Laguerre関数のモーメントによる表示
Laguerre関数, Bessel関数はそれぞれ以下のように定義される.
\begin{align}
L_{\nu}^{(a)}(x)&:=\frac{\Gamma(a+\nu+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\nu+1)}\F11{-\nu}{a+1}x\\
J_a(x)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(a+n+1)}\left(\frac x2\right)^{2n+a}
\end{align}
今回は以下の表示を示す.
\begin{align} L_{\nu}^{(a)}(x)&=\frac{x^{-\frac a2}e^x}{\Gamma(\nu+1)}\int_0^{\infty}t^{\nu+\frac a2}e^{-t}J_a(2\sqrt{xt})\,dt \end{align}
まず, 項別積分により
\begin{align}
&\frac{x^{-\frac a2}e^x}{\Gamma(\nu+1)}\int_0^{\infty}t^{\nu+\frac a2}e^{-t}J_a(2\sqrt{xt})\,dt\\
&=\frac{e^x}{\Gamma(\nu+1)}\int_0^{\infty}t^{\nu+a}e^{-t}\sum_{0\leq n}\frac{(-x)^n}{n!\Gamma(n+a+1)}t^n\,dt\\
&=\frac{e^x}{\Gamma(\nu+1)}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(n+a+1)}\int_0^{\infty}t^{\nu+a+n}e^{-t}\,dt\\
&=\frac{e^x}{\Gamma(\nu+1)}\sum_{0\leq n}\frac{(-x)^n\Gamma(n+\nu+a+1)}{n!\Gamma(n+a+1)}\\
&=\frac{\Gamma(\nu+a+1)}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(a+1)}e^x\F11{\nu+a+1}{a+1}{-x}
\end{align}
ここで, Kummerの変換公式より
\begin{align}
e^x\F11{\nu+a+1}{a+1}{-x}&=\F11{-\nu}{a+1}{x}
\end{align}
であるから, これを代入すると,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(\nu+a+1)}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(a+1)}e^x\F11{\nu+a+1}{a+1}{-x}\\
&=\frac{\Gamma(\nu+a+1)}{\Gamma(\nu+1)\Gamma(a+1)}\F11{-\nu}{a+1}{x}\\
&=L_{\nu}^{(a)}(x)
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
これは 前の記事 で示した変形Bessel関数による合流型超幾何関数の積分表示の類似である. 第2種Laguerre関数の標準的な定義は今のところないと思われるが, 定理1の第1種Bessel関数を第2種Bessel関数に置き換えた積分の定数倍によってそれを定義するという方針はあり得るかもしれない.
