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上限・下限に関する不等式の作り方

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もともと上限・下限に苦手意識があったのですが,最近ようやく慣れてきました.
上限・下限を含む不等式の証明の仕方が分かってきたのでメモします.

定義

とりあえず定義を列挙します.
「上限とは最小上界のことである」という文の意味がわかる人は読み飛ばしてください.

半順序集合

二項関係

$X$を集合とする.

  • $X$上の二項関係とは,直積集合$X^2:=X\times X$の部分集合のことである.
  • $X$上の関係$\sim$$x,y\in X$に対して,$(x,y)\in{\sim}$であることを$x\sim y$と書く.
    また$x,y,z\in X$について,$x\sim y$かつ$y\sim z$が成り立つことを$x\sim y\sim z$と書く.
半順序集合

集合$X$上の二項関係$\le$半順序であるとは,次の3条件が成り立つことをいう.

  • 任意の$x\in X$に対して,$x\sim x$である.(反射律
  • $x\sim y\sim x$を満たす任意の$x,y\in X$に対して,$x=y$である.(反対称律
  • $x\sim y\sim z$を満たす任意の$x,y,z\in X$に対して,$x\sim z$である.(推移律

集合$X$とその上の半順序$\le$の組$(X,\le)$を,半順序集合という.

半順序は,通常の大小関係の一般化です.

通常の大小関係

$\mathbb{R}$上の二項関係
$$ {\le}:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid\text{$x$ は $y$ 以下である}\}$$
$\mathbb{R}$上の半順序である.(「以下」の定義は割愛)

半順序にはいかにも不等号っぽい記号を使うことが多いですが,反射律・反対称律・推移律の3条件を満たしてさえいれば,通常の大小関係である必要はありません.

等号

集合$X$に対して
$$ {\le}:=\{(x,x)\mid x\in X\}$$
$X$上の半順序である.

包含関係

集合$X$に対して
$$ {\le}:=\{(A,B)\in \mathfrak{P}(X)^2\mid A\subset B\}$$
は冪集合$\mathfrak{P}(X)$上の半順序である.

上限・下限

上界・下界

$(X,\le)$を半順序集合,$A$$X$の部分集合とする.

  • $A$上界とは,元$x\in X$であって,任意の$a\in A$に対して$a\le x$を満たすもののことである.
  • $A$下界とは,元$x\in X$であって,任意の$a\in A$に対して$x\le a$を満たすもののことである.
最大元・最小元

$(X,\le)$を半順序集合,$A$$X$の部分集合とする.

  • $A$最大元とは,$A$の上界となる元$M\in A$のことである.
  • $A$最小元とは,$A$の下界となる元$m\in A$のことである.
最大元・最小元の一意性

$(X,\le)$を半順序集合,$A$$X$の部分集合とする.このとき$A$の最大元・最小元は,存在すればそれぞれ一意である.

よって,$A$の最大元が存在すればそれを$\max(A)$と書き,$A$の最小元が存在すればそれを$\min(A)$と書く.

反対称律を使う

$M,M'\in A$がともに$A$の最大元であれば,$M$$A$の上界であることと$M'\in A$から$M'\le M$が成り立ち,$M'$$A$の上界であることと$M\in A$から$M\le M'$が成り立つ.よって$\le$の反対称律から$M=M'$を得る.最小元についても同様に示せる.

ようやく上限・下限の定義を述べる準備が整いました.

上限・下限

$(X,\le)$を半順序集合,$A$$X$の部分集合とする.

  • $A$上限とは,$A$の上界全体の集合の最小元のことである.
  • $A$下限とは,$A$の下限全体の集合の最大元のことである.

最大元・最小元の一意性より,上限・下限の一意性も成り立つ.そこで,$A$の上限が存在すればそれを$\sup(A)$と書き,$A$の下限が存在すればそれを$\inf(A)$と書く.

上界・下界・最大元・最小元・上限・下限は存在しないこともある.
また,$A$の上限や下限が存在したとしても,それが$A$に属するとは限らない.

本題

上限が出てくる不等式は,次のように作ることができます.
(下限についてもほぼ同様の議論ができるので,以降は上限のみ扱います.)

上限を含む不等式の導出

$(X,\le)$を半順序集合,$A$$X$の部分集合とし,$A$の上限$\sup(A)$が存在すると仮定する.

