円の接続関係