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用語の日本語訳はテキトーです

広範圏

$C$ を有限余積を持つ圏とする． $C$ の対象の組 $x, y \in C$ について， $x, y$ に対して広範条件(extensivity condition)をみたすとは，標準的な関手
$\begin{array}{rclrc} (1) & C / x & \times & C / y & \to & C / (x + y) \\ (f : a \to x) & \times & (g : b \to y) & \mapsto & (f + g : a + b \to x + y) \end{array}$
が圏同値を与えることをいう． $C$ のすべての対象の組 $x, y$ に対して広範条件をみたすとき， $C$ は広範(extensive)であるという．

余積の余射影のことを入射と呼ぶ．

有限余積を持つ圏 $C$ について，以下は同値である:
(イ) $C$ は広範圏である．
(ロ) $C$ のすべての射の入射に沿った引き戻しが存在し，与えられた可換図式
$\begin{matrix} (D) & a_{1} f_{1} a f a_{2} f_{2} x x + y y \end{matrix}$
において，上の行が余積であることと，二つの四角形が引き戻しであることが同値である．

可換図式 $(D)$ において，上の行が余積であることを $(D)$ が余積であると，また二つの四角形が引き戻しであることを $(D)$ が引き戻しであると略称する．

[(イ) $⟹$ (ロ)] $x, y \in C$ が広範条件をみたすとする．可換図式 $(D)$ が余積を与えるとする．このとき $f = f_{1} + f_{2}$ である． $(D)$ が引き戻しであることを示すため，任意の二つの可換四角形
$b_{1} g_{1} a f b_{2} g_{2} x x + y y$
をとる．このとき $C / (x + y)$ の射 $α : g_{1} + g_{2} \to f = f_{1} + f_{2}$ が誘導されるが， $(1)$ の忠実充満性から $α_{i} : g_{i} \to f_{i}$ , $i = 1, 2$ , が一意に存在して
$b_{1} α_{1} g_{1} b_{1} + b_{2} α b_{2} α_{2} g_{2} a_{1} f_{1} a f a_{2} f_{2} x x + y y$
を可換にする．これは $(D)$ が引き戻しであることを示している．
次に $(D)$ が引き戻しであるとする． $(1)$ が本質的全射であるから，
$\begin{matrix} (D’) & a_{1}^{'} f_{1}^{'} a f a_{2}^{'} f_{2}^{'} x x + y y \end{matrix}$
が余積となるような $f_{1}^{'}, f_{2}^{'}$ が存在する．このとき上でみたように $(D’)$ は引き戻しを与える．引き戻しの一意性から，同型射 $θ_{i} : a_{i}^{'} \to a_{i}$ があって，
$a_{1}^{'} θ_{1} a a_{2}^{'} θ_{2} a_{1} a a_{2}$
を可換にする．とくに， $a_{1} \to a \leftarrow a_{2}$ は余積である．
入射に沿った射の引き戻しが存在することを示すため，任意の射 $f : a \to x + y$ をとる．再び $(1)$ の本質的全射性から，余積 $(D’)$ が存在し，引き戻しを与える．これで(イ) $⟹$ (ロ)が示された．

