級数bot IIの級数まとめ

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級数まとめ

級数 $bot II$ の級数をまとめます。

$\frac{1}{π}, \frac{1}{π^{2}}$ の表示

$\frac{1}{π} = \sum_{0 \leq n} \frac{(6 n + 1) {(\binom{2 n}{n})}^{3}}{2^{8 n + 2}}$
$\frac{1}{π} = \sum_{0 \leq n} \frac{(42 n + 5) {(\binom{2 n}{n})}^{3}}{2^{12 n + 4}}$
$\frac{1}{π^{2}} = \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (20 n^{2} + 8 n + 1) {(\binom{2 n}{n})}^{5}}{2^{12 n + 3}}$
$\frac{1}{π^{2}} = \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (820 n^{2} + 180 n + 13) {(\binom{2 n}{n})}^{5}}{2^{20 n + 7}}$

$ζ (2)$ の表示

$ζ (2) = \sum_{0 < m, n} \frac{(m - 1)! (n - 1)!}{(n + m)!}$
$ζ (2) = 3 \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{2} (\binom{2 n}{n})}$
$ζ (2) = \frac{7}{4} \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{2} (\binom{3 n}{n})} + \sum_{0 \leq n} \frac{1}{(2 n + 1)^{2} (\binom{3 n + 1}{n})}$
$ζ (2) = \frac{2}{3} \sum_{0 < n} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} n} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{2 k + 1}$
$ζ (2) = \frac{5}{3} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (\binom{2 n}{n})}{2^{4 n} (2 n + 1)^{2}}$
$ζ (2) = \sum_{0 < n} \frac{21 n - 8}{n^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{3}}$
$ζ (2) = \frac{1}{3} \sum_{0 < n} \frac{2^{4 n} (3 n - 1)}{n^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{3}}$
$ζ (2) = \frac{1}{3} \sum_{0 \leq n} \frac{2^{4 n} (5 n - 1)}{n^{3} (\binom{2 n}{n}) {(\binom{4 n}{2 n})}^{2}} + \frac{16}{3} \sum_{0 \leq n} \frac{2^{4 n}}{(2 n + 1)^{2} (\binom{2 n}{n}) (\binom{4 n + 2}{2 n + 1})}$

$ζ (3)$ の表示

$ζ (3) = 8 \sum_{0 < m < n} \frac{(- 1)^{n}}{m n^{2}}$
$ζ (3) = 3 \sum_{0 < m < n} \frac{1}{m n^{2} (\binom{2 n}{n})} + 2 \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{3} (\binom{2 n}{n})}$
$ζ (3) = \frac{1}{3} \sum_{0 < m, n} \frac{(m - 1)! (n - 1)!}{(n + m)!} \sum_{k = 1}^{n + m} \frac{1}{k}$
$ζ (3) = \frac{2}{3} \sum_{0 < m < n} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} m^{2} n}$
$ζ (3) = \frac{1}{7} \sum_{0 < m < n} \frac{2^{2 n}}{m n^{2} (\binom{2 n}{n})}$
$ζ (3) = \frac{5}{2} \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n^{3} (\binom{2 n}{n})}$
$ζ (3) = \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{2} (\binom{2 n}{n})} \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{1}{k} + \frac{2}{3} \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{3} (\binom{2 n}{n})}$
$ζ (3) = \frac{2 π}{7} \sum_{0 \leq m \leq n} \frac{{(\binom{2 m}{m})}^{2}}{2^{4 m} (2 n + 1)^{2}}$
$ζ (3) = 8 \sum_{0 < m < n < r \leq 2 n} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} m n r}$
$ζ (3) = 9 \sum_{0 < m < n} \frac{(\binom{2 m}{m})}{m n^{2} (\binom{2 n}{n})}$
$ζ (3) = \frac{15}{16} \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n^{2} (\binom{2 n}{n})} \sum_{k = 1}^{2 n} \frac{1}{k} + \frac{5}{8} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)^{2} (\binom{2 n}{n})} \sum_{k = 1}^{2 n + 1} \frac{1}{k}$
$ζ (3) = \frac{5}{4} \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n}}{n^{3} (\binom{2 n}{n}) (\binom{3 m}{n})} + \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)^{3} (\binom{2 n}{n}) (\binom{3 n + 1}{n})}$
$ζ (3) = \frac{1}{28} \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n - 1} 2^{8 n} (10 n^{2} - 6 n + 1)}{n^{5} {(\binom{2 n}{n})}^{5}}$
$ζ (3) = \frac{1}{2} \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n - 1} (205 n^{2} - 160 n + 32)}{n^{5} {(\binom{2 n}{n})}^{5}}$
$ζ (3) = \frac{11}{4} \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{2}} + \frac{1}{2} \sum_{0 \leq n} \frac{1}{(2 n + 1)^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{2}}$

