乗法的微分における双曲線関数、三角関数

この記事では、
$$\underbrace{(((a^a)^a)^{\cdots})^a}_{n個}=a^{(a^{n-1})}$$
を${}^{n}a$と書きます。

┌┐┌┐┌┐はじめに┌┐┌┐┌┐

今回は、 7777777 さんの超微分における指数関数、双曲線関数という記事で、乗法的微分についても指数関数、双曲線関数、三角関数を求めようと思います。

乗法的指数関数

$$\operatorname{mexp}(x)={}^{x}e$$

$$\begin{align} y^*&=y\\ y^*y^{-1}&=1\\ \end{align}$$
ここで、$y={}^{rx}e$($r$は複素数)と仮定する。
特性方程式を解いて、
$$\begin{align}r-1&=0\\ r&=1\end{align}$$
よって解は、
$$y=({}^{x}e)^C$$($C$は積分定数)

乗法的双曲線関数

$$\operatorname{mcosh}(x)=({}^{x}e{}^{-x}e)^{\frac{1}{2}}$$
$$\operatorname{msinh}(x)=\left(\frac{{}^{x}e}{{}^{-x}e}\right)^{\frac{1}{2}}$$

$$\begin{align} y^{**}&=y\\ y^{**}y^{-1}&=1\\ \end{align}$$
ここで、$y={}^{rx}e$($r$は複素数)と仮定する。
特性方程式を解いて、
$$\begin{align}r^2-1&=0\\ r&=\pm1\end{align}$$
よって解は、
$$y=({}^{x}e)^{C_1}({}^{-x}e)^{C_2}$$($C_1,C_2$は積分定数)
積分定数を$C_1=\frac{A+B}{2},C_2=\frac{A-B}{2}$のように置き換える。すると、
$$y=({}^{x}e{}^{-x}e)^{\frac{A}{2}}\left(\frac{{}^{x}e}{{}^{-x}e}\right)^{\frac{B}{2}}$$

なお、先ほどの解は、
$$y=\operatorname{mcosh}^A(x)\operatorname{msinh}^B(x)$$と表せます。
また、$$\operatorname{msinh}^*(x)=\operatorname{mcosh}(x)$$になっています。

乗法的三角関数

$$\operatorname{mcos}(x)=({}^{ix}e{}^{-ix}e)^{\frac{1}{2}}$$
$$\operatorname{msin}(x)=\left(\frac{{}^{ix}e}{{}^{-ix}e}\right)^{\frac{1}{2i}}$$

$$\begin{align} y^{**}&=y^{-1}\\ y^{**}y&=1\\ \end{align}$$
ここで、$y={}^{rx}e$($r$は複素数)と仮定する。
特性方程式を解いて、
$$\begin{align}r^2+1&=0\\ r&=\pm i\end{align}$$
よって解は、
$$y=({}^{ix}e)^{C_1}({}^{-ix}e)^{C_2}$$($C_1,C_2$は積分定数)
積分定数を$C_1=\frac{A-Bi}{2},C_2=\frac{A+Bi}{2}$のように置き換える。すると、
$$y=({}^{ix}e{}^{-ix}e)^{\frac{A}{2}}\left(\frac{{}^{ix}e}{{}^{-ix}e}\right)^{\frac{B}{2i}}$$