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用語の日本語訳はテキトーです
広範圏
$\C$を有限余積を持つ圏とする．$\C$の対象の組$x,y\in\C$について，$x,y$に対して広範条件(extensivity condition)をみたすとは，標準的な関手
\begin{eqnarray}\tag{1}\label{extensivity}
\C/x&\times&\C/y&\to&\quad\C/(x+y)\\[6pt]
(f\colon a\to x)&\times&(g\colon b\to y)&\mapsto&(f+g\colon a+b\to x+y)\\
\end{eqnarray}
が圏同値を与えることをいう．$\C$のすべての対象の組$x,y$に対して広範条件をみたすとき，$\C$は広範(extensive)であるという．
余積の余射影のことを入射と呼ぶ．
有限余積を持つ圏$\C$について，以下は同値である:
(イ) $\C$は広範圏である．
(ロ) $\C$のすべての射の入射に沿った引き戻しが存在し，与えられた可換図式
\begin{xy}\tag{D}\label{2squares}\xymatrix{
a_1 \ar[r]\ar[d]_{f_1} &a \ar[d]_f &a_2 \ar[l]\ar[d]^{f_2}\\
x \ar[r] &x+y &y \ar[l]
}\end{xy}
において，上の行が余積であることと，二つの四角形が引き戻しであることが同値である．
可換図式\eqref{2squares}において，上の行が余積であることを\eqref{2squares}が余積であると，また二つの四角形が引き戻しであることを\eqref{2squares}が引き戻しであると略称する．
[(イ)$\implies$(ロ)] $x,y\in\C$が広範条件をみたすとする．可換図式\eqref{2squares}が余積を与えるとする．このとき$f=f_1+f_2$である．\eqref{2squares}が引き戻しであることを示すため，任意の二つの可換四角形
\begin{xy}\xymatrix{
b_1 \ar[r]\ar[d]_{g_1} &a \ar[d]_f &b_2 \ar[l]\ar[d]^{g_2}\\
x \ar[r] &x+y &y \ar[l]
}\end{xy}
をとる．このとき$\C/(x+y)$の射$\alpha\colon g_1+g_2\to f=f_1+f_2$が誘導されるが，\eqref{extensivity}の忠実充満性から$\alpha_i\colon g_i\to f_i$, $i=1,2$, が一意に存在して
\begin{xy}\xymatrix@R=12pt{
b_1 \ar[rr]\ar[rd]^{\alpha_1}\ar@/_12pt/[rddd]_{g_1} & &b_1+b_2 \ar[d]^\alpha & &b_2 \ar[ll]\ar[ld]_{\alpha_2}\ar@/^12pt/[lddd]^{g_2}\\
&a_1 \ar[r]\ar[dd]_{f_1} &a \ar[dd]_f &a_2 \ar[l]\ar[dd]^{f_2} &\\&&&&\\
&x \ar[r] &x+y &y \ar[l] &
}\end{xy}
を可換にする．これは\eqref{2squares}が引き戻しであることを示している．
次に\eqref{2squares}が引き戻しであるとする．\eqref{extensivity}が本質的全射であるから，
\begin{xy}\tag{D'}\label{dd}\xymatrix{
a_1' \ar[r]\ar[d]_{f_1'} &a \ar[d]_f &a_2' \ar[l]\ar[d]^{f_2'}\\
x \ar[r] &x+y &y \ar[l]
}\end{xy}
が余積となるような$f_1',f_2'$が存在する．このとき上でみたように\eqref{dd}は引き戻しを与える．引き戻しの一意性から，同型射$\theta_i\colon a_i'\to a_i$があって，
\begin{xy}\xymatrix{
a_1' \ar[r]\ar[d]_{\theta_1} &a \ar@{=}[d] &a_2' \ar[l]\ar[d]^{\theta_2}\\
a_1 \ar[r] &a &a_2 \ar[l]
}\end{xy}
を可換にする．とくに，$a_1\to a\leftarrow a_2$は余積である．
