三角形演算子について

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はじめに

Mathlogのみなさん、はじめまして。Nappleといいます。
突然ですが、並列に繋いだ抵抗の全体抵抗を考えるときなどに現れる以下の形
$\frac{1}{R} = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} = \frac{r_{1} r_{2} + r_{2} r_{3} + r_{3} r_{1}}{r_{1} r_{2} r_{3}}$
について、分子部分を簡単に表せないかなあ、という話を以前から考えていました。この表現についてまとめていきます。

数学的に誤りがあるかも。
既出概念かも。

定義

三角形演算子

任意の数 $a, b, c$ について、三角形演算子 $\underset{}{\overset{}{△}}$ を以下のように定める。
$\begin{array}{rcl} _{b} \underset{}{\overset{a}{△}}_{c} & := & a b + b c + c a \end{array}$

いや……汎用性……
ということで一般化します。

一般三角形演算子

数列 $a_{n}$ に対して、一般化した三角形演算子(部分積和演算子) $\underset{}{\overset{}{△}}$ と、逆三角形演算子(部分和積演算子) $\underset{}{\overset{}{▽}}$ を以下のように定める。
$\begin{array}{rcl} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i} & := & a_{1} a_{2} \dots a_{n - 1} + a_{2} \dots a_{n - 1} a_{n} + \dots + a_{1} a_{2} \dots a_{n - 2} a_{n} \\ = & \sum_{i} \prod_{j \neq i} a_{j} \\ \underset{i = 1}{\overset{n}{▽}} a_{i} & := & (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1}) (a_{2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}) \dots (a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 2} + a_{n}) \\ = & \prod_{i} \sum_{j \neq i} a_{j} \end{array}$

一般三角形演算子は $n$ 個の要素に対して、 $n - 1$ 個の隣り合う要素の積を計算し、その和を考えているということになります。
ここで、1組あたりの要素数も一般化できるのではないかと思ったので、以下の定義を行います。

超三角形演算子

数列 $a_{n}$ に対して、超三角形演算子 $^{k} \underset{}{\overset{}{△}}$ を以下のように定める。
$\begin{array}{rcl} ^{k} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i} & := & a_{1} a_{2} \dots a_{k} + a_{2} \dots a_{k} a_{k + 1} + \dots + a_{1} a_{2} \dots a_{k - 1} a_{n} \end{array}$

言葉で説明すると、超三角形演算子は「 $n$ 項の数列 $a_{n}$ において、『すべての隣り合う $k$ 個の項の積』の総和を返す演算」であるということです。
ここまで拡張すれば、冒頭の計算は以下のように表せます。
$\frac{1}{R} = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} = \frac{r_{1} r_{2} + r_{2} r_{3} + r_{3} r_{1}}{r_{1} r_{2} r_{3}} = \frac{^{2} \underset{i = 1}{\overset{3}{△}} r_{i}}{^{3} \underset{i = 1}{\overset{3}{△}} r_{i}}$

計算例

$\begin{array}{rclrc} (1) \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} (1, 2, 3) & = & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 & = & 11 \end{array}$
$\begin{array}{rclrc} (2) \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} (1, 2, 3, 4) & = & 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot 2 & = & 50 \end{array}$
$\begin{array}{rclrc} (3) \underset{i = 1}{\overset{n}{▽}} (1, 2, 3) & = & (1 + 2) (2 + 3) (3 + 1) & = & 60 \end{array}$
$\begin{array}{rclrc} (4)^{2} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} (1, 2, 3, 4) & = & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 1 & = & 24 \end{array}$

定理と公式

順次追加していきます。

三角形演算子の基本定理

$c : 定数$
$(1) \underset{i = 1}{\overset{1}{△}} a_{i} = 1$
$(2) \underset{i = 1}{\overset{2}{△}} a_{i} = a_{1} + a_{2}$
$(3) \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i} = \prod_{i = 1}^{n} a_{i} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}} (a_{n} \neq 0)$
$(4) \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} c = n c^{n - 1}$

逆三角形演算子の基本定理

$c : 定数$
$(1) \underset{i = 1}{\overset{n}{▽}} c = (n - 1)^{n} c^{n}$

超三角形演算子の基本定理

$(1)^{0} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i} = n$
$(2)^{1} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$
$(3)^{n - 1} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i} = \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i}$
$(4)^{n} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i} = n \cdot \prod_{i = 1}^{n} a_{i}$

定数倍に関する公式

$λ : 定数$
$(1) \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} λ a_{i} = λ^{n - 1} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i}$
$(2) \underset{i = 1}{\overset{n}{▽}} λ a_{i} = λ^{n} \underset{i = 1}{\overset{n}{▽}} a_{i}$

平行移動に関する公式

$c : 定数$
$(1) \underset{i = 1}{\overset{n}{▽}} (a_{i} + c) = c^{i} (n - 1)^{i} \sum_{i = 0}^{n} (^{n - i} \underset{j = 1}{\overset{n}{△}} (\sum_{k \neq j} a_{k}))$

逆数に関する公式

$(1) \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} \frac{1}{a_{i}} = \frac{\prod_{i = 1}^{n} a_{i}}{\underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i}}$
$(2) \underset{i = 1}{\overset{n}{▽}} \frac{1}{a_{i}} = \frac{{(\underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i})}^{n}}{{(\prod_{i = 1}^{n} a_{i})}^{n - 1}} = {(\frac{1}{\underset{i = 1}{\overset{n}{△}} \frac{1}{a_{i}}})}^{n} \prod_{i = 1}^{n} a_{i}$

調べたいこと

(1)無限数列の収束性
(2)数列の和や積に関する性質
(3)冪乗に関する性質

など

予想

$\begin{array}{rcl} {(\underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i})}^{k} & = & \sum_{j = 1}^{k} (j \cdot^{j} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} a_{i}^{k - j + 1}) \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} \frac{1}{a_{i}} \cdot \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}} & = & 1 \\ ^{n - k} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} \frac{1}{a_{i}} \cdot^{k} \underset{i = 1}{\overset{n}{△}} \frac{1}{a_{i}} & = & 1 \end{array}$