$ζ (4)$ の表示

$ζ (4) = 4 \sum_{0 < m < n} \frac{1}{m n^{3}}$
$ζ (4) = \frac{4}{5} \sum_{0 < m < n < r} \frac{1}{m n r (r - m)}$
$ζ (4) = \frac{8}{7} \sum_{0 < m < n < r} \frac{1}{m n r (m + r)}$
$ζ (4) = \frac{8}{17} \sum_{0 < m, n} \frac{(m - 1)! (n - 1)!}{(m + n)!} \sum_{k = 1}^{m + n} \frac{1}{k^{2}}$
$ζ (4) = \frac{36}{17} \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{4} (\binom{2 n}{n})}$
$ζ (4) = \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n}}{n^{4} (\binom{2 n}{n})} - \frac{10}{3} \sum_{0 < m \leq n} \frac{(- 1)^{n}}{m n^{3} (\binom{2 n}{n})}$
$ζ (4) = 4 \sum_{0 < m < n} \frac{(\binom{2 m}{m})}{m^{2} n^{2} (\binom{2 n}{n})} + 12 \sum_{0 < m < n < r} \frac{(\binom{2 n}{n})}{m n r^{2} (\binom{2 r}{r})}$
$ζ (4) = \frac{3}{2} \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n}}{n^{4} (\binom{2 n}{n}) (\binom{3 n}{n})} + \frac{4}{3} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)^{4} (\binom{2 n}{n}) (\binom{3 n + 1}{n})}$

$ζ (5)$ の表示

$ζ (5) = \sum_{0 < m < n < r} \frac{1}{m^{2} n (r - m)^{2}}$
$ζ (5) = \frac{1}{2} \sum_{0 < m < n < r < s} \frac{1}{m n r s (s - r + n - m)}$
$ζ (5) = 2 \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n^{5} (\binom{2 n}{n})} + \frac{5}{2} \sum_{0 < m < n} \frac{(- 1)^{n}}{m^{2} n^{3} (\binom{2 n}{n})}$

$ζ (6)$ の表示

$ζ (6) = 48 \sum_{0 < m < n < r} \frac{1}{n^{3} r^{2} (r - m)}$

$β (2)$ の表示

$β (2) = \frac{1}{2} \sum_{0 \leq n} \frac{2^{2 n}}{(2 n + 1)^{2} (\binom{2 n}{n})}$
$β (2) = \frac{1}{2} \sum_{0 \leq m \leq n} \frac{2^{n}}{(2 m + 1) (2 n + 1) (\binom{2 n}{n})}$
$β (2) = \frac{1}{2} \sum_{0 < m < n} \frac{2^{m + n}}{m n (\binom{2 n}{n})}$
$β (2) = \frac{π}{4} \sum_{0 \leq n} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2}}{2^{4 n} (2 n + 1)}$
$β (2) = \frac{3 π}{4} \sum_{0 \leq m < n} \frac{2^{4 m - 8 n} (6 n + 1) {(\binom{2 n}{n})}^{3}}{(2 m + 1)^{2} (\binom{2 m}{m})}$