  1. 任意の$a\in A$に対して,$a\le\sup(A)$が成り立つ.
  2. $x\in X$$A$の上界であるならば,$\sup(A)\le x$が成り立つ.
上限の定義そのまま
  1. $\sup(A)$$A$の上界であることからわかる.
  2. $\sup(A)$$A$の上界の最小元であることからわかる.

この公式から,次のことが言えます.

  1. $\bigstar\le\sup(A)$という形の不等式を示すためには,$\bigstar\in A$であることを確かめればよい.
  2. $\sup(A)\le\bigstar$という形の不等式を示すためには,$\bigstar$$A$の上界であること,つまり任意の$a\in A$に対して$a\le\bigstar$が成り立つことを確かめればよい.

これだけ見てもよくわからないかもしれないので,いくつか例題を解いてみましょう.

$(X,\le)$を半順序集合,$A,B$$X$の部分集合で$A\subset B$を満たすものとする.
このとき$\sup(A),\sup(B)$が両方存在するならば,$\sup(A)\le\sup(B)$が成り立つ.

(i) を踏まえると$\sup(A)\in B$であることを示したくなりますが,これは一般に成り立つとは限りません(たとえば$X=\mathbb{R}$$A=B=(0,1)$が反例になる).
そこで,ここでは (ii) を使って示すことにします.つまり$\sup(B)$$A$の上界であることを示すということですが,これは (i) からすぐに分かります.

$\sup(B)$$A$の上界であることを示す

$a\in A$を任意に取る.このとき$A\subset B$より$a\in B$が成り立つから,$a\le\sup(B)$である.したがって$\sup(B)$$A$の上界であり,$\sup(A)\le\sup(B)$が示された.

$(X,\le)$を半順序集合,$A,B$$X$の空でない部分集合とし,任意の$a\in A$$b\in B$に対して$a\le b$が成り立つとする.
このとき$\sup(A),\sup(B)$が両方存在すれば,$\sup(A)\le\sup(B)$が成り立つ.

この命題も (i) では示せないので,(ii) で示します.

$\sup(B)$$A$の上界であることを示す

$a\in A$$b\in B$を任意に取る.このとき
$$ a\le b\le\sup(B)$$
が成り立つ.したがって$\sup(B)$$A$の上界であり,$\sup(A)\le\sup(B)$が示された.

$\mathbb{R}$を通常の大小関係で半順序集合とみなし,$\mathbb{R}$の部分集合$A,B$に対して
$$ A+B:=\{a+b\mid a\in A,\ b\in B\}$$
と定義する.このとき,$\sup(A),\sup(B),\sup(A+B)$がすべて存在するならば,$\sup(A+B)\le\sup(A)+\sup(B)$が成り立つ.

$\sup(A)+\sup(B)$$A+B$の上界であることを示す

$x\in A+B$を任意に取ると,$x=a+b$を満たす$a\in A$$b\in B$が取れる.このとき$a\le\sup(A)$かつ$b\le\sup(B)$が成り立つから
$$ x=a+b\le \sup(A)+\sup(B)$$
であり,$\sup(A)+\sup(B)$$A+B$の上界であることが示された.

まとめ

上限・下限を含む不等式の導出は,次の表に則って考えればだいたい何とかなる気がします.
赤字の行は上限・下限の定義から直ちに従う最も基本的な性質です.
(簡単のため,表に現れる部分集合が空でなく上限・下限をもつことは仮定します)

仮定結論
$x\in A$$x\le \sup(A)$
${}^\exists a\in A,\ x\le a$$x\le\sup(A)$
${}^\forall a\in A,\ a\le x$$\sup(A)\le x$
$A\subset B$$\sup(A)\le\sup(B)$
${}^\forall a\in A,\ {}^\forall b\in B,\ a\le b$$\sup(A)\le\sup(B)$

下限バージョンも載せておきます.(4行目の不等号の向きに注意)

仮定結論
$x\in A$$\inf(A)\le x$
${}^\exists a\in A,\ a\le x$$\inf(A)\le x$
${}^\forall a\in A,\ x\le a$$x\le\inf(A)$
$A\subset B$$\inf(B)\le\inf(A)$
${}^\forall a\in A,\ {}^\forall b\in B,\ a\le b$$\inf(A)\le\inf(B)$

足りないもの・あった方が良いものがあれば教えてください.
ここまで読んでいただき,ありがとうございました.

投稿日:717
更新日:719

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