有限多重t値と二項係数付きの有限級数
はじめに
以前書いた記事 MSW公式の母関数を用いた証明 を応用して、例えば次のような等式やその一般化を求めます。
$3$以上の素数$p$に対して次の等式が成り立つ。
$$\sum_{0\leq n<\frac{p-1}{2}}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^2}=\left(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right)^2\sum_{0\leq n_1\leq n_2<\frac{p-1}{2}}\frac{\binom{2n_1}{n_1}}{2^{2n_1}(n_1+\frac{1}{2})(n_2+\frac{1}{2})}\ \pmod p$$
ここで$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$であり、ポッホハマー記号を$(a)_n=a(a+1)\cdots(a+n-1)$と定めると$\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}=\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!}$となることに注意します。
前回の記事で示したこと
以下、$N$は正の整数。
$(a)_n:=a(a+1)\cdots(a+n-1)$
$r$を正の整数とする。$r$変数の形式的冪級数$f_N(x_1,\ldots,x_r)$と$g_N(x_1,\ldots,x_r)$を次で定める。
\begin{align}
f_N(x_1,\ldots,x_r)&:=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< N}\prod_{i=1}^{r}\left(\frac{1}{n_i-x_i}\right)\\
g_N(x_1,\ldots,x_r)&:=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< n_{r+1}=N}\prod_{i=1}^{r}\left(\frac{1}{N-n_i}\frac{(1-x_i)_{n_i-1}}{(n_{i}-1)!}\frac{(n_{i+1}-1)!}{(1-x_{i})_{n_{i+1}-1}}\right)
\end{align}
このとき$f_N(x_1,\ldots,x_r)=g_N(x_1,\ldots,x_r) $が成立する。
証明は前回の記事を参照してください。
本題
以下、$p$は$3$以上の素数とする。
インデックス$(k_1,\ldots,k_r)$に対して次の等式が成り立つ。
\begin{align}
&\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_r<\frac{p-1}{2}}\frac{1}{(n_1+\frac{1}{2})^{k_1}(n_2+\frac{1}{2})^{k_2}\cdots(n_r+\frac{1}{2})^{k_r}}\\
=&(-1)^{{r-1}}\left(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right)^2\sum_{\substack{0\leq n_{j,1}\leq n_{j,2}\leq\cdots\leq n_{j,k_j}<\frac{p-1}{2}\\n_{j,k_j}< n_{j+1,1}\ \mathrm{for\ all} \ j\in\lbrace1,2,\ldots,r\rbrace\\ n_{r+1,1}=\frac{p-1}{2}}}\frac{\binom{2n_{1,1}}{n_{1,1}}}{2^{2n_{1,1}}}\prod_{j=1}^{r}\left(\frac{1}{(n_{j,1}+\frac{1}{2})(n_{j,2}+\frac{1}{2})\cdots(n_{j,k_{j}}+\frac{1}{2})}\right)\ \pmod p
\end{align}
具体例をいくつか挙げると
\begin{align*}
\sum_{0\leq n<\frac{p-1}{2}}\frac{1}{n+\frac{1}{2}}&=\left(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right)^2\sum_{0\leq n<\frac{p-1}{2}}\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}(n+\frac{1}{2})}\ \pmod p\\
\sum_{0\leq n<\frac{p-1}{2}}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^2}&=\left(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right)^2\sum_{0\leq n_1\leq n_2<\frac{p-1}{2}}\frac{\binom{2n_1}{n_1}}{2^{2n_1}(n_1+\frac{1}{2})(n_2+\frac{1}{2})}\ \pmod p\\
\sum_{0\leq n_1< n_2<\frac{p-1}{2}}\frac{1}{(n_1+\frac{1}{2})(n_2+\frac{1}{2})}&=-\left(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right)^2\sum_{0\leq n_1< n_2<\frac{p-1}{2}}\frac{\binom{2n_1}{n_1}}{2^{2n_1}(n_1+\frac{1}{2})(n_2+\frac{1}{2})}\ \pmod p\\
\sum_{0\leq n<\frac{p-1}{2}}\frac{1}{(n+\frac{1}{2})^3}&=\left(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right)^2\sum_{0\leq n_1\leq n_2\leq n_3<\frac{p-1}{2}}\frac{\binom{2n_1}{n_1}}{2^{2n_1}(n_1+\frac{1}{2})(n_2+\frac{1}{2})(n_3+\frac{1}{2})}\ \pmod p\\