[(ロ) $⟹$ (イ)] 任意の $x, y \in C$ をとる．任意の射 $f : a \to x + y$ に対し，引き戻しをとって可換図式 $(D)$ を得る．仮定(ロ)によりこれは余積であるから，関手 $(1)$ は本質的全射である．忠実充満性のため，任意の $f_{i} : a_{i} \to x$ , $g_{i} : b_{i} \to y$ , $i = 1, 2$ をとる．関手 $(1)$ が導く写像を
$\begin{array}{r} Φ : {Hom}_{C / x} (f_{1}, f_{2}) \times {Hom}_{C / y} (g_{1}, g_{2}) \to {Hom}_{C / (x + y)} (f_{1} + g_{1}, f_{2} + g_{2}) \end{array}$
とする．逆向きの写像を次のように構成する． $α \in {Hom}_{C / (x + y)} (f_{1} + g_{1}, f_{2} + g_{2})$ に対し，入射 $a_{2} \to a_{2} + b_{2} \leftarrow b_{2}$ との引き戻しをとって
$a_{1}^{'} α_{1} a_{1} + b_{1} α b_{1}^{'} α_{2} a_{2} f_{2} a_{2} + b_{2} f_{2} + g_{2} b_{2} g_{2} x x + y y$
を得る．(ロ)により下二つの四角形は引き戻しであるから，貼り合わせ原理により二段合わせた四角形も引き戻しである． $(f_{2} + g_{2}) \circ α = f_{1} + g_{1}$ であり，
$\begin{matrix} a_{1} f_{1} a_{1} + b_{1} f_{1} + g_{1} b_{1} g_{1} x x + y y \end{matrix} \begin{matrix} a_{1}^{'} f_{2} \circ α_{1} a_{1} + b_{1} f_{1} + g_{1} b_{1}^{'} g_{2} \circ α_{2} x x + y y \end{matrix}$
が引き戻しであるから， $a_{1} ≅ a_{1}^{'}$ , $b_{1} ≅ b_{1}^{'}$ である．この同型を通して
$\begin{array}{r} Ψ (α) := ⟨ a_{1} ≅ a_{1}^{'} \overset{α_{1}}{\to} a_{2}, b_{1} ≅ b_{1}^{'} \overset{α_{2}}{\to} b_{2} ⟩ \end{array}$
と定める $Ψ$ は矛盾なく定義され(引き戻しのとり方によらない)， $Φ$ の逆写像を与える．以上で証明が完了した．

広範圏において，入射はモノであり，余積は非交和である．

$C$ を広範圏， $a \overset{i}{\to} x \overset{i^{'}}{\leftarrow} a^{'}$ を $C$ における余積とする．このとき可換図式
$a a i 0 a i x a^{'} i^{'}$
を得る．上の行が余積であるから，広範条件により二つの四角形は引き戻しである．左の引き戻しは $i$ がモノであることを，右の引き戻しは余積が非交和であることを示している．

以下 $C$ は広範圏とする．

$C$ において余積 $a \overset{i}{\to} x \overset{i^{'}}{\leftarrow} a^{'}$ , $a \overset{i}{\to} x \overset{j}{\leftarrow} b$ が与えられたとき，部分対象として $i^{'} = j$ である．

余積が非交和であることに注意しつつ引き戻しをとって
$0 b j b \times_{x} a^{'} a i x a^{'} i^{'} a a i 0$
を得る．広範条件から $0 \to b \leftarrow b \times_{x} a^{'}$ , $b \times_{x} a^{'} \to a^{'} \leftarrow 0$ は余積である．一般に入射 $t \to t + 0$ は同型であるから，部分対象として $i^{'} = j$ が従う．

$x \in C$ の部分対象のうち，入射で表されるもの全体を $Summ (x)$ で表す． $Summ (x)$ の要素を $x$ の直和因子という． $(i : a \to x) \in Summ (x)$ の割符を $(i^{'} : a^{'} \to x)$ で表す．つまり， $a \overset{i}{\to} x \overset{i^{'}}{\leftarrow} a^{'}$ が余積である．

$0 \to x \overset{id}{\leftarrow} x$ が余積であるから， $(0 \to x), {id}_{x} \in Summ (x)$ である．命題2より強く，次が成り立つ．

広範圏において，入射は正則モノである．とくに， $0 \to x$ は正則モノである．

$a \overset{i}{\to} x \overset{i^{'}}{\leftarrow} a^{'}$ を余積とし，可換図式
$a i i x i + i^{'} a^{'} i^{'} i^{'} x x + x x$
を考える．広範条件から二つの四角形は引き戻しであるから， $i, i^{'}$ は正則モノである．