二項係数を含む級数

$\sum_{0 < n} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} - 2 \log^{2} 2$
$\sum_{0 < n} \frac{2^{2 n}}{n^{3} (\binom{2 n}{n})} = π^{2} \log 2 - \frac{7}{2} ζ (3)$
$\sum_{0 \leq n} \frac{1}{(2 n + 1)^{2} (\binom{2 n}{n})} = \frac{8}{3} β (2) - \frac{π}{3} \log (2 + \sqrt{3})$
$\sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)^{2} (\binom{2 n}{n})} = \frac{π^{2}}{6} - 3 \log^{2} (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})$
$\sum_{0 \leq n} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{4 n} (2 n + 1)^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} (1 + \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{4^{2}} - \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{7^{2}} + \frac{1}{8^{2}} - \dots)$
$\sum_{0 \leq n} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{4 n} (2 n + 1)^{3}} = \frac{7 π^{3}}{216}$
$\sum_{0 \leq m \leq n} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{3 n} (2 m + 1) (2 n + 1)} = \frac{3 π}{4 \sqrt{2}} \log 2$
$\sum_{0 < m < n} \frac{2^{2 n - 2 m} (\binom{2 m}{m})}{m n^{2} (\binom{2 n}{n})} = π^{2} \log 2 - \frac{7}{2} ζ (3)$
$π \sum_{0 < n} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2}}{2^{4 n} n} = 4 π \log 2 - 8 β (2)$
$\sum_{0 < n} (\frac{2^{4 n}}{n^{2} {(\binom{2 n}{n})}^{2}} - \frac{π}{n}) = 4 π \log 2 - 8 β (2)$
$\sum_{0 < n} \frac{2^{4 n}}{n^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{2}} = 8 π \log 2 - 14 ζ (3)$
$\sum_{0 < n} \frac{3^{3 n}}{n^{3} (\binom{2 n}{n}) (\binom{3 n}{n})} = 9 \sqrt{3} π (1 - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{4^{2}} - \frac{1}{5^{2}} + \dots) - 26 ζ (3)$
$\sum_{0 < n} \frac{2^{2 n} (\binom{3 n}{n})}{3^{3 n} n} = 3 \log \frac{3}{2}$
$\sum_{0 < n} \frac{(\binom{3 n}{n}) (\binom{6 n}{3 n})}{2^{2 n} 3^{3 n} n (\binom{2 n}{n})} = \log \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{6}}{2}$
$\sum_{0 \leq n} \frac{2^{2 n} (\binom{3 n + 1}{n})}{3^{3 n} (2 n + 1)} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \log (2 + \sqrt{3})$
$\sum_{0 < n} \frac{1}{2^{n} n^{2} (\binom{3 n}{n})} = \frac{π^{2}}{24} - \frac{1}{2} \log^{2} 2$
$\sum_{0 < n} \frac{3^{3 n}}{2^{2 n} n^{2} (\binom{3 n}{n})} = \frac{2}{3} π^{2} - 2 \log^{2} 3$
$\sum_{0 < n} \frac{2^{8 n}}{3^{3 n} n^{2} (\binom{4 n}{n})} = \frac{3}{4} (π^{2} - 2 \log^{2} 3 + \arctan^{2} \frac{4 \sqrt{2}}{7})$
$\sum_{0 < n} \frac{(\binom{4 n}{2 n})}{2^{2 n} n^{2} (\binom{2 n}{n})} = \frac{π^{2}}{6} - \log^{2} (\frac{1 + \sqrt{2}}{2}) + 2 {Li}_{2} (\frac{1 - \sqrt{2}}{2})$
$\sum_{0 \leq n} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{3}}{2^{6 n}} = \frac{π}{Γ {(\frac{3}{4})}^{4}}$
$\sum_{0 < n} \frac{2^{6 n}}{n^{3} {(\binom{2 n}{n})}^{3}} = 8 π \sum_{0 \leq 2 n < m} \frac{{(\binom{2 n}{n})}^{2}}{2^{4 n} (4 n + 1)} \frac{(- 1)^{m - 1}}{m}$
$\sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} (\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} (4 n + 1)^{3}} = \frac{Γ {(\frac{1}{4})}^{4}}{16 \sqrt{π}} (β (2) + \frac{π^{2}}{8})$

