MSW公式の母関数を用いた証明

はじめに

先日、 MSWについての備忘録という記事を書きましたが、MSW公式の母関数を用いた証明を思いついたので記事に書きます。

MSWとは

以下、前回の記事参照です。

多重調和和

インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\ldots,k_r)$と正整数$N$に対して多重調和和$\zeta_{< N}(\boldsymbol{k})$を次のように定める。
$$\zeta_{< N}(\boldsymbol{k})=\sum_{0< n_1< n_2<\cdots< n_r< N}\frac{1}{n^{k_1}_1n^{k_2}_2\cdots n^{k_r}_r}$$
($N\leq r$のときは$0$とする。)

$\zeta^{\flat}_{< N}$

以下、$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\ldots,k_r)$を重さ$k$のインデックスとする。また、正整数$n$に対して$[n]:=\lbrace1,2,\ldots,n\rbrace$としておく。
$$J(\boldsymbol{k}):=\left\lbrace1+\sum_{i=1}^{m}k_i\middle|\ 0\leq m\leq r\right\rbrace=\lbrace1,k_1+1,k_1+k_2+1,\ldots,k_1+k_2+\cdots k_{r-1}+1,k+1\rbrace$$
$$S_N(\boldsymbol{k}):=\left\lbrace(n_1,n_2,\ldots,n_k)\in\mathbb{Z}^k\middle|\begin{array}{l} n_{i-1}< n_i\quad \mathrm{if}\ i\in J(\boldsymbol{k}) \\n_{i-1}\leq n_i\quad \mathrm{if}\ i\in [k]\setminus J(\boldsymbol{k})\\n_0=0,n_{k+1}=N \end{array}\right\rbrace$$
正整数$a$とインデックス$\boldsymbol{n}=(n_1,n_2,\ldots,n_a)$に対して$P^{(N)}_{a}(\boldsymbol{n})$を次のように定める。
$$P^{(N)}_{a}(\boldsymbol{n}):=\frac{1}{(N-n_1)n_2\cdots n_a}\quad\left(P^{(N)}_{1}(\boldsymbol{n}):=\frac{1}{N-n_1}\right)$$
このとき多重和$\zeta^{\flat}_{< N}(\boldsymbol{k})$を次のように定める。
$$\zeta^{\flat}_{< N}(\boldsymbol{k}):=\sum_{\substack{(\boldsymbol{n}_1,\ldots,\boldsymbol{n}_r)\in S_N(\boldsymbol{k})\\\mathrm{dep}(\boldsymbol{n}_i)=k_i\ \mathrm{for\ all}\ i\in[r]}}\prod_{i=1}^{r}P^{(N)}_{k_i}(\boldsymbol{n}_i)$$

MSW

正整数$N$とインデックス$\boldsymbol{k}$について、次の等式が成立する。
$$\zeta_{< N}(\boldsymbol{k})=\zeta^{\flat}_{< N}(\boldsymbol{k})$$

本題

以下、$N$は正の整数。

$r$を正の整数とする。$r$変数の形式的冪級数$f_N(x_1,\ldots,x_r)$を次で定める。
$$f_N(x_1,\ldots,x_r):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r<=N}\prod_{i=1}^{r}\left(\frac{1}{n_i-x_i}\right)$$

$$\frac{1}{n-x}=\frac{1}{n}+\frac{x}{n^2}+\frac{x^2}{n^3}+\cdots$$
であることに注意すると、$f$の$x^{k_1-1}_1x^{k_2-1}_2\cdots x^{k_r-1}_r$の係数が$\zeta_{< N}(k_1,k_2,\ldots,k_r)$になっていることが分かります。つまりこれは多重調和和の母関数になっています。

$r$を正の整数とする。$r$変数の形式的冪級数$g_N(x_1,\ldots,x_r)$を次で定める。$((a)_n:=a(a+1)\cdots(a+n-1))$
$$g_N(x_1,\ldots,x_r):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< n_{r+1}=N}\prod_{i=1}^{r}\left(\frac{1}{N-n_i}\frac{(1-x_i)_{n_i-1}}{(n_{i}-1)!}\frac{(n_{i+1}-1)!}{(1-x_{i})_{n_{i+1}-1}}\right)$$

$0< n< m$を満たす2つの整数$n,m$について次が成り立つことに注意する。
\begin{align} \frac{(1-x)_{n-1}}{(n-1)!}\frac{(m-1)!}{(1-x)_{m-1}} &=\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-\frac{x}{k}\right)\cdot\prod_{k=1}^{m-1}\left(\frac{1}{1-\frac{x}{k}}\right)\\ &=\prod_{k=n}^{m-1}\left(\frac{1}{1-\frac{x}{k}}\right)\\ &=1+{_{n\leq}\zeta^{\star}_{< m}}(1)x+{_{n\leq}\zeta^{\star}_{< m}}(1,1)x^2+\cdots \end{align}
ただし
$${_{n\leq}\zeta^{\star}_{< m}}(\underbrace{1,1,\ldots,1}_{r\text{個}}):=\sum_{n\leq n_1\leq \cdots\leq n_r< m}\frac{1}{n_1n_2\cdots n_r} $$
としています。なお空和は$0$とします。