広範圏において， $0$ は厳密始対象である．

$f : a \to 0$ が与えられたとき，引き戻し
$a f a f a f 000$
を得るから，広範条件により上の行は余積である．ここで，二つの射 ${id}_{a} : a \to a$ , $(a \overset{f}{\to} 0 \to a)$ を考えると，余積の普遍性からこれらが等しいことがわかる． ${id}_{0} = (0 \to a \overset{f}{\to} 0)$ も成り立つから， $a ≅ 0$ である．

極限を持つ広範圏

終対象を持つ広範圏

$C$ を有限余積と終対象を持つ圏とするとき，以下は同値である:
(イ) $C$ は広範圏である．
(ロ) 組 $1, 1$ に対して広範条件が成り立つ．

(イ) $⟹$ (ロ)は明らかである． $1, 1$ が広範条件をみたすとして，命題1の(ロ)を示す．任意の $x, y \in C$ と $f : a \to x + y$ をとる．命題1の証明から，
$\begin{matrix} (2) & x x + y y 1 1 + 1 1 \end{matrix}$
は引き戻しである．また，入射 $1 \to 1 + 1 \leftarrow 1$ に沿った任意の射の引き戻しが存在し，引き戻し
$u a f v x + y 1 1 + 1 1$
を得る．このとき引き戻し $(2)$ の普遍性から仲介射 $u \to x, v \to y$ を得るが，貼り合わせ原理から
$\begin{matrix} (D) & u a f v x x + y y \end{matrix}$
は引き戻しである．よって入射に沿った射の引き戻しが存在することが分かった．
次に，与えられた可換図式 $(D)$ が余積であったとする．このとき $1, 1$ についての広範条件から
$\begin{matrix} (DD) & u a f v x x + y y 1 1 + 1 1 \end{matrix}$
の下段と上下段は引き戻しであるから，上段も引き戻しである．逆に $(D)$ が引き戻しであれば， $(DD)$ の上下段も引き戻しとなるから， $(D)$ は余積である．

終対象を持つ広範圏において， $1 \to 1 + 1$ は入射を分類する; 任意の入射 $i : a \to x$ に対し，ただ一つの射 $χ_{i} : x \to 1 + 1$ が存在して，
$a i 1 x χ_{i} 1 + 1$
を引き戻しにする．

$i : a \to x$ を入射とするとき，命題6から
$a i x a^{'} i^{'} 1 1 + 1 1$
は引き戻しである．一意性は余積の普遍性と割符の一意性(命題3)から従う．

二項積を持つ広範圏

二項積を持つ広範圏は分配的である．

与えられた対象 $x, a, b \in C$ に対し，
$x \times a x \times (a + b) x \times b a a + b b$
は引き戻しであるから，広範条件により $x \times a \to x \times (a + b) \leftarrow x \times b$ は余積である．

引き戻しを持つ広範圏

余積は引き戻しについても，次の意味で分配する．与えられた射 $φ : x \to t, f : a \to t, g : b \to t$ に対し，三つの引き戻し
$\begin{matrix} x \times_{t} a a f x φ t \end{matrix} \begin{matrix} x \times_{t} b b g x φ t \end{matrix} \begin{matrix} x \times_{t} (a + b) a + b (f g) x φ t \end{matrix}$
を考える．３つ目の引き戻しと入射 $a \to a + b$ との引き戻しをとることで
$x \times_{t} a x \times_{t} (a + b) x φ a a + b (f g) t$
を得るが，下の行の合成は $f$ であるから左上は $x \times_{t} a$ である．よって射 $x \times_{t} a \to x \times_{t} (a + b)$ を得る．同様にして $x \times_{t} b \to x \times_{t} (a + b)$ およびこの二つの射から誘導される射
$\begin{array}{r} (3) & (x \times_{t} a) + (x \times_{t} b) \to x \times_{t} (a + b) \end{array}$
を得る．

$(3)$ は同型である．

可換図式
$x \times_{t} a x \times_{t} (a + b) x \times_{t} b a a + b b$
が引き戻しであればよいが，それは上で確認した．

