三角形演算と総乗の微分の関係

はじめに

今回は三角形演算子と総乗の微分の関係を示します。
公式を示すだけなのでさっくり行きます。

三角形演算子についてはこちら( リンク )を参照してください。

主張

まず、証明の道具として以下の公式を示します。

$^{} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i} = \underset{i = 1}{\prod^{n - 1}} a_{i} + a_{n}^{} \underset{i = 1}{\overset{n - 1}{△}} a_{i}$

$\begin{array}{rcl} 定義より \\ 左辺 & = & ^{} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i} \\ = & \underset{i = 1}{\sum^{n}} \underset{j \neq i}{\prod^{}} a_{j} \\ = & \underset{j \neq 1}{\prod^{n}} a_{j} + \dots + \underset{j \neq n - 1}{\prod^{n}} a_{j} + \underset{j \neq n}{\prod^{n}} a_{j} \\ = & a_{n} (\underset{j \neq 1}{\prod^{n - 1}} a_{j} + \dots + \underset{j \neq n - 1}{\prod^{n - 1}} a_{j}) + \underset{j = 1}{\prod^{n - 1}} a_{j} \\ = & a_{n}^{} \underset{i = 1}{\overset{n - 1}{△}} a_{i} + \underset{j = 1}{\prod^{n - 1}} a_{j} = 右辺 \end{array}$

回りくどく書きすぎた気もしますが……。

これを使って次の公式を示しましょう。

三角形演算子と総乗の微分の関係

$n \geq 2, \forall x_{i} \in R$
$\frac{d}{d x} \underset{i = 1}{\prod^{n}} (x + x_{i}) =^{} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} (x + x_{i})$

$n = 2$ のとき、
$\begin{array}{rcl} 左辺 & = & \frac{d}{d x} \underset{i = 1}{\prod^{2}} (x + x_{i}) \\ = & \frac{d}{d x} {(x + x_{1}) (x + x_{2})} \\ = & (x + x_{2}) + (x + x_{1}) \\ = & ^{} \underset{i = 1}{\overset{2}{△}} (x + x_{i}) = 右辺 \end{array}$
より成立。
$n = k, k > 3$ のとき、 $n = k - 1$ で成り立つと仮定すると、
$\begin{array}{rcl} 左辺 & = & \frac{d}{d x} \underset{i = 1}{\prod^{k}} (x + x_{i}) \\ = & \frac{d}{d x} {(x + x_{k}) \cdot \underset{i = 1}{\prod^{k - 1}} (x + x_{i})} \\ = & \underset{i = 1}{\prod^{k - 1}} (x + x_{i}) + (x + x_{k}) \frac{d}{d x} \underset{i = 1}{\prod^{k - 1}} (x + x_{i}) \\ 仮定より \\ = & \underset{i = 1}{\prod^{k - 1}} (x + x_{i}) + (x + x_{k})^{} \underset{i = 1}{\overset{k - 1}{△}} (x + x_{i}) \\ 公式1より \\ = & ^{} \underset{i = 1}{\overset{k}{△}} (x + x_{i}) = 右辺 \end{array}$

ゆえに、1. 2.より数学的帰納法から $\frac{d}{d x} \underset{i = 1}{\prod^{n}} (x + x_{i}) =^{} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} (x + x_{i}) ◼$

以上です

今回の記事は以上です。

証明は簡単ですが、おもしろい結果が得られた気がします。
今回はやりませんが、 $^{} \underset{i}{\overset{}{△}} (x - x_{i})$ の微分とかもしてみると面白そうな気がします。
もし $^{n - 2} \underset{i}{\overset{n}{△}} (x - x_{i})$ が出てきたりしたら嬉しいですね。