B $$
を定義できる．

代入写像が準同型であること

多項式環の普遍性

$R,A$を可換環，$\iota \colon R\to A$を環の準同型写像とする．$R[X]$を$R$上の$1$変数多項式環とし，$\alpha\in A$とする．このとき，以下を満たす環の準同型$\phi\colon R[X]\to A$がただ一つ存在する．

$\phi|_R=\iota$　（$\phi$の定義域を$R$に制限した写像は$\iota$に等しい）
$\phi(X)=\alpha$　（$\phi$で多項式$X$は$\alpha$に行く）

$$ \xymatrix{ R[X] \ar@{-->}[rrd]^\phi & & \\ R \ar[u] \ar[rr]_\iota & & A } $$

　写像$\phi \colon R[X]\to A$を
\begin{align} \sum_ic_iX^i&\mapsto\sum_i\iota(c_i)\alpha^i \end{align}
で定義する（ただし$c_i\in R$）．$\phi$が準同型であることを示す．
　任意に多項式$\sum c_iX^i,\sum d_iX^i\in R[X]$を取る．まず和については，
\begin{align} &\phi\left(\sum_i c_iX^i + \sum_i d_iX^i\right) \\ =\ &\phi\left(\sum_i (c_i+d_i)X^i \right) \tag{$\because$多項式の和の定義}\\ =\ &\sum_i \iota(c_i+d_i)\alpha^i \tag{$\because\phi$の定義} \\ =\ &\sum_i \big(\iota(c_i)+\iota(d_i)\big)\alpha^i \tag{$\because \iota$は準同型} \\ =\ &\sum_i\iota(c_i)\alpha^i + \sum_i \iota(d_i)\alpha^i \tag{$\because A$での分配法則} \\ =\ &\phi\left(\sum_i c_iX^i \right) + \phi\left(\sum_i d_iX^i \right) \tag{$\because\phi$の定義} \end{align}
が成り立つ．積については，
\begin{align} &\phi\left(\bigg(\sum_i c_iX^i\bigg)\bigg(\sum_i d_iX^i\bigg)\right) \\ =\ &\phi\left(\sum_{\ell}\bigg(\sum_{i+j=\ell} a_ib_j\bigg) X^\ell\right) \tag{$\because$多項式の積の定義}\\ =\ &\sum_{\ell}\iota\bigg(\sum_{i+j=\ell} a_ib_j\bigg) X^\ell \tag{$\because\phi$の定義}\\ =\ &\sum_{\ell}\bigg(\sum_{i+j=\ell}\iota(a_i)\iota(b_j)\bigg) X^\ell \tag{$\because\iota$は準同型}\\ =\ &\bigg(\sum_i\iota(c_i)\alpha^i\bigg)\bigg(\sum_j \iota(d_j)\alpha^j\bigg) \tag{$\because A$での分配法則} \\ =\ &\phi\left(\sum_i c_iX^i \right) \phi\left(\sum_i d_iX^i \right) \tag{$\because\phi$の定義} \end{align}
が成り立つ．また，
$$ \phi(1_R)=\iota(1_R)=1_A $$
である．以上より，$\phi$は環の準同型写像である．
　任意に$c\in R$を取る．$\phi$の定義より$\phi(c)=\iota(c)$なので，$\phi|_R=\iota$である．また，$\phi(X)=\phi(1_RX)=\iota(1_R)\alpha=1_A\alpha=\alpha$である．
　環準同型$\psi\colon R[X]\to A$が$\psi|_R=\iota$と$\psi(X)=\alpha$を満たすとする．任意に多項式$\sum c_iX^i\in R[X]$を取る．このとき，
\begin{align} &\psi\left(\sum_i c_iX^i\right) \\ =\ &\sum_i \psi(c_i)\psi(X)^i \\ =\ &\sum_i \iota(c_i)\alpha^i \\ =\ &\phi\left(\sum_i c_iX^i\right) \end{align}
である．よって，$\psi=\phi$である．

　
上記の証明から，代入写像$f(X)\mapsto f(\alpha)$が環の準同型であることが分かった．

多項式環$(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})[X]$から$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$への環準同型が何個あるか考えてみよう．
まず，写像
$$ \iota\colon\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/5\mathbb{Z};\ m+10\mathbb{Z}\mapsto m+5\mathbb{Z} $$
を定義できる．実際，$m-n$が$10$の倍数ならば$m-n$は$5$の倍数なので，$m+10\mathbb{Z}=n+10\mathbb{Z}$ならば$\iota(m+10\mathbb{Z})=\iota(n+10\mathbb{Z})$である．また，$\iota$は環の準同型写像である．よって補題1より，$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$から$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$への環準同型は$\iota$しかない．
　命題2より，環準同型$\psi,\phi\colon(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})[X]\to\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$に対し，
\begin{align} &\ \psi=\phi \\ \Longleftrightarrow&\ \psi|_{\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}}=\phi|_{\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}} \ かつ\ \psi(X)=\phi(X) \end{align}
である．$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$から$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$への環準同型は$\iota$しかないので，常に$\psi|_{\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}}=\phi|_{\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}}$となる．したがって，
$$ \psi=\phi \Longleftrightarrow\psi(X)=\phi(X) $$
である．つまり，$X$の行き先を見て環準同型を数えられる．
　次の$5$つの代入写像$(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})[X]\to\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$は相異なる環準同型である．

$f(X)\mapsto f(\overline{0})$
$f(X)\mapsto f(\overline{1})$
$f(X)\mapsto f(\overline{2})$
$f(X)\mapsto f(\overline{3})$
$f(X)\mapsto f(\overline{4})$
なぜならば，$\overline{0},\cdots,\overline{4}$は相異なる$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$の元だからである．
任意に準同型写像を$(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})[X]\to\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$をとれば，$X$の行き先は$\overline{0},\cdots,\overline{4}$のいずれかだから，上記の代入写像のいずれかに等しい．以上より，$(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})[X]$から$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$への環準同型は5つである．