大学数学基礎解説

上限・下限に関する不等式の作り方

順序集合,上限

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もともと上限・下限に苦手意識があったのですが，最近ようやく慣れてきました．
上限・下限を含む不等式の証明の仕方が分かってきたのでメモします．

定義

とりあえず定義を列挙します．
「上限とは最小上界のことである」という文の意味がわかる人は読み飛ばしてください．

半順序集合

二項関係

$X$ を集合とする．

$X$ 上の二項関係とは，直積集合 $X^{2} := X \times X$ の部分集合のことである．
$X$ 上の関係 $\sim$ と $x, y \in X$ に対して， $(x, y) \in \sim$ であることを $x \sim y$ と書く．
また $x, y, z \in X$ について， $x \sim y$ かつ $y \sim z$ が成り立つことを $x \sim y \sim z$ と書く．

半順序集合

集合 $X$ 上の二項関係 $\leq$ が半順序であるとは，次の3条件が成り立つことをいう．

任意の $x \in X$ に対して， $x \sim x$ である．（反射律）
$x \sim y \sim x$ を満たす任意の $x, y \in X$ に対して， $x = y$ である．（反対称律）
$x \sim y \sim z$ を満たす任意の $x, y, z \in X$ に対して， $x \sim z$ である．（推移律）

集合 $X$ とその上の半順序 $\leq$ の組 $(X, \leq)$ を，半順序集合という．

半順序は，通常の大小関係の一般化です．

通常の大小関係

$R$ 上の二項関係
$\leq := {(x, y) \in R^{2} ∣ x は y 以下である}$
は $R$ 上の半順序である．（「以下」の定義は割愛）

半順序にはいかにも不等号っぽい記号を使うことが多いですが，反射律・反対称律・推移律の3条件を満たしてさえいれば，通常の大小関係である必要はありません．

等号

集合 $X$ に対して
$\leq := {(x, x) ∣ x \in X}$
は $X$ 上の半順序である．

包含関係

集合 $X$ に対して
$\leq := {(A, B) \in P (X)^{2} ∣ A \subset B}$
は冪集合 $P (X)$ 上の半順序である．

上限・下限

上界・下界

$(X, \leq)$ を半順序集合， $A$ を $X$ の部分集合とする．

$A$ の上界とは，元 $x \in X$ であって，任意の $a \in A$ に対して $a \leq x$ を満たすもののことである．
$A$ の下界とは，元 $x \in X$ であって，任意の $a \in A$ に対して $x \leq a$ を満たすもののことである．

最大元・最小元

$(X, \leq)$ を半順序集合， $A$ を $X$ の部分集合とする．

$A$ の最大元とは， $A$ の上界となる元 $M \in A$ のことである．
$A$ の最小元とは， $A$ の下界となる元 $m \in A$ のことである．

最大元・最小元の一意性

$(X, \leq)$ を半順序集合， $A$ を $X$ の部分集合とする．このとき $A$ の最大元・最小元は，存在すればそれぞれ一意である．

よって， $A$ の最大元が存在すればそれを $max (A)$ と書き， $A$ の最小元が存在すればそれを $min (A)$ と書く．

反対称律を使う

$M, M^{'} \in A$ がともに $A$ の最大元であれば， $M$ が $A$ の上界であることと $M^{'} \in A$ から $M^{'} \leq M$ が成り立ち， $M^{'}$ が $A$ の上界であることと $M \in A$ から $M \leq M^{'}$ が成り立つ．よって $\leq$ の反対称律から $M = M^{'}$ を得る．最小元についても同様に示せる．

ようやく上限・下限の定義を述べる準備が整いました．

上限・下限

$(X, \leq)$ を半順序集合， $A$ を $X$ の部分集合とする．

$A$ の上限とは， $A$ の上界全体の集合の最小元のことである．
$A$ の下限とは， $A$ の下限全体の集合の最大元のことである．

最大元・最小元の一意性より，上限・下限の一意性も成り立つ．そこで， $A$ の上限が存在すればそれを $sup (A)$ と書き， $A$ の下限が存在すればそれを $inf (A)$ と書く．

上界・下界・最大元・最小元・上限・下限は存在しないこともある．
また， $A$ の上限や下限が存在したとしても，それが $A$ に属するとは限らない．

本題

上限が出てくる不等式は，次のように作ることができます．
（下限についてもほぼ同様の議論ができるので，以降は上限のみ扱います．）

上限を含む不等式の導出

$(X, \leq)$ を半順序集合， $A$ を $X$ の部分集合とし， $A$ の上限 $sup (A)$ が存在すると仮定する．

任意の $a \in A$ に対して， $a \leq sup (A)$ が成り立つ．
$x \in X$ が $A$ の上界であるならば， $sup (A) \leq x$ が成り立つ．

