Gaussの乗積表示を使わずに、Weierstraßの乗積表示を導出

ガウスの乗積表示
$\Gamma(x)=\displaystyle\lim_{N\to\infty}N^x N!\prod_{k=0}^{N}\frac{1}{x+k}$

無限積を1からにして、$N!$を無限積に入れる
$=\displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{1}{x} N^x\prod_{k=1}^{N}\frac{k}{x+k}$

$N^x$を$e^{x\log N}$とし、
$\displaystyle\lim_{N\to\infty}\Big\{ \log N -\Bigg( \sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k}-\gamma\Bigg) \Big\}=0$
を使うと

$=\displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{1}{x}e^{x\Big(\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k}-\gamma\Big)} \prod_{k=1}^{N}\frac{k}{x+k}$

$e$の肩のシグマを無限積にいれると

$=\displaystyle\lim_{N\to\infty}\frac{1}{x}e^{-\gamma x} \prod_{k=1}^{N}e^{\frac{x}{k}}\frac{k}{x+k}$

逆数をとって

$ \Gamma(x)=\displaystyle xe^{\gamma x}\prod_{k=1}^{\infty}e^{-\frac{x}{k}}\Big(1+\frac{x}{k}\Big)$
が、示された。

ガンマ関数の漸化式
$\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)$
を両辺対数微分すれば
$\psi(x+1)=\displaystyle\frac{1}{x}+\psi(x)$
移項して和分すれば
$\displaystyle\sum_{k=1}^{x}\Big\{\psi(k+1)-\psi(k)\Big\}=\psi(x+1)-\psi(1)=\sum_{k=1}^{x}\frac{1}{k}$

右辺を$S$とし、中身を揃えるように変形すると
$S=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Big\{\sum_{k=1}^{n}f(k)-\sum_{k=x+1}^{n+x}f(k)\Big\}$
1からxまでの和(有限)を引くと
$S-\displaystyle\sum_{k=1}^{x}f(k)=\lim_{n\to\infty}\Big\{\sum_{k=1}^{n}f(k)-\sum_{k=1}^{n+x}f(k)\Big\}=-\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n+1}^{n+x}f(k)$
$x\to\infty$で$f(x)\to0$なので
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}-\sum_{k=n+1}^{n+x}f(k)=0$
よって
$S-\displaystyle\sum_{k=1}^{x}f(k)=0$
$S=\displaystyle\sum_{k=1}^{x}f(k)$