大学数学基礎解説

とあるオイラーの定数の積分表示と、ちょっとした数値計算

オイラーの定数,アベル・プラナの和公式,台形公式

～♪あ、オイラーの定数の積分表示。

オイラーの定数の積分表示ヴァージョン1

$$\gamma=\frac12+\int_0^\infty\frac{2t}{\left(1+t^2\right)\left(e^{2\pi t}-1\right)}dt$$

アベル・プラナの和公式において、$f(z)=\frac1z$とすると出るぞ！(解説めんどい)一回部分積分を行うと、全区間無限積分にできるぞ!!(解説めんどい)

オイラーの定数の積分表示ヴァージョン2

$$\gamma=\frac12+\frac{\pi}{4}\int_{-\infty}^\infty\frac{\log\left(1+t^2\right)}{\sinh^2\left(\pi t\right)}dt$$

オイラーの定数って、収束が遅い!!!

オイラーの定数の定義式の剰余項は$O(\frac1n)$で遅いんですよね。ちょっと補正してやれば$O(\frac1{n^6})$(とか、もっと)にできるんですが、それでも遅い。級数表示も二重級数になってたり、あまり使い勝手の良いのがない。から、積分表示して数値積分したほうがいーんじゃね。と思いました。

台形公式って、$(-\infty,\infty)$での積分の時、良い!!!!

さっき全区間無限どーたら(中二っぽい)とか言ってましたが、なんでわざわざこうするのかというと、数値積分するにあたって、素朴に台形近似する方法があります。式で言うとこうです。

台形公式

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)dx \simeq h\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=-N}^N f(hn)$$

$h$は実軸の刻み幅です。これが、実軸の近くで正則(ほかにもちょろっと条件あったり)な関数においては、$h\rightarrow0$で指数関数的に収束するという事実があります(これ名前付いてんのかな)。右辺は無限和ですが足す項がある程度小さくなったら打ち切ります。

計算した

C言語でちょろっとコード書いて試してみると、$h=\frac18$、$N=48$として計算したあたりで$0.5772156649015326$となってdouble型の限界精度$10^{-16}$に達してしまいました。結構速いんじゃね(知らんけど)。Pythonとか、多倍長演算するともうちょっと求められまんのやが…(めんどくさい)