三角形演算と総乗の微分の関係
はじめに
今回は三角形演算子と総乗の微分の関係を示します。
公式を示すだけなのでさっくり行きます。
三角形演算子についてはこちら( リンク )を参照してください。
主張
まず、証明の道具として以下の公式を示します。
$$ \;\genprodsum{i=1}{n}{}{a_i} = \gprod{i=1}{n-1}{a_i} + a_n \;\genprodsum{i=1}{n-1}{}{a_i} $$
\begin{eqnarray} \text{定義より}\\ \text{左辺} &=& \genprodsum{i=1}{n}{}{a_i} \\ &=& \gsum{i=1}{n}{\gprod{j\neq i}{}{a_j}}\\ &=& \gprod{j\neq 1}{n}{a_j} + \cdots + \gprod{j\neq n-1}{n}{a_j} + \gprod{j\neq n}{n}{a_j}\\ &=& a_n \left(\gprod{j\neq 1}{n-1}{a_j} + \cdots + \gprod{j\neq n-1}{n-1}{a_j} \right) + \gprod{j=1}{n-1}{a_j}\\ &=& a_n \;\genprodsum{i=1}{n-1}{}{a_i} + \gprod{j=1}{n-1}{a_j} = \text{右辺} \end{eqnarray}
回りくどく書きすぎた気もしますが……。
これを使って次の公式を示しましょう。
$n\geq 2, \forall x_i\in \mathbb{R}$
$$
\frac{d}{dx}\gprod{i=1}{n}{(x+x_i)} = \genprodsum{i=1}{n}{}{(x+x_i)}
$$
$n=2$のとき、
\begin{eqnarray} \text{左辺} &=& \frac{d}{dx} \gprod{i=1}{2}{(x+x_i)}\\ &=& \frac{d}{dx}\left\{ (x+x_1)(x+x_2) \right\}\\ &=& (x+x_2) + (x+x_1)\\ &=& \genprodsum{i=1}{2}{}{(x+x_i)} = \text{右辺} \end{eqnarray}
より成立。$n=k, k>3$のとき、$n=k-1$で成り立つと仮定すると、
\begin{eqnarray} \text{左辺} &=& \frac{d}{dx} \gprod{i=1}{k}{(x+x_i)}\\ &=& \frac{d}{dx}\left\{ (x+x_k) \cdot \gprod{i=1}{k-1}{(x+x_i)}\right\} \\ &=& \gprod{i=1}{k-1}{(x+x_i)} + (x+x_k)\frac{d}{dx} \gprod{i=1}{k-1}{(x+x_i)}\\ \text{仮定より}\\ &=& \gprod{i=1}{k-1}{(x+x_i)} + (x+x_k)\;\genprodsum{i=1}{k-1}{}{(x+x_i)}\\ \text{公式1より}\\ &=& \genprodsum{i=1}{k}{}{(x+x_i)} = \text{右辺} \end{eqnarray}
ゆえに、1. 2.より数学的帰納法から$\frac{d}{dx}\gprod{i=1}{n}{(x+x_i)} = \genprodsum{i=1}{n}{}{(x+x_i)} \quad\blacksquare$
以上です
今回の記事は以上です。
証明は簡単ですが、おもしろい結果が得られた気がします。
今回はやりませんが、$\genprodsum{i}{}{}{(x-x_i)}$の微分とかもしてみると面白そうな気がします。
もし$\genprodsum{i}{n}{n-2}{(x-x_i)}$が出てきたりしたら嬉しいですね。
それではまた～
