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大学数学基礎解説

東大数理院試過去問解答例(2017B04)

ガロア理論,代数,大学院入試
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ここでは東大数理の修士課程の院試の2017B04の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2017B04

整数$m\geq2$を取り、体$L=\mathbb{C}(X,Y)$とその部分体$K=\mathbb{C}(X^mY^m,X^m+Y^m)$を考える。

  1. 拡大$L/K$はGalois拡大であることを示し、その拡大次数$[L:K]$を求めなさい。
  2. ある$a\in\mathbb{C}$を用いて$K(X+aY)$と表せるような$L/K$の中間体の個数を求め、このような体に対応する$G=\mathrm{Gal}(L/K)$の部分群を全て求めなさい
  3. $m$次斉次対称式$f$について$K':=K(f(X,Y))$とおく。拡大$K'/K$がGalois拡大になるような$f$を全て挙げなさい。
  1. 多項式$F(T)=(T^m-X^m)(T^m-Y^m)$を考えると、$L$は$K$上$F$の最小分解体なので、特にGaloisである。また$S=\mathbb{C}(X^m,Y^m)$は$K$の$2$次拡大であり、$L$は$S$の$m^2$次拡大であるから、$\color{red}[L:K]=2m^2$である。
  2. ここで$\sqrt[m]{1}$の生成元$\zeta$を一つ固定し$G$の元$\tau_{i,j}$を
    $$ \tau_{i,j}(X)=\zeta^iX,\tau(Y)=\zeta^jY $$
    によって、$\sigma_{i,j}$を
    $$ \sigma_{i,j}(X)=\zeta^iY,\sigma_{i,j}(Y)=\zeta^jX $$
    によって定義する。ここで$X+aY$が$\tau_{i,j}$によって固定されるとすると、$(i,j)=(0,j)$かつ$a=0$の場合と$(i,j)=(0,0)$の場合しかない。一方$\sigma_{i,j}$によって固定されているとすると、$(i,j)=(i,-i)$かつ$a=\zeta^i$の場合しかない。以上から$K(X+aY)$が非自明な中間体になっているのは$a=0,1,\zeta,\zeta^2,\cdots,\zeta^{m-1}$の場合であり、これらはいずれも相異なる体を定めているから、所望の体は$\color{red}m+1$個である。またそれぞれに対応する$G$の部分群は$a=0$の場合は
    $$ \color{red}\{\tau_{0,j}|j=0,\cdots m-1\} $$
    であり、$a=\zeta^i$の場合は
    $$ \color{red}\{\sigma_{i,-i},\mathrm{id}\} $$
    である。
  3. $\sigma_{i,j}(f)=f$を満たすのは$i=j$の場合・$f=c(X^m+Y^m)$の場合・$2|m,i+j$かつ$f=c(X^m+Y^m)+d(XY)^\frac{m}{2}$の場合である。一方$\tau_{i,j}(f)=f$を満たすのは$i=j$の場合・$f=c(X^m+Y^m)$の場合・$2|m,i+j$かつ$f=c(X^m+Y^m)+d(XY)^\frac{m}{2}$の場合である。よって$f=c(X^m+Y^m)+d(XY)^\frac{m}{2}$と表せないとき、$K'$の固定部分群は$\{\tau_{i,i},\sigma_{i,i}\}$であるがこれは$G$の正規部分群ではない。一方ある$c\in\mathbb{C}^\times$を用いて$f=c(X^m+Y^m)$と表せるとき、$K'=K$であるからこれは所望の$f$である。一方ある$c\in\mathbb{C}$及び$d\in\mathbb{C}^\times$を用いて$f=c(X^m+Y^m)+d(XY)^{\frac{m}{2}}$と表せるとき、$K'$は$K$上$T^2-X^mY^m$の最小分解体であるから、特にGaloisである。以上から条件を満たす$f$は$n$が奇数のとき複素数$c\in\mathbb{C}^\times$を用いて$\color{red}c(X^m+Y^m)$で表されるもので尽くされ、$m$が偶数のときは少なくとも一方は$0$でない複素数$c,d\in\mathbb{C}$を用いて$\color{red}c(X^m+Y^m)+d(XY)^\frac{m}{2}$で表されるもので尽くされる。
投稿日：2月24日

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佐々木藍
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佐々木藍(Ai Sasaki)です。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。X(旧Twitter)→＠sasaki_aiiro

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