メモ：拡大実数の順序位相とBorel集合族
はじめに
拡大実数のBorel集合族は, 実数のBorel集合族と$\{\{\infty\},\{-\infty\}\}$の和集合で生成される$\sigma$-加法族として定義されることがあります. これが実際にBorel集合族, すなわち位相空間の開集合系で生成される$\sig$-加法族であることを確認します. 拡大実数には順序位相を入れて考えます.
論理の誤りや誤植等ありましたらご指摘ください.
Borel集合族
位相空間$(X,\calO_X)$に対し, $\calO_X$で生成される$\sig$-加法族$\sig(\calO_X)$を$X$のBorel集合族という.
$(X,\calO_X)$ を位相空間とする.
$A\subseteq X$ に対し,
$\sig(\calO_X\vert_A)$と$\sig(\calO_X)\vert_A=\{E\cap A\mid E\in \sig(\calO_X)\}$は一致する.
$\calO_X\subseteq\sig(\calO_X)$より$\calO_X\vert_A\subseteq\sig(\calO_X)\vert_A$なので, 最小性から$\sig(\calO_X\vert_A)\subseteq\sig(\calO_X)\vert_A$である.
一方, $\calD=\{E\in2^X\mid E\cap A\in\sig(\calO_X\vert_A)\}$とおくと, これは$X$上の$\sig$-加法族. 任意の$U\in\calO_X$に対し$U\cap A\in \calO_X\vert_A\subseteq\sig(\calO_X\vert_A)$より$\calO_X\subseteq\calD$なので, 最小性から$\sig(\calO_X)\subseteq\calD$である. よって, 任意の$E\in\sig(\calO_X)$に対し$E\cap A\in\sig(\calO_X\vert_A)$なので$\sig(\calO_X)\vert_A\subseteq\sig(\calO_X\vert_A)$である.
$(X,\calO_X)$を位相空間, $F\subset X$を高々可算な集合で$\forall x\in F$, $\{x\}\in\sig(\calO_X)$をみたすものとする. $A=X\setminus F$とおく.
このとき$\sig(\calO_X)=\{E\cup S\mid E\in\sig(\calO_X)\vert_A, S\subseteq F\}$である.
$\calD=\{E\cup S\mid E\in\sig(\calO_X)\vert_A, S\subseteq F\}$とおく.
$E'\in\sig(\calO_X)$とすると, $E'=(E'\setminus F)\cup(E\cap F)=(E'\cap A)\cup (E\cap F)\in\calD$なので, $\sig(\calO_X)\subseteq\calD$である.
一方, $E\in \sig(\calO_X)\vert_A$は, $E'\in\sig(\calO_X)$を用いて$E=E'\cap A=E'\setminus F$とかけるが, $F\in\sig(\calO_X)$より$E\in\sig(\calO_X)$である. このことと$S\subseteq F$は$\sig(\calO_X)$の元であることから, $E\cup S\in\sig(\calO_X)$である. よって$\calD\subseteq\sig(\calO_X)$である.
この命題は, たとえば$X$が$T_1$であれば成り立つ.
順序位相
全順序集合$(X,\le)$に最大元$\top$と最小元$\bot$を付け加えても$X$の順序の拡張で全順序集合である.
$a,b\in X\cup\{\top,\bot\}$に対し,$(a,b)_X = \{x\in X\mid a< x< b\}$とおく.
($b\le a$のとき$(a,b)=\varnothing$である.)
このような集合を$X$の開区間と呼ぶことにする.
$(X,\le)$を全順序集合とする.
$\calI_{(X,\le)} = \{(x,\top)_X\mid x\in X\} \cup \{(\bot,x)_X\mid x\in X\}$
を準開基として生成される位相$\calO_{(X,\le)}$を$(X,\le)$の順序位相という.
順序位相は$T_1$である.
$(X,\le)$を全順序集合とし, $x\in X$を任意にとる.
このとき$\{x\}=X\setminus((\bot,x)\cup(x,\top))$なので$\{x\}$は閉集合である.
$(X,\le)$を全順序集合とする.
$A\subseteq X$は$(X,\le)$の制限順序で全順序集合である.
$A$が$X$の開区間のとき, 順序位相$\calO_{(A,\le)}$と相対位相$\calO_{(X,\le)}\vert_A$は一致する.
それぞれの準開基
$\calS(\calO_{(A,\le)})=\calI_{(A,\le)}\cup\{\varnothing,A\}$
$\calS(\calO_{(X,\le)}\vert_A) = \{(x,\top)_X\cap A\mid x\in X\} \cup \{(\bot,x)_X\cap A\mid x\in X\}$
をとる. 両者が一致することを示す. $A=(\alp,\bet)_X$とおく.
- $x\in A$のとき,
$(x,\top)_X\cap A=(x,\bet)_X=(x,\bet)_A=(x,\top)_A$,
$(\bot,x)_X\cap A=(\alp,x)_X=(\alp,x)_A=(\bot,x)_A$ - $x\le \alp$のとき,
$(x,\top)_X\cap A=A$,
$(\bot,x)_X\cap A=\varnothing$ - $\bet\le x$のとき,
$(x,\top)_X\cap A=\varnothing$
$(\bot,x)_X\cap A=A$
以上より, $\calS(\calO_{(A,\le)})=\calS(\calO_{(X,\le)}\vert_A)$
この命題はもう少し一般の部分集合で成り立つようですが, 筆者が順序集合について詳しくない＆今回はこの形で十分なので深入りしないことにします.
拡大実数
$\overline{\bbR}:=\bbR\cup\{\infty,-\infty\}$の元を拡大実数という.
$\overline{\bbR}$は
- $x,y\in \bbR$に対しては実数の通常の順序
- 任意の$x\in \overline{\bbR}$に対し, $-\infty\le x$
- 任意の$x\in \overline{\bbR}$に対し, $x\le\infty$
により定まる順序で全順序集合である.
$\sig(\calO_{(\overline{\bbR},\le)})=\{E\cup S\mid E\in\sig(\calO_{(\bbR,\le)}), S\subseteq \{\infty,-\infty\}\}$
$\overline{\bbR}\setminus\bbR=\{\infty,-\infty\}$なので, bより
$\sig(\calO_{(\overline{\bbR},\le)})=\{E\cup S\mid E\in\sig(\calO_{(\overline{\bbR},\le)})\vert_\bbR, S\subseteq \{\infty,-\infty\}\}$
である.
aより
$\calO_{(\overline{\bbR},\le)}=\calO_{(\overline{\bbR},\le)}\vert_\bbR$
であり,
$\bbR$は$\overline{\bbR}$の開区間なのでcより
$\sig(\calO_{(\overline{\bbR},\le)}\vert_\bbR)=\sig(\calO_{(\bbR,\le)})$
となり示された.