\sum_{0\leq n_1< n_2<\frac{p-1}{2}}\frac{1}{(n_1+\frac{1}{2})(n_2+\frac{1}{2})^2}&=-\left(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right)^2\sum_{0\leq n_1< n_2\leq n_3<\frac{p-1}{2}}\frac{\binom{2n_1}{n_1}}{2^{2n_1}(n_1+\frac{1}{2})(n_2+\frac{1}{2})(n_3+\frac{1}{2})}\ \pmod p\\
\sum_{0\leq n_1< n_2<\frac{p-1}{2}}\frac{1}{(n_1+\frac{1}{2})^2(n_2+\frac{1}{2})^3}&=-\left(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right)^2\sum_{0\leq n_1\leq n_2< n_3\leq n_4\leq n_5<\frac{p-1}{2}}\frac{\beta_{n_1}}{(n_1+\frac{1}{2})(n_2+\frac{1}{2})(n_3+\frac{1}{2})(n_4+\frac{1}{2})(n_5+\frac{1}{2})}\ \pmod p
\end{align*}
のような感じです。
定理1において、$x_i\rightarrow\frac{1}{2}+x_i\ (i=1,2,\ldots,r)$と変数変換してから$x^{k_1-1}_1x^{k_2-1}_2\cdots x^{k_r-1}_r$で係数比較して、$N=\frac{p+1}{2}$を代入してから両辺$\mod p $すれば示すことができます。以下、詳しく書きます。
$\\$
\begin{align}
f_N\left(\frac{1}{2}+x_1,\frac{1}{2}+x_2,\ldots,\frac{1}{2}+x_r\right)&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< N}\prod_{i=1}^{r}\left(\frac{1}{n_i-\frac{1}{2}-x_i}\right)\\
&=\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_r< N-1}\prod_{i=1}^{r}\left(\frac{1}{n_i+\frac{1}{2}-x_i}\right)\\
\end{align}
$$\frac{1}{n+\frac{1}{2}-x}=1+\frac{x}{n+\frac{1}{2}}+\frac{x^2}{(n+\frac{1}{2})^2}+\frac{x^3}{(n+\frac{1}{2})^3}+\cdots $$
に注意すると、$f_N$の$x^{k_1-1}_1x^{k_2-1}_2\cdots x^{k_r-1}_r$の係数が
$$(☆)\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_r< N-1}\frac{1}{(n_1+\frac{1}{2})^{k_1}(n_2+\frac{1}{2})^{k_2}\cdots(n_r+\frac{1}{2})^{k_r}}$$
になっていることが分かります。
\begin{align}
g_N\left(\frac{1}{2}+x_1,\frac{1}{2}+x_2,\ldots,\frac{1}{2}+x_r\right)&=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< n_{r+1}=N}\prod_{i=1}^{r}\left(\frac{1}{N-n_i}\frac{(\frac{1}{2}-x_i)_{n_i-1}}{(n_{i}-1)!}\frac{(n_{i+1}-1)!}{(\frac{1}{2}-x_{i})_{n_{i+1}-1}}\right)\\
&=\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_r< n_{r+1}=N-1}\prod_{i=1}^{r}\left(\frac{1}{N-n_i-1}\frac{(\frac{1}{2}-x_i)_{n_i}}{n_{i}!}\frac{n_{i+1}!}{(\frac{1}{2}-x_{i})_{n_{i+1}}}\right)\\
\end{align}
ここで$n< m$を満たす正整数$n,m$に対して
\begin{align}
\frac{(\frac{1}{2}-x)_{n}}{n!}\frac{m!}{(\frac{1}{2}-x)_{m}}
&=\frac{(\frac{1}{2})_nm!}{n!(\frac{1}{2})_m}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{x}{k+\frac{1}{2}}\right)\cdot\prod_{k=0}^{m-1}\left(\frac{1}{1-\frac{x}{k+\frac{1}{2}}}\right)\\
&=\frac{\binom{2n}{n}2^{2m}}{2^{2n}\binom{2m}{m}}\prod_{n\leq k< m}\left(\frac{1}{1-\frac{x}{k+\frac{1}{2}}}\right)\\
&=\frac{\binom{2n}{n}2^{2m}}{2^{2n}\binom{2m}{m}}\left(1+{_{n\leq}\tau^{\star}_{< m}}(1)x+{_{n\leq}\tau^{\star}_{< m}}(1,1)x^2+\cdots\right)
\end{align}
が成り立つことに注意すると$g_N$の$x^{k_1-1}_1x^{k_2-1}_2\cdots x^{k_r-1}_r$の係数が
$$(★)\sum_{\substack{0\leq n_{j,1}\leq n_{j,2}\leq\cdots\leq n_{j,k_j}< N-1\\n_{j,k_j}< n_{j+1,1}\ \mathrm{for\ all} \ j\in\lbrace1,2,\ldots,r\rbrace\\ n_{r+1,1}=N-1}}\frac{\binom{2n_{1,1}}{n_{1,1}}2^{2N-2}}{2^{2n_{1,1}}\binom{2N-2}{N-1}}\prod_{j=1}^{r}\left(\frac{1}{(N-n_{j,1}-1)(n_{j,2}+\frac{1}{2})\cdots(n_{j,k_{j}}+\frac{1}{2})}\right)$$