入射に沿った射の引き戻しが存在することを示すため，任意の射$f\colon a\to x+y$をとる．再び\eqref{extensivity}の本質的全射性から，余積\eqref{dd}が存在し，引き戻しを与える．これで(イ)$\implies$(ロ)が示された．
[(ロ)$\implies$(イ)] 任意の$x,y\in\C$をとる．任意の射$f\colon a\to x+y$に対し，引き戻しをとって可換図式\eqref{2squares}を得る．仮定(ロ)によりこれは余積であるから，関手\eqref{extensivity}は本質的全射である．忠実充満性のため，任意の$f_i\colon a_i\to x$, $g_i\colon b_i\to y$, $i=1,2$をとる．関手\eqref{extensivity}が導く写像を
\begin{align}
\Phi\colon \Hom_{\C/x}(f_1, f_2)\times\Hom_{\C/y}(g_1, g_2)\to\Hom_{\C/(x+y)}(f_1+g_1, f_2+g_2)
\end{align}
とする．逆向きの写像を次のように構成する．$\alpha\in\Hom_{\C/(x+y)}(f_1+g_1, f_2+g_2)$に対し，入射$a_2\to a_2+b_2\leftarrow b_2$との引き戻しをとって
\begin{xy}\xymatrix{
a_1' \ar[r]\ar[d]_{\alpha_1} &a_1+b_1 \ar[d]_\alpha &b_1' \ar[l]\ar[d]^{\alpha_2}\\
a_2 \ar[r]\ar[d]_{f_2} &a_2+b_2 \ar[d]_{f_2+g_2} &b_2 \ar[l]\ar[d]^{g_2}\\
x \ar[r] &x+y &y \ar[l]
}\end{xy}
を得る．(ロ)により下二つの四角形は引き戻しであるから，貼り合わせ原理により二段合わせた四角形も引き戻しである．$(f_2+g_2)\circ\alpha=f_1+g_1$であり，
\begin{xy}
\begin{gathered}\xymatrix{
a_1 \ar[r]\ar[d]_{f_1} &a_1+b_1 \ar[l]\ar[d]_{f_1+g_1} &b_1 \ar[l]\ar[d]^{g_1}\\
x \ar[r] &x+y &y \ar[l]
}\end{gathered}
\begin{gathered}\xymatrix{
a_1' \ar[r]\ar[d]_{f_2\circ\alpha_1} &a_1+b_1 \ar[d]_{f_1+g_1} &b_1' \ar[l]\ar[d]^{g_2\circ\alpha_2}\\
x \ar[r] &x+y &y \ar[l]
}\end{gathered}
\end{xy}
が引き戻しであるから，$a_1\cong a_1'$, $b_1\cong b_1'$である．この同型を通して
\begin{align}
\Psi(\alpha):=\langle a_1\cong a_1'\xrightarrow{\alpha_1}a_2, b_1\cong b_1'\xrightarrow{\alpha_2}b_2\rangle
\end{align}
と定める$\Psi$は矛盾なく定義され(引き戻しのとり方によらない)，$\Phi$の逆写像を与える．以上で証明が完了した．
広範圏において，入射はモノであり，余積は非交和である．
$\C$を広範圏，$a\xrightarrow{i}x\xleftarrow{i'}a'$を$\C$における余積とする．このとき可換図式
\begin{xy}\xymatrix{
a \ar@{=}[r]\ar@{=}[d] &a \ar[d]^i &0 \ar[l]\ar[d]\\
a \ar[r]_i &x &a' \ar[l]^{i'}
}\end{xy}
を得る．上の行が余積であるから，広範条件により二つの四角形は引き戻しである．左の引き戻しは$i$がモノであることを，右の引き戻しは余積が非交和であることを示している．
以下$\C$は広範圏とする．
$\C$において余積$a\xrightarrow{i}x\xleftarrow{i'}a'$, $a\xrightarrow{i}x\xleftarrow{j}b$が与えられたとき，部分対象として$i'=j$である．
余積が非交和であることに注意しつつ引き戻しをとって
\begin{xy}\xymatrix{