$\sum_{0 < m, n} \frac{1}{m n} {(\frac{m! n!}{(m + n)!})}^{2} = \frac{π^{2}}{6} - (1 + \frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{4^{2}} - \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{7^{2}} + \frac{1}{8^{2}} - \dots)$
$\sum_{0 < m, n, r} \frac{(m - 1)! (n - 1)! (r - 1)!}{(m + n + r)!} = \frac{13}{4} ζ (3) - \frac{π^{2}}{2} \log 2$
$? = \sum_{0 \leq n} \frac{2^{2 n}}{(4 n + 1)^{2} (\binom{2 n}{n})}$

テータ関数の特殊値

$\sum_{n \in Z} e^{- π n^{2}} = \frac{\sqrt[4]{π}}{Γ (\frac{3}{4})}$

$2$ 重級数

$\sum_{n, m \in Z} \frac{1}{\cosh π n + i \sinh π n} = \frac{π}{Γ {(\frac{3}{4})}^{4}}$

$Eisenstein$ 級数の特殊値

$\sum_{0 < n} \frac{n^{3}}{e^{2 π n} - 1} = \frac{π^{2}}{320 Γ {(\frac{3}{4})}^{8}} - \frac{1}{240}$
$\sum_{0 < n} \frac{n^{5}}{e^{2 π n} - 1} = \frac{1}{504}$

$\sinh$ を含む級数

$\sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n - 1} n}{\sinh π n} = \frac{1}{4 π}$

$\sin$ を含む級数

$\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{\sin^{2} (x + \frac{π k}{n})} = \frac{n^{2}}{\sin^{2} n x}$

$q$ 級数

$\frac{(q; q)_{\infty}}{(- q; q)_{\infty}} = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{n^{2}}$
$\frac{1}{(q; q)_{\infty}} = \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}}}{(q; q)_{n}^{2}}$
$\frac{1}{{(q, q^{4}; q^{5})}_{\infty}} = \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}}}{(q; q)_{n}}$
$\frac{1}{{(q^{2}, q^{3}; q^{5})}_{\infty}} = \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n (n + 1)}}{(q; q)_{n}}$
$\frac{{(q^{2}; q^{2})}_{\infty}}{{(q; q^{2})}_{\infty}} = \sum_{0 < n} q^{(\binom{n}{2})}$
${(q; q)}_{\infty}^{3} = \sum_{0 < n} (- 1)^{n - 1} (2 n - 1) q^{(\binom{n}{2})}$
$\sum_{0 < m < n} \frac{(- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})}}{(1 - q^{m}) (q; q)_{n}} = \sum_{0 < n} \frac{n q^{n}}{1 - q^{n}}$
$\sum_{0 < m < n} \frac{q^{n}}{(1 - q^{m}) {(1 - q^{m})}^{2}} = \sum_{0 < n} \frac{q^{2 n}}{{(1 - q^{n})}^{3}}$

変数付きゼータ関数

$\sum_{0 < n} \frac{n!}{n^{2} (x)_{n}} = \sum_{0 \leq n} \frac{1}{(n + x)^{2}}$
$\sum_{0 \leq m < n} \frac{(x)_{m}}{m!} \frac{1}{(m + x) (n + x)^{2}} \frac{n!}{(x)_{n}} = \sum_{0 \leq n} \frac{1}{(n + x)^{3}}$
$\sum_{0 \leq n} \frac{(2 x)_{n}}{n!} \frac{(- 1)^{n}}{(n + x)^{2}} = 2^{- 2 x} \sum_{0 \leq n} \frac{1}{(n + x)^{2}} \frac{{(\frac{1}{2} + x)}_{n}}{(x)_{n}}$
$2 \sum_{0 \leq n} \frac{(2 x)_{n}}{n!} \frac{(- 1)^{n}}{(n + x)^{3}} = \frac{Γ (x)^{2}}{Γ (2 x)} \sum_{0 \leq n} \frac{1}{(n + x)^{2}}$
$2 \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n}}{n + x} \frac{n!}{(2 x)_{n}} = \sum_{0 \leq n} \frac{(x)_{n}}{(n + x) (2 x)_{n}}$

