誤った数学的帰納法で誤った命題を証明する

1. $1$本の直線で平面は$2$個の領域に分割できる。つまり$P(1)$が成立。
2. 冒頭に書いた通り、さらにもう$1$本の直線を適切に描くと、もう一つの直線が$P(1)$による$2$つの領域を、それぞれ$2$分割するので、$2^2=4$個の領域に分割できる。$P(2)$が成立。つまり、$P(1) \Rightarrow P(2)$が成立

ここで、誤った数学的帰納法を使用する。
$k=1$とすると$P(1)$と$P(1) \Rightarrow P(2)$が成り立つので、任意の自然数$n$に対して$P(n)$が成立。つまり「$n$本の直線で平面は最大$2^n$個の領域に分割できる。」∎

$n=1$の時、$\frac{1}{2}(n^2+n+2)=\frac{1}{2}(1^2+1+2)=2$なので
$Q(1)$が成立。
$ \forall k \in \mathbb{N}; Q(k)$が成立と仮定する。$k$本の直線で平面が$\frac{1}{2}(k^2+k+2)$個の分割されているとする。
そこに、もう$1$本の他のどの直線とは平行にならずに既存の交点を通らない直線を描く。（できる領域の個数が最大になるようにしている）
そうすると、この直線はすでにある$k$本の直線と交わる。この直線上に交点は$k$個ある。直線がこれらの交点によって$k+1$個の区間に分割される。直線が通る各領域（直線$k$本で分割された各領域）はこれらのそれぞれの区間（直線との共通部分）によって$2$分割されるので、新たに$k+1$の領域が増える。
新たな直線による分割
領域の数は
$$\frac{1}{2}(k^2+k+2)+(k+1) $$
$$=\frac{1}{2}(k^2+k+2+2k+2)$$
$$=\frac{1}{2}((k+1)^2-1+k+2+2)$$
$$=\frac{1}{2}((k+1)^2+k+1+2)$$
$$=\frac{1}{2}((k+1)^2+(k+1)+2)$$
となり、新たに引いた直線はそれと平行でない他の$k$本の直線とは$k$回交わるだけなので、これより多い個数の領域には分割できない。$Q(k+1)$が成り立つ。
任意の$k \in \mathbb{N};$$n=k$のときの$Q(k) \Rightarrow Q(k+1) $が示せた。$Q(1)$と合わせて、数学的帰納法を適用すると、任意の自然数$n$に対して$Q(n)$が成立する。
よって、$n$本の直線で平面は最大$\frac{1}{2}(n^2+n+2)$個の領域に分割できる∎