0 \ar[r]\ar[d] &b \ar[d]_j &b\times_x a' \ar[l]\ar[d]\\
a \ar[r]_i &x &a' \ar[l]^{i'}\\
a \ar@{=}[r]\ar@{=}[u] &a \ar[u]^{i} &0 \ar[l]\ar[u]
}\end{xy}
を得る．広範条件から$0\to b\leftarrow b\times_x a'$, $b\times_x a'\to a'\leftarrow0$は余積である．一般に入射$t\to t+0$は同型であるから，部分対象として$i'=j$が従う．
$x\in\C$の部分対象のうち，入射で表されるもの全体を$\Summ(x)$で表す．$\Summ(x)$の要素を$x$の直和因子という．$(i\colon a\to x)\in \Summ(x)$の割符を$(i'\colon a'\to x)$で表す．つまり，$a\xrightarrow{i}x\xleftarrow{i'}a'$が余積である．
$0\to x\xleftarrow{\id}x$が余積であるから，$(0\to x), \id_x\in\Summ(x)$である．命題2より強く，次が成り立つ．
広範圏において，入射は正則モノである．とくに，$0\to x$は正則モノである．
$a\xrightarrow{i}x\xleftarrow{i'}a'$を余積とし，可換図式
\begin{xy}\xymatrix{
a \ar[r]^i\ar[d]_i &x \ar[d]_{i+i'} &a' \ar[l]_{i'}\ar[d]^{i'}\\
x \ar[r] &x+x &x \ar[l]
}\end{xy}
を考える．広範条件から二つの四角形は引き戻しであるから，$i, i'$は正則モノである．
広範圏において，$0$は厳密始対象である．
$f\colon a\to 0$が与えられたとき，引き戻し
\begin{xy}\xymatrix{
a \ar@{=}[r]\ar[d]_f &a \ar[d]_f &a \ar@{=}[l]\ar[d]^f\\
0 \ar@{=}[r] &0 &0 \ar@{=}[l]
}\end{xy}
を得るから，広範条件により上の行は余積である．ここで，二つの射$\id_a\colon a\to a$, $(a\xrightarrow{f}0\to a)$を考えると，余積の普遍性からこれらが等しいことがわかる．$\id_0=(0\to a\xrightarrow{f}0)$も成り立つから，$a\cong 0$である．
極限を持つ広範圏
終対象を持つ広範圏
$\C$を有限余積と終対象を持つ圏とするとき，以下は同値である:
(イ) $\C$は広範圏である．
(ロ) 組$1,1$に対して広範条件が成り立つ．
(イ)$\implies$(ロ)は明らかである．$1,1$が広範条件をみたすとして，命題1の(ロ)を示す．任意の$x,y\in\C$と$f\colon a\to x+y$をとる．命題1の証明から，
\begin{xy}\tag{2}\label{pb1}\xymatrix{
x \ar[r]\ar[d] &x+y \ar[d] &y \ar[l]\ar[d]\\
1 \ar[r] &1+1 &1 \ar[l]
}\end{xy}
は引き戻しである．また，入射$1\to1+1\leftarrow1$に沿った任意の射の引き戻しが存在し，引き戻し
\begin{xy}\xymatrix@R=16pt{
u \ar[r]\ar[dd] &a \ar[d]_f &v \ar[l]\ar[dd]\\
&x+y \ar[d]&\\
1 \ar[r] &1+1 &1 \ar[l]
}\end{xy}
を得る．このとき引き戻し\eqref{pb1}の普遍性から仲介射$u\to x, v\to y$を得るが，貼り合わせ原理から
\begin{xy}\tag{D}\label{sq}\xymatrix{
u \ar[r]\ar[d] &a \ar[d]_f &v \ar[l]\ar[d]\\
x \ar[r] &x+y &y \ar[l]
}\end{xy}
は引き戻しである．よって入射に沿った射の引き戻しが存在することが分かった．
次に，与えられた可換図式\eqref{sq}が余積であったとする．このとき$1,1$についての広範条件から
\begin{xy}\tag{DD}\label{sqsq}\xymatrix{
u \ar[r]\ar[d] &a \ar[d]_f &v \ar[l]\ar[d]\\
x \ar[r]\ar[d] &x+y \ar[d] &y \ar[l]\ar[d]\\