になっていることが分かります。
(☆)と(★)において、$N=\frac{p+1}{2}$を代入して$\mod p$することで
$$(☆)\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_r<\frac{p-1}{2}}\frac{1}{(n_1+\frac{1}{2})^{k_1}(n_2+\frac{1}{2})^{k_2}\cdots(n_r+\frac{1}{2})^{k_r}}\ \pmod p$$
\begin{align}
(★)&\sum_{\substack{0\leq n_{j,1}\leq n_{j,2}\leq\cdots\leq n_{j,k_j}<\frac{p-1}{2}\\n_{j,k_j}< n_{j+1,1}\ \mathrm{for\ all} \ j\in\lbrace1,2,\ldots,r\rbrace\\ n_{r+1,1}=\frac{p-1}{2}}}\frac{\binom{2n_{1,1}}{n_{1,1}}2^{p-1}}{2^{2n_{1,1}}\binom{p-1}{\frac{p-1}{2}}}\prod_{j=1}^{r}\left(\frac{1}{(\frac{p-1}{2}-n_{j,1})(n_{j,2}+\frac{1}{2})\cdots(n_{j,k_{j}}+\frac{1}{2})}\right)\ \pmod p\\
&=(-1)^r\cdot 2^{p-1}\cdot\frac{\left(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right)^2}{(p-1)!}\sum_{\substack{0\leq n_{j,1}\leq n_{j,2}\leq\cdots\leq n_{j,k_j}<\frac{p-1}{2}\\n_{j,k_j}< n_{j+1,1}\ \mathrm{for\ all} \ j\in\lbrace1,2,\ldots,r\rbrace\\ n_{r+1,1}=\frac{p-1}{2}}}\frac{\binom{2n_{1,1}}{n_{1,1}}}{2^{2n_{1,1}}}\prod_{j=1}^{r}\left(\frac{1}{(n_{j,1}+\frac{1}{2})(n_{j,2}+\frac{1}{2})\cdots(n_{j,k_{j}}+\frac{1}{2})}\right)\ \pmod p\\
&=(-1)^{r-1}\left(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right)^2\sum_{\substack{0\leq n_{j,1}\leq n_{j,2}\leq\cdots\leq n_{j,k_j}<\frac{p-1}{2}\\n_{j,k_j}< n_{j+1,1}\ \mathrm{for\ all} \ j\in\lbrace1,2,\ldots,r\rbrace\\ n_{r+1,1}=\frac{p-1}{2}}}\frac{\binom{2n_{1,1}}{n_{1,1}}}{2^{2n_{1,1}}}\prod_{j=1}^{r}\left(\frac{1}{(n_{j,1}+\frac{1}{2})(n_{j,2}+\frac{1}{2})\cdots(n_{j,k_{j}}+\frac{1}{2})}\right)\ \pmod p\\
\end{align}
最後の等号では$2^{p-1}=1\ \pmod p$(フェルマーの小定理)と$(p-1)!=-1\pmod p$(ウィルソンの定理)を用いました。
これで定理2が示されました$\blacksquare$
ちなみに定理2はHoffmanの恒等式からも得られるようです。また定理2は今回行った変形と全く同様にしてHurwitz型に拡張することも出来ます。
$\\$
最後に、多重ゼータ値の用語を用いると定理2は少し簡潔に書けるのでそれを書いて終わろうと思います。
$p$は$3$以上の素数
$$\tau_{<\frac{p-1}{2}}(k_1,\ldots,k_r):=\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_r<\frac{p-1}{2}}\frac{1}{(n_1+\frac{1}{2})^{k_1}\cdots(n_r+\frac{1}{2})^{k_r}}$$
$$\xi_{<\frac{p-1}{2}}(k_1,\ldots,k_r):=\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_r<\frac{p-1}{2}}\frac{\binom{2n_1}{n_1}}{2^{2n_1}(n_1+\frac{1}{2})^{k_1}\cdots(n_r+\frac{1}{2})^{k_r}}$$
としたとき、任意の空でないインデックス$\boldsymbol{k}$に対して次が成り立つ。
$$\tau_{<\frac{p-1}{2}}(\boldsymbol{k})=(-1)^{{\mathrm{dep}(\boldsymbol{k})-1}}\left(\left(\frac{p-1}{2}\right)!\right)^2\sum_{\boldsymbol{k}\preceq\boldsymbol{l}}\xi_{<\frac{p-1}{2}}(\boldsymbol{l})\ \pmod p$$
※$\boldsymbol{k}\preceq\boldsymbol{l}$とは$\boldsymbol{k}$が$\boldsymbol{l}$の縮約インデックスであることを意味しています。すなわち、$\boldsymbol{l}=(l_1,l_2,\ldots,l_s)$としたとき、$l_j$と$l_{j+1}$の間にあるいずれか(0個でもよい)のコンマ記号"$,$"をプラス記号"$+$"に変えるとインデックス$\boldsymbol{k}$が得られることを意味しています。したがって、$\sum_{\boldsymbol{k}\preceq\boldsymbol{l}}$はそのようなインデックス$\boldsymbol{l}$全体を渡る和です。
