上限・下限に関する不等式の作り方
もともと上限・下限に苦手意識があったのですが，最近ようやく慣れてきました．
上限・下限を含む不等式の証明の仕方が分かってきたのでメモします．
定義
とりあえず定義を列挙します．
「上限とは最小上界のことである」という文の意味がわかる人は読み飛ばしてください．
半順序集合
$X$を集合とする．
- $X$上の二項関係とは，直積集合$X^2:=X\times X$の部分集合のことである．
- $X$上の関係$\sim$と$x,y\in X$に対して，$(x,y)\in{\sim}$であることを$x\sim y$と書く．
また$x,y,z\in X$について，$x\sim y$かつ$y\sim z$が成り立つことを$x\sim y\sim z$と書く．
集合$X$上の二項関係$\le$が半順序であるとは，次の3条件が成り立つことをいう．
- 任意の$x\in X$に対して，$x\sim x$である．（反射律）
- $x\sim y\sim x$を満たす任意の$x,y\in X$に対して，$x=y$である．（反対称律）
- $x\sim y\sim z$を満たす任意の$x,y,z\in X$に対して，$x\sim z$である．（推移律）
集合$X$とその上の半順序$\le$の組$(X,\le)$を，半順序集合という．
半順序は，通常の大小関係の一般化です．
$\mathbb{R}$上の二項関係
$$ {\le}:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\text{$x$ は $y$ 以下である}\}$$
は$\mathbb{R}$上の半順序である．（「以下」の定義は割愛）
半順序にはいかにも不等号っぽい記号を使うことが多いですが，反射律・反対称律・推移律の3条件を満たしてさえいれば，通常の大小関係である必要はありません．
集合$X$に対して
$$ {\le}:=\{(x,x)\mid x\in X\}$$
は$X$上の半順序である．
集合$X$に対して
$$ {\le}:=\{(A,B)\in \mathfrak{P}(X)^2\mid A\subset B\}$$
は冪集合$\mathfrak{P}(X)$上の半順序である．
上限・下限
$(X,\le)$を半順序集合，$A$を$X$の部分集合とする．
- $A$の上界とは，元$x\in X$であって，任意の$a\in A$に対して$a\le x$を満たすもののことである．
- $A$の下界とは，元$x\in X$であって，任意の$a\in A$に対して$x\le a$を満たすもののことである．
$(X,\le)$を半順序集合，$A$を$X$の部分集合とする．
- $A$の最大元とは，$A$の上界となる元$M\in A$のことである．
- $A$の最小元とは，$A$の下界となる元$m\in A$のことである．
$(X,\le)$を半順序集合，$A$を$X$の部分集合とする．このとき$A$の最大元・最小元は，存在すればそれぞれ一意である．
よって，$A$の最大元が存在すればそれを$\max(A)$と書き，$A$の最小元が存在すればそれを$\min(A)$と書く．
$M,M'\in A$がともに$A$の最大元であれば，$M$が$A$の上界であることと$M'\in A$から$M'\le M$が成り立ち，$M'$が$A$の上界であることと$M\in A$から$M\le M'$が成り立つ．よって$\le$の反対称律から$M=M'$を得る．最小元についても同様に示せる．
ようやく上限・下限の定義を述べる準備が整いました．
$(X,\le)$を半順序集合，$A$を$X$の部分集合とする．
- $A$の上限とは，$A$の上界全体の集合の最小元のことである．
- $A$の下限とは，$A$の下限全体の集合の最大元のことである．
最大元・最小元の一意性より，上限・下限の一意性も成り立つ．そこで，$A$の上限が存在すればそれを$\sup(A)$と書き，$A$の下限が存在すればそれを$\inf(A)$と書く．
上界・下界・最大元・最小元・上限・下限は存在しないこともある．
また，$A$の上限や下限が存在したとしても，それが$A$に属するとは限らない．
本題
上限が出てくる不等式は，次のように作ることができます．
（下限についてもほぼ同様の議論ができるので，以降は上限のみ扱います．）
$(X,\le)$を半順序集合，$A$を$X$の部分集合とし，$A$の上限$\sup(A)$が存在すると仮定する．
- 任意の$a\in A$に対して，$a\le\sup(A)$が成り立つ．
- $x\in X$が$A$の上界であるならば，$\sup(A)\le x$が成り立つ．
- $\sup(A)$が$A$の上界であることからわかる．