1 \ar[r] &1+1 &1 \ar[l]
}\end{xy}
の下段と上下段は引き戻しであるから，上段も引き戻しである．逆に\eqref{sq}が引き戻しであれば，\eqref{sqsq}の上下段も引き戻しとなるから，\eqref{sq}は余積である．
終対象を持つ広範圏において，$1\to1+1$は入射を分類する; 任意の入射$i\colon a\to x$に対し，ただ一つの射$\chi_i\colon x\to1+1$が存在して，
\begin{xy}\xymatrix{
a \ar[r]\ar[d]_i &1 \ar[d]\\
x \ar[r]_{\chi_i} &1+1
}\end{xy}
を引き戻しにする．
$i\colon a\to x$を入射とするとき，命題6から
\begin{xy}\xymatrix{
a \ar[r]^i\ar[d] &x \ar[d] &a' \ar[l]_{i'}\ar[d]\\
1 \ar[r] &1+1 &1 \ar[l]
}\end{xy}
は引き戻しである．一意性は余積の普遍性と割符の一意性(命題3)から従う．
二項積を持つ広範圏
二項積を持つ広範圏は分配的である．
与えられた対象$x,a,b\in\C$に対し，
\begin{xy}\xymatrix{
x\times a \ar[r]\ar[d] &x\times(a+b) \ar[d] &x\times b \ar[l]\ar[d]\\
a \ar[r] &a+b &b \ar[l]
}\end{xy}
は引き戻しであるから，広範条件により$x\times a\to x\times(a+b)\leftarrow x\times b$は余積である．
引き戻しを持つ広範圏
余積は引き戻しについても，次の意味で分配する．与えられた射$\varphi\colon x\to t, f\colon a\to t, g\colon b\to t$に対し，三つの引き戻し
\begin{xy}
\begin{gathered}\xymatrix{
x\times_t a \ar[r]\ar[d] &a \ar[d]^f\\
x \ar[r]_\varphi &t
}\end{gathered}
\begin{gathered}\xymatrix{
x\times_t b \ar[r]\ar[d] &b \ar[d]^g\\
x \ar[r]_\varphi &t
}\end{gathered}
\begin{gathered}\xymatrix{
x\times_t(a+b) \ar[r]\ar[d] &a+b \ar[d]^{(f\ g)}\\
x \ar[r]_\varphi &t
}\end{gathered}
\end{xy}
を考える．３つ目の引き戻しと入射$a\to a+b$との引き戻しをとることで
\begin{xy}\xymatrix{
x\times_t a \ar[r]\ar[d] &x\times_t(a+b) \ar[r]\ar[d] &x \ar[d]^\varphi\\
a \ar[r] &a+b \ar[r]_{(f\ g)} &t
}\end{xy}
を得るが，下の行の合成は$f$であるから左上は$x\times_t a$である．よって射$x\times_t a\to x\times_t(a+b)$を得る．同様にして$x\times_t b\to x\times_t(a+b)$およびこの二つの射から誘導される射
\begin{align}\tag{3}\label{dist pb}
(x\times_t a)+(x\times_t b)\to x\times_t(a+b)
\end{align}
を得る．
\eqref{dist pb}は同型である．
可換図式
\begin{xy}\xymatrix{
x\times_t a \ar[r]\ar[d] &x\times_t(a+b) \ar[d] &x\times_t b \ar[l]\ar[d]\\
a \ar[r] &a+b &b \ar[l]
}\end{xy}
が引き戻しであればよいが，それは上で確認した．
広範圏の連結対象
広範圏$\C$の対象$x$が連結であるとは，関手
\begin{align}\tag{Conn}\label{conn}
\yo_x=\Hom_\C(x,\mathchar`-)\colon\C\to\mathsf{Set}
\end{align}
が二項余積を保つことをいう．
$0$は連結でない．実際，
\begin{align}
\yo_0(0+0)=\ast\neq\ast+\ast=\yo_0(0)+\yo_0(0)
