MSWについての備忘録

インデックス$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\ldots,k_r)$と正整数$N$に対して多重調和和$\zeta_{< N}(\boldsymbol{k})$を次のように定める。
$$\zeta_{< N}(\boldsymbol{k})=\sum_{0< n_1< n_2<\cdots< n_r< N}\frac{1}{n^{k_1}_1n^{k_2}_2\cdots n^{k_r}_r}$$
($N\leq r$のときは$0$とする。)

以下、$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\ldots,k_r)$を重さ$k$のインデックスとする。また、正整数$n$に対して$[n]:=\lbrace1,2,\ldots,n\rbrace$としておく。
$$J(\boldsymbol{k}):=\left\lbrace1+\sum_{i=1}^{m}k_i\middle|\ 0\leq m\leq r\right\rbrace=\lbrace1,k_1+1,k_1+k_2+1,\ldots,k_1+k_2+\cdots k_{r-1}+1,k+1\rbrace$$
$$S_N(\boldsymbol{k}):=\left\lbrace(n_1,n_2,\ldots,n_k)\in\mathbb{Z}^k\middle|\begin{array}{l} n_{i-1}< n_i\quad \mathrm{if}\ i\in J(\boldsymbol{k}) \\n_{i-1}\leq n_i\quad \mathrm{if}\ i\in [k]\setminus J(\boldsymbol{k})\\n_0=0,n_{k+1}=N \end{array}\right\rbrace$$
正整数$a$とインデックス$\boldsymbol{n}=(n_1,n_2,\ldots,n_a)$に対して$P^{(N)}_{a}(\boldsymbol{n})$を次のように定める。
$$P^{(N)}_{a}(\boldsymbol{n}):=\frac{1}{(N-n_1)n_2\cdots n_a}\quad\left(P^{(N)}_{1}(\boldsymbol{n}):=\frac{1}{N-n_1}\right)$$
このとき多重和$\zeta^{\flat}_{< N}(\boldsymbol{k})$を次のように定める。
$$\zeta^{\flat}_{< N}(\boldsymbol{k}):=\sum_{\substack{(\boldsymbol{n}_1,\ldots,\boldsymbol{n}_r)\in S_N(\boldsymbol{k})\\\mathrm{dep}(\boldsymbol{n}_i)=k_i\ \mathrm{for\ all}\ i\in[r]}}\prod_{i=1}^{r}P^{(N)}_{k_i}(\boldsymbol{n}_i)$$

以下、$\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\ldots,k_r),\boldsymbol{l}=(l_1,l_2,\ldots,l_s)$をインデックスとし、$\boldsymbol{l}$の重さを$l$とする。
インデックス$\boldsymbol{n}=(n_1,\ldots,n_r)$に対して$\mathrm{st}(\boldsymbol{n}):=n_1, \ \mathrm{end}(\boldsymbol{n}):=n_r,\ Q_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{n}):=\frac{1}{n^{k_1}_1\cdots n^{k_r}_r}$とする。
$$\widetilde{J}(\boldsymbol{l}):=\left\lbrace1+\sum_{j=1}^{m}l_j\middle|\ 0\leq m< s\right\rbrace=\lbrace1,l_1+1,l_1+l_2+1,\ldots,l_1+l_2+\cdots l_{s-1}+1\rbrace$$
$$\widetilde{S}_N(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l}):=\left\lbrace(n_1,\ldots,n_r,m_1,\ldots,m_l)\in\mathbb{Z}^{r+l}\middle| \begin{array}{l}0< n_1<\cdots< n_r\leq m_1 \\m_{j}< m_{j+1}\quad \mathrm{if}\ j\in \widetilde{J}(\boldsymbol{l}) \\m_{j}\leq m_{j+1}\quad \mathrm{if}\ j\in [l]\setminus \widetilde{J}(\boldsymbol{l})\\m_{l+1}=N \end{array}\right\rbrace$$
正整数$N$と非負整数$n,m\ (n\leq m\leq N)$に対して、コネクター$C_N(n,m)$を次で定める。$$C_N(n,m):=\frac{\binom{m}{n}}{\binom{N}{n}}$$
なお$n>m$のときは$C_N(n,m)=0$とする。
このとき、連結和$Z_N(\boldsymbol{k}|\boldsymbol{l})$を次で定める。
$$Z_N(\boldsymbol{k}|\boldsymbol{l}):=\sum_{\substack{(\boldsymbol{n},\boldsymbol{m}_1,\cdots,\boldsymbol{m}_s)\in\widetilde{S}_N(\boldsymbol{k};\boldsymbol{l})\\ \mathrm{dep}(\boldsymbol{n})=r,\ \mathrm{dep}(\boldsymbol{m}_j)=l_j\ \mathrm{for\ all}\ j\in[s]}} Q_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{n})\cdot C_{N}(\mathrm{end}(\boldsymbol{n}),\mathrm{st}(\boldsymbol{m}_1))\cdot\prod_{j=1}^{s}P^{(N)}_{l_j}(\boldsymbol{m}_j)$$