- $\sup(A)$が$A$の上界の最小元であることからわかる．
この公式から，次のことが言えます．
- $\bigstar\le\sup(A)$という形の不等式を示すためには，$\bigstar\in A$であることを確かめればよい．
- $\sup(A)\le\bigstar$という形の不等式を示すためには，$\bigstar$が$A$の上界であること，つまり任意の$a\in A$に対して$a\le\bigstar$が成り立つことを確かめればよい．
これだけ見てもよくわからないかもしれないので，いくつか例題を解いてみましょう．
$(X,\le)$を半順序集合，$A,B$は$X$の部分集合で$A\subset B$を満たすものとする．
このとき$\sup(A),\sup(B)$が両方存在するならば，$\sup(A)\le\sup(B)$が成り立つ．
(i) を踏まえると$\sup(A)\in B$であることを示したくなりますが，これは一般に成り立つとは限りません（たとえば$X=\mathbb{R}$，$A=B=(0,1)$が反例になる）．
そこで，ここでは (ii) を使って示すことにします．つまり$\sup(B)$が$A$の上界であることを示すということですが，これは (i) からすぐに分かります．
$a\in A$を任意に取る．このとき$A\subset B$より$a\in B$が成り立つから，$a\le\sup(B)$である．したがって$\sup(B)$は$A$の上界であり，$\sup(A)\le\sup(B)$が示された．
$(X,\le)$を半順序集合，$A,B$を$X$の空でない部分集合とし，任意の$a\in A$と$b\in B$に対して$a\le b$が成り立つとする．
このとき$\sup(A),\sup(B)$が両方存在すれば，$\sup(A)\le\sup(B)$が成り立つ．
この命題も (i) では示せないので，(ii) で示します．
$a\in A$と$b\in B$を任意に取る．このとき
$$ a\le b\le\sup(B)$$
が成り立つ．したがって$\sup(B)$は$A$の上界であり，$\sup(A)\le\sup(B)$が示された．
$\mathbb{R}$を通常の大小関係で半順序集合とみなし，$\mathbb{R}$の部分集合$A,B$に対して
$$ A+B:=\{a+b\mid a\in A,\ b\in B\}$$
と定義する．このとき，$\sup(A),\sup(B),\sup(A+B)$がすべて存在するならば，$\sup(A+B)\le\sup(A)+\sup(B)$が成り立つ．
$x\in A+B$を任意に取ると，$x=a+b$を満たす$a\in A$と$b\in B$が取れる．このとき$a\le\sup(A)$かつ$b\le\sup(B)$が成り立つから
$$ x=a+b\le \sup(A)+\sup(B)$$
であり，$\sup(A)+\sup(B)$が$A+B$の上界であることが示された．
まとめ
上限・下限を含む不等式の導出は，次の表に則って考えればだいたい何とかなる気がします．
赤字の行は上限・下限の定義から直ちに従う最も基本的な性質です．
（簡単のため，表に現れる部分集合が空でなく上限・下限をもつことは仮定します）
| 仮定 | 結論 |
|---|---|
| $x\in A$ | $x\le \sup(A)$ |
| ${}^\exists a\in A,\ x\le a$ | $x\le\sup(A)$ |
| ${}^\forall a\in A,\ a\le x$ | $\sup(A)\le x$ |
| $A\subset B$ | $\sup(A)\le\sup(B)$ |
| ${}^\forall a\in A,\ {}^\forall b\in B,\ a\le b$ | $\sup(A)\le\sup(B)$ |
下限バージョンも載せておきます．（4行目の不等号の向きに注意）
| 仮定 | 結論 |
|---|---|
| $x\in A$ | $\inf(A)\le x$ |
| ${}^\exists a\in A,\ a\le x$ | $\inf(A)\le x$ |
| ${}^\forall a\in A,\ x\le a$ | $x\le\inf(A)$ |
| $A\subset B$ | $\inf(B)\le\inf(A)$ |
| ${}^\forall a\in A,\ {}^\forall b\in B,\ a\le b$ | $\inf(A)\le\inf(B)$ |
足りないもの・あった方が良いものがあれば教えてください．
ここまで読んでいただき，ありがとうございました．
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