このことから、$f$の$x^{k_1-1}_1x^{k_2-1}_2\cdots x^{k_r-1}_r$の係数が$\zeta^{\flat}_{< N}(k_1,k_2,\ldots,k_r)$になっていることが分かります。つまりこれは$\zeta^{\flat}_{< N}$の母関数になっています。

したがって、$f_N=g_N$を示せば係数比較によりMSW公式を証明できることが分かります。

$r,s$を非負整数として$r+s>0$が成り立つとする。$r+s$変数の形式的冪級数$Z_N(x_1,\ldots,x_r|y_1,\cdots,y_s)$を次で定める。
$n,m$は整数で$0\leq n< N,\ 0< m\leq N$を満たすとする。

$$C_{N}(n,m):=\frac{\binom{m-1}{n}}{\binom{N-1}{n}}\quad \left(m-n-1<0\text{のときは}C_{N}(n,m)=0\text{とする。}\right)$$
$$Z_N(x_1,\ldots,x_r|y_1,\cdots,y_s):=\sum_{0< n_1<\cdots< n_r< m_1<\cdots< m_s< m_{s+1}=N}\left(\prod_{i=1}^{r}\left(\frac{1}{n_i-x_i}\right)\right)\cdot C_{N}(n_r,m_1)\cdot \left(\prod_{j=1}^{s}\left(\frac{1}{N-m_j}\frac{(1-y_j)_{m_j-1}}{(m_{j}-1)!}\frac{(m_{j+1}-1)!}{(1-y_{j})_{m_{j+1}-1}}\right)\right)$$

縦棒の片側が空のとき
$$Z_N(x_1,\ldots,x_r|):=f_N(x_1,\ldots,x_r)$$
$$Z_N(|y_1,\cdots,y_s):=g_N(y_1,\ldots,y_s)$$
が成り立つことに注意します。

$$\sum_{n< a< m}\frac{1}{a-x}C_N(a,m)=\sum_{n< b< m}\frac{1}{N-b}\frac{(1-x)_{b-1}}{(b-1)!}\frac{(m-1)!}{(1-x)_{m-1}}C_N(n,b)$$

$$C'_{N}(n,m):=C'_{N}(n,m,x)=\frac{(1-x)_{m-1}}{(m-n-1)!}\frac{(N-n-1)!}{(1-x)_{N-1}}\text{とおく。}$$
$(m-n-1<0$のときは$C'_{N}(n,m)=0$とする。)
\begin{align} C'_N(a,b+1)-C'(a,b)&=\left(\frac{b-x}{b-a}-1\right)C'(a,b)=\frac{a-x}{b-a}C'(a,b)\\ C'_N(a-1,b)-C'(a,b)&=\left(\frac{N-a}{b-a}-1\right)C'(a,b)=\frac{N-b}{b-a}C'(a,b) \end{align}
より
$$\frac{1}{a-x}\left(C'_N(a,b+1)-C'(a,b)\right)=\frac{1}{N-b}\left(C'_N(a-1,b)-C'(a,b)\right)$$
が成り立つので両辺$n< a< m,\ n< b< m$の範囲で和を取ることで
\begin{align} \sum_{n< a< m}\frac{1}{a-x}C'_N(a,m)&=\sum_{n< b< m}\frac{1}{N-b}C'_N(n,b)\\ \Rightarrow\sum_{n< a< m}\frac{1}{a-x}\frac{(1-x)_{m-1}}{(m-1)!}\frac{(N-1)!}{(1-x)_{N-1}}C_N(a,m)&=\sum_{n< b< m}\frac{1}{N-b}\frac{(1-x)_{b-1}}{(b-1)!}\frac{(N-1)!}{(1-x)_{N-1}}C_N(n,b)\\ \Rightarrow\sum_{n< a< m}\frac{1}{a-x}C_N(a,m)&=\sum_{n< b< m}\frac{1}{N-b}\frac{(1-x)_{b-1}}{(b-1)!}\frac{(m-1)!}{(1-x)_{m-1}}C_N(n,b)\ \blacksquare \end{align}

次が成り立つ。
$$Z_N(x_1,\ldots,x_r,z|y_1,\cdots,y_s)=Z_N(x_1,\ldots,x_r|z,y_1,\cdots,y_s)$$
($r=0$や$s=0$(縦棒の片側が空)になる場合にも成立する。)

補題2の等式を適用することで示される$\blacksquare$

$$f_N(x_1,\ldots,x_r)=g_N(x_1,\ldots,x_r)$$
が成立する。

補題3より
\begin{align} f_N(x_1,\ldots,x_r) &=Z_N(x_1,\ldots,x_r|)\\ &=Z_N(x_1,\ldots,x_{r-1}|x_r)\\ &\quad\vdots\\ &=Z_N(|x_1,\ldots,x_r)\\ &=g_N(x_1,\ldots,x_r)\ \blacksquare \end{align}

また、定理4の等式において両辺$x^{k_1-1}_1x^{k_2-1}_2\cdots x^{k_r-1}_r$で係数比較すると$\zeta_{< N}(k_1,k_2,\ldots,k_r)=\zeta^{\flat}_{< N}(k_1,k_2,\ldots,k_r)$になるので、これでMSW公式の証明が完了しました。