三角形演算子について
はじめに
Mathlogのみなさん、はじめまして。Nappleといいます。
突然ですが、並列に繋いだ抵抗の全体抵抗を考えるときなどに現れる以下の形
$$\frac{1}{R}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}=\frac{r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1}{r_1r_2r_3}$$
について、分子部分を簡単に表せないかなあ、という話を以前から考えていました。この表現についてまとめていきます。
数学的に誤りがあるかも。
既出概念かも。
定義
任意の数$a,b,c$について、三角形演算子$\prodsum{}{}{}$を以下のように定める。
$$
\begin{eqnarray}
{}_{b} \prodsum{}{a}{}{}_{c}&:=&ab+bc+ca
\end{eqnarray}
$$
いや……汎用性……
ということで一般化します。
数列$a_n$に対して、一般化した三角形演算子(部分積和演算子)$\prodsum{}{}{}$と、逆三角形演算子(部分和積演算子)$\sumprod{}{}{}$を以下のように定める。
\begin{eqnarray}
\prodsum{i=1}{n}{a_i}
&:=&a_1a_2\dots{}a_{n-1}+a_2\dots{}a_{n-1}a_n+\dots{}+a_1a_2\dots{}a_{n-2}a_n \\
&=&\sum_{i}\prod_{j\neq{}i}a_j\\
\sumprod{i=1}{n}{a_i}
&:=&(a_1+a_2+\dots{}+a_{n-1})(a_2+\dots{}+a_{n-1}+a_n)\dots{}(a_1+a_2+\dots{}+a_{n-2}+a_n) \\
&=&\prod_{i}\sum_{j\neq{}i}a_j
\end{eqnarray}
一般三角形演算子は$n$個の要素に対して、$n-1$個の隣り合う要素の積を計算し、その和を考えているということになります。
ここで、1組あたりの要素数も一般化できるのではないかと思ったので、以下の定義を行います。
数列$a_n$に対して、超三角形演算子$\genprodsum{}{}{k}{}$を以下のように定める。
\begin{eqnarray}
\genprodsum{i=1}{n}{k}{a_i}
&:=&a_1a_2\dots{}a_k+a_2\dots{}a_ka_{k+1}+\dots{}+a_1a_2\dots{}a_{k-1}a_n
\end{eqnarray}
言葉で説明すると、超三角形演算子は「$n$項の数列$a_n$において、『すべての隣り合う$k$個の項の積』の総和を返す演算」であるということです。
ここまで拡張すれば、冒頭の計算は以下のように表せます。
$$\frac{1}{R}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}=\frac{r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1}{r_1r_2r_3}=\frac{\genprodsum{i=1}{3}{2}{r_i}}{\genprodsum{i=1}{3}{3}{r_i}}$$
計算例
\begin{eqnarray}
(1)\prodsum{i=1}{n}{(1,2,3)}
&=&1\cdot2+2\cdot3+3\cdot1
&=&11\\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
(2)\prodsum{i=1}{n}{(1,2,3,4)}
&=&1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+3\cdot4\cdot1+4\cdot1\cdot2
&=&50
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
(3)\sumprod{i=1}{n}{(1,2,3)}
&=&(1+2)(2+3)(3+1)
&=&60\\
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
(4)\genprodsum{i=1}{n}{2}{(1,2,3,4)}
&=&1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+4\cdot1
&=&24\\
\end{eqnarray}
定理と公式
順次追加していきます。
$c:定数$
$$(1) \prodsum{i=1}{1}{a_i}=1 $$
$$(2) \prodsum{i=1}{2}{a_i}=a_1+a_2 $$
$$(3) \prodsum{i=1}{n}{a_i}=\prod_{i=1}^n{a_i}\sum_{i=1}^n{\frac{1}{a_i}}\qquad (a_n\neq{}0) $$
$$(4) \prodsum{i=1}{n}{c}=nc^{n-1} $$
$c:定数$
$$(1) \sumprod{i=1}{n}{c}=(n-1)^nc^n $$
$$(1) \genprodsum{i=1}{n}{0}{a_i}=n $$
$$(2) \genprodsum{i=1}{n}{1}{a_i}=\sum_{i=1}^{n}{a_i} $$
$$(3) \genprodsum{i=1}{n}{n-1}{a_i}=\prodsum{i=1}{n}{a_i} $$
$$(4) \genprodsum{i=1}{n}{n}{a_i}=n\cdot\prod_{i=1}^{n}{a_i} $$
$\lambda:定数$
$$(1) \prodsum{i=1}{n}{\lambda{}a_i}=\lambda{}^{n-1}\prodsum{i=1}{n}{a_i}$$
$$(2) \sumprod{i=1}{n}{\lambda{}a_i}=\lambda{}^{n}\sumprod{i=1}{n}{a_i}$$
$c:定数$
$$(1) \sumprod{i=1}{n}{(a_i+c)}=c^i(n-1)^i\sum_{i=0}^n{(\genprodsum{j=1}{n}{n-i}{(\sum_{k\neq{}j}{a_k})})}$$
$$(1) \prodsum{i=1}{n}{\frac{1}{a_i}}=\frac{\prod_{i=1}^n{a_i}}{\prodsum{i=1}{n}{a_i}}$$
$$(2) \sumprod{i=1}{n}{\frac{1}{a_i}}=\frac{\left(\prodsum{i=1}{n}{a_i}\right)^n}{\left(\prod_{i=1}^n{a_i}\right)^{n-1}}=\left( \frac{1}{\prodsum{i=1}{n}{\frac{1}{a_i}}} \right)^n\prod_{i=1}^{n}{a_i}$$
調べたいこと
(1)無限数列の収束性
(2)数列の和や積に関する性質
(3)冪乗に関する性質
など
予想
\begin{eqnarray} \left(\prodsum{i=1}{n}{a_i}\right)^k&=&\sum_{j=1}^k{(j\cdot\genprodsum{i=1}{n}{j}{a_i^{k-j+1}})} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \prodsum{i=1}{n}{\frac{1}{a_i}}\cdot\sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{a_i}} &=& 1 \\ \genprodsum{i=1}{n}{n-k}{\frac{1}{a_i}}\cdot\genprodsum{i=1}{n}{k}{\frac{1}{a_i}}&=&1 \end{eqnarray}
おわりに
もっとわかりやすくまとめられたらなあと思うんですが初回なので許してください。
導出も後々書けたらと思います。