上限の定義そのまま

$sup (A)$ が $A$ の上界であることからわかる．
$sup (A)$ が $A$ の上界の最小元であることからわかる．

この公式から，次のことが言えます．

$★ \leq sup (A)$ という形の不等式を示すためには， $★ \in A$ であることを確かめればよい．
$sup (A) \leq ★$ という形の不等式を示すためには， $★$ が $A$ の上界であること，つまり任意の $a \in A$ に対して $a \leq ★$ が成り立つことを確かめればよい．

これだけ見てもよくわからないかもしれないので，いくつか例題を解いてみましょう．

$(X, \leq)$ を半順序集合， $A, B$ は $X$ の部分集合で $A \subset B$ を満たすものとする．
このとき $sup (A), sup (B)$ が両方存在するならば， $sup (A) \leq sup (B)$ が成り立つ．

(i) を踏まえると $sup (A) \in B$ であることを示したくなりますが，これは一般に成り立つとは限りません（たとえば $X = R$ ， $A = B = (0, 1)$ が反例になる）．
そこで，ここでは (ii) を使って示すことにします．つまり $sup (B)$ が $A$ の上界であることを示すということですが，これは (i) からすぐに分かります．

sup (B)

が

A

の上界であることを示す

$a \in A$ を任意に取る．このとき $A \subset B$ より $a \in B$ が成り立つから， $a \leq sup (B)$ である．したがって $sup (B)$ は $A$ の上界であり， $sup (A) \leq sup (B)$ が示された．

$(X, \leq)$ を半順序集合， $A, B$ を $X$ の空でない部分集合とし，任意の $a \in A$ と $b \in B$ に対して $a \leq b$ が成り立つとする．
このとき $sup (A), sup (B)$ が両方存在すれば， $sup (A) \leq sup (B)$ が成り立つ．

この命題も (i) では示せないので，(ii) で示します．

sup (B)

が

A

の上界であることを示す

$a \in A$ と $b \in B$ を任意に取る．このとき
$a \leq b \leq sup (B)$
が成り立つ．したがって $sup (B)$ は $A$ の上界であり， $sup (A) \leq sup (B)$ が示された．

$R$ を通常の大小関係で半順序集合とみなし， $R$ の部分集合 $A, B$ に対して
$A + B := {a + b ∣ a \in A, b \in B}$
と定義する．このとき， $sup (A), sup (B), sup (A + B)$ がすべて存在するならば， $sup (A + B) \leq sup (A) + sup (B)$ が成り立つ．

sup (A) + sup (B)

が

A + B

の上界であることを示す

$x \in A + B$ を任意に取ると， $x = a + b$ を満たす $a \in A$ と $b \in B$ が取れる．このとき $a \leq sup (A)$ かつ $b \leq sup (B)$ が成り立つから
$x = a + b \leq sup (A) + sup (B)$
であり， $sup (A) + sup (B)$ が $A + B$ の上界であることが示された．

まとめ

上限・下限を含む不等式の導出は，次の表に則って考えればだいたい何とかなる気がします．
赤字の行は上限・下限の定義から直ちに従う最も基本的な性質です．
（簡単のため，表に現れる部分集合が空でなく上限・下限をもつことは仮定します）

仮定	結論
$x \in A$	$x \leq sup (A)$
$^{\exists} a \in A, x \leq a$	$x \leq sup (A)$
$^{\forall} a \in A, a \leq x$	$sup (A) \leq x$
$A \subset B$	$sup (A) \leq sup (B)$
$^{\forall} a \in A,^{\forall} b \in B, a \leq b$	$sup (A) \leq sup (B)$

下限バージョンも載せておきます．（4行目の不等号の向きに注意）

仮定	結論
$x \in A$	$inf (A) \leq x$
$^{\exists} a \in A, a \leq x$	$inf (A) \leq x$
$^{\forall} a \in A, x \leq a$	$x \leq inf (A)$
$A \subset B$	$inf (B) \leq inf (A)$
$^{\forall} a \in A,^{\forall} b \in B, a \leq b$	$inf (A) \leq inf (B)$

足りないもの・あった方が良いものがあれば教えてください．
ここまで読んでいただき，ありがとうございました．

投稿日：2023年7月17日

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