\end{align}
であり，二項余積を保たない．
以下では誤解の恐れがない限り，部分対象(とくに直和因子)$(i\colon a\to x)\in\Sub(x)$に対し，それを表す射(の同型類)$i$とそのドメイン$a$を区別せず，記号の濫用により$a$が$x$の部分対象と言ったり$a\in\Sub(x)$と書いたりする．とくに，$(0\to x)$を$0$, $(\id_x\colon x\to x)$を$x$と表す．
$\C$を広範圏，$f\colon x\to y$を$\C$の射とする．引き戻しにより得られる部分対象の間の関手$f^\ast\colon\Sub(y)\to\Sub(x)$の制限は$f^\ast\colon\Summ(y)\to\Summ(x)$を導く．
$u\to y\leftarrow u'$を余積とするとき，$f$との引き戻しをとって
\begin{xy}\xymatrix{
f^\ast[u] \ar[r]\ar[d] &x \ar[d] &f^\ast[u'] \ar[l]\ar[d]\\
u \ar[r] &y &u' \ar[l]
}\end{xy}
を得るが，広範条件からこれは余積である．
$x$を広範圏$\C$の対象とするとき，次は同値である:
(イ) $x$は連結である．
(ロ) $x\neq0$かつ$\Summ(x)=\setex{0,x}$である．
[(イ)$\implies$(ロ)] 上の注意により$x\neq0$である．$u\to x\leftarrow u'$を余積とする．$x$が連結であるので，同型$x\xrightarrow{\sim}u+u'$は一方の直和因子($u$とする)を経由する．ここで引き戻し
\begin{xy}\xymatrix{
u' \ar[r]\ar[d] &0 \ar[r]\ar[d] &u' \ar[d]\\
x \ar[r] \ar `d[r] `[rr]_\sim [rr] &u \ar[r] &u+u'
}\end{xy}
を考える．ここで，余積が非交和であることから上の行の真ん中は$0$であり，引き戻しは同型を保つので左上は$u'$である．よって$0$が厳密である(命題5)ことから$u'=0$, $u\cong u+0\cong x$を得る．
[(ロ)$\implies$(イ)] 任意の射$f\colon x\to y+z$を考える．補題10と仮定(ロ)から$f^\ast[y]$か$f^\ast[z]$のちょうどどちらか一方は$x$と同型である．よって$f$は$y$か$z$のどちらか一方を経由する．
$\C$を終対象を持つ広範圏とする．$f\colon x\to y$がエピであるとき，$f^\ast\colon\Summ(y)\to\Summ(x)$は単射である．
$u,v\in\Summ(y)$が$f^\ast[u]=f^\ast[v]$をみたすとする．このとき引き戻し
\begin{xy}
\begin{gathered}\xymatrix{
f^\ast[u] \ar[r]\ar[d] &u \ar[r]\ar[d] &1 \ar[d]\\
x \ar[r]_f &y \ar[r]_{\chi_u} &1+1
}\end{gathered}
=\begin{gathered}\xymatrix{
f^\ast[v] \ar[r]\ar[d] &v \ar[r]\ar[d] &1 \ar[d]\\
x \ar[r]_f &y \ar[r]_{\chi_v} &1+1
}\end{gathered}
\end{xy}
を得るから，特性写像の一意性により$\chi_u\circ f=\chi_v\circ f$を得る．従って$f$がエピであることから$\chi_u=\chi_v$を得，$u=v$を得る．
$f\colon x\to y$がエピで，$x$が連結であれば$y$も連結である．
任意の射$\varphi\colon y\to a+b$をとる．$x$は連結であるから，$\varphi\circ f\colon x\to a+b$は$a$または$b$のどちらか一方を経由する(前者とする)．よって可換四角形
\begin{xy}\xymatrix{
x \ar[r]^f\ar[d] &y \ar[d]^\varphi\ar@{.>}[ld]\\
a \ar[r] &a+b
}\end{xy}
を得る．命題4により入射は正則モノ，従って強モノであるから，$f$がエピであれば充填$y\to a$が存在する．つまり，$\varphi$は$a$を経由し，$y$が連結であるとわかった．