有限級数

$\sum_{n = 1}^{p - 1} \frac{1}{n} = 0 (\mod p^{2})$
$\sum_{n = 1}^{\frac{p - 1}{2}} \frac{1}{n} = - \frac{2 (2^{p - 1} - 1)}{p} (\mod p)$
$\sum_{n = 1}^{p - 1} \frac{F_{n}}{n} = 0 (\mod p)$
$\sum_{n = 1}^{p - 1} \frac{(\binom{2 n}{n})}{n} = 0 (\mod p)$
$\frac{F_{p - (\frac{5}{p})}}{p} = \frac{1}{5} \sum_{n = 1}^{p - 1} (- 1)^{n - 1} \frac{(\binom{2 n}{n})}{n} (\mod p)$

$Hasse$ の級数表示

$ζ (s) = \frac{1}{s - 1} \sum_{0 < n} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k^{s - 1}} (\binom{n - 1}{k - 1})$

$γ$ の表示

$γ = \sum_{1 < n} \frac{(- 1)^{n}}{n} ζ (n)$
$γ = \sum_{0 < n} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n - 1}{k - 1}) \log k$

多重ゼータ値

$\sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{1}{n_{1}^{2} \dots n_{r}^{2}} = \frac{π^{2 r}}{(2 r + 1)!}$

二項係数を含むべき級数

$\sum_{0 < n} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} n} x^{n} = 2 \log (\frac{2}{1 + \sqrt{1 - x}})$

$\arcsin$ の累乗のべき級数展開

$\frac{(2 \arcsin x)^{2 r}}{(2 r)!} = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{2^{2 n_{r}}}{n_{1}^{2} \dots n_{r}^{2} (\binom{2 n_{r}}{n_{r}})} x^{2 n_{r}}$
$\frac{(2 \arcsin x)^{2 r - 1}}{(2 r - 1)!} = \sum_{0 \leq n_{1} < \dots < n_{r}} \frac{(\binom{2 n_{r}}{n_{r}})}{2^{2 n_{r}} {(n_{1} + \frac{1}{2})}^{2} \dots {(n_{r - 1} + \frac{1}{2})}^{2} (n_{r} + \frac{1}{2})} x^{2 n_{r} + 1}$

恒等式

$\sum_{0 \leq k} \frac{(- 1)^{k}}{2^{2 k}} (\binom{n - k - 1}{k}) x^{k} = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} ({(\frac{1 + \sqrt{1 - x}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{1 - x}}{2})}^{n})$
${(\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (\binom{n + k}{k}) x^{k})}^{2} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (\binom{n + k}{k}) (\binom{2 k}{k}) x^{k} (1 - x)^{k}$

投稿日：2024年3月13日

更新日：2024年6月15日

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テータ関数の特殊値
$2$ 重級数
$Eisenstein$ 級数の特殊値
$\sinh$ を含む級数
$\sin$ を含む級数
$q$ 級数
変数付きゼータ関数
有限級数
$Hasse$ の級数表示
$γ$ の表示
多重ゼータ値
二項係数を含むべき級数
$\arcsin$ の累乗のべき級数展開
恒等式

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Eisenstein級数の特殊値

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二項係数を含むべき級数

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$β (2)$ の表示

$2$ 重級数

$Eisenstein$ 級数の特殊値

$\sinh$ を含む級数

$\sin$ を含む級数

$q$ 級数

$Hasse$ の級数表示

$γ$ の表示

$\arcsin$ の累乗のべき級数展開