Gaussの乗積表示を使わずに、Weierstraßの乗積表示を導出

ガウスの乗積表示
$\mathrm{\Gamma }(x)={\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{N}^{x}N!\prod _{k=0}^N\frac{1}{x+k}}$

無限積を1からにして、$N!$を無限積に入れる
$={\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}{N}^x\prod _{k=1}^N\frac{k}{x+k}}$

$N^x$を$e^{x\log N}$とし、
${\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\log N-(\sum _{k=1}^N\frac{1}{k}-\gamma )\}=0}$
を使うと

$={\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}{e}^{x(\sum _{k=1}^N\frac{1}{k}-\gamma )}\prod _{k=1}^N\frac{k}{x+k}}$

$e$の肩のシグマを無限積にいれると

$={\displaystyle \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}{e}^{-\gamma x}\prod _{k=1}^N{e}^{\frac{x}{k}}\frac{k}{x+k}}$

逆数をとって

$\mathrm{\Gamma }(x)={\displaystyle x{e}^{\gamma x}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\frac{x}{k}}(1+\frac{x}{k})}$
が、示された。

ガンマ関数の漸化式
$\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$
を両辺対数微分すれば
$\psi (x+1)={\displaystyle \frac{1}{x}+\psi (x)}$
移項して和分すれば
${\displaystyle \sum _{k=1}^x\{\psi (k+1)-\psi (k)\}=\psi (x+1)-\psi (1)=\sum _{k=1}^x\frac{1}{k}}$

右辺を$S$とし、中身を揃えるように変形すると
$S={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\sum _{k=1}^{n}f(k)-\sum _{k=x+1}^{n+x}f(k)\}}$
1からxまでの和(有限)を引くと
$S-{\displaystyle \sum _{k=1}^{x}f(k)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\{\sum _{k=1}^{n}f(k)-\sum _{k=1}^{n+x}f(k)\}=-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=n+1}^{n+x}f(k)}$
$x\to \mathrm{\infty }$で$f(x)\to 0$なので
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}-\sum _{k=n+1}^{n+x}f(k)=0}$
よって
$S-{\displaystyle \sum _{k=1}^{x}f(k)=0}$
$S={\displaystyle \sum _{k=1}^{x}f(k)}$