広範圏の連結対象

広範圏 $C$ の対象 $x$ が連結であるとは，関手
$\begin{array}{r} (Conn) & よ_{x} = {Hom}_{C} (x, \mathchar ‘ -) : C \to Set \end{array}$
が二項余積を保つことをいう．

$0$ は連結でない．実際，
$\begin{array}{r} よ_{0} (0 + 0) = * \neq * + * = よ_{0} (0) + よ_{0} (0) \end{array}$
であり，二項余積を保たない．

以下では誤解の恐れがない限り，部分対象(とくに直和因子) $(i : a \to x) \in Sub (x)$ に対し，それを表す射(の同型類) $i$ とそのドメイン $a$ を区別せず，記号の濫用により $a$ が $x$ の部分対象と言ったり $a \in Sub (x)$ と書いたりする．とくに， $(0 \to x)$ を $0$ , $({id}_{x} : x \to x)$ を $x$ と表す．

$C$ を広範圏， $f : x \to y$ を $C$ の射とする．引き戻しにより得られる部分対象の間の関手 $f^{*} : Sub (y) \to Sub (x)$ の制限は $f^{*} : Summ (y) \to Summ (x)$ を導く．

$u \to y \leftarrow u^{'}$ を余積とするとき， $f$ との引き戻しをとって
$f^{*} [u] x f^{*} [u^{'}] u y u^{'}$
を得るが，広範条件からこれは余積である．

$x$ を広範圏 $C$ の対象とするとき，次は同値である:
(イ) $x$ は連結である．
(ロ) $x \neq 0$ かつ $Summ (x) = {0, x}$ である．

[(イ) $⟹$ (ロ)] 上の注意により $x \neq 0$ である． $u \to x \leftarrow u^{'}$ を余積とする． $x$ が連結であるので，同型 $x \tilde{\to} u + u^{'}$ は一方の直和因子( $u$ とする)を経由する．ここで引き戻し
$u^{'} 0 u^{'} x \sim u u + u^{'}$
を考える．ここで，余積が非交和であることから上の行の真ん中は $0$ であり，引き戻しは同型を保つので左上は $u^{'}$ である．よって $0$ が厳密である(命題5)ことから $u^{'} = 0$ , $u ≅ u + 0 ≅ x$ を得る．

[(ロ) $⟹$ (イ)] 任意の射 $f : x \to y + z$ を考える．補題10と仮定(ロ)から $f^{*} [y]$ か $f^{*} [z]$ のちょうどどちらか一方は $x$ と同型である．よって $f$ は $y$ か $z$ のどちらか一方を経由する．

$C$ を終対象を持つ広範圏とする． $f : x \to y$ がエピであるとき， $f^{*} : Summ (y) \to Summ (x)$ は単射である．

$u, v \in Summ (y)$ が $f^{*} [u] = f^{*} [v]$ をみたすとする．このとき引き戻し
$\begin{matrix} f^{*} [u] u 1 x f y χ_{u} 1 + 1 \end{matrix} = \begin{matrix} f^{*} [v] v 1 x f y χ_{v} 1 + 1 \end{matrix}$
を得るから，特性写像の一意性により $χ_{u} \circ f = χ_{v} \circ f$ を得る．従って $f$ がエピであることから $χ_{u} = χ_{v}$ を得， $u = v$ を得る．

$f : x \to y$ がエピで， $x$ が連結であれば $y$ も連結である．

任意の射 $φ : y \to a + b$ をとる． $x$ は連結であるから， $φ \circ f : x \to a + b$ は $a$ または $b$ のどちらか一方を経由する(前者とする)．よって可換四角形
$x f y φ a a + b$
を得る．命題4により入射は正則モノ，従って強モノであるから， $f$ がエピであれば充填 $y \to a$ が存在する．つまり， $φ$ は $a$ を経由し， $y$ が連結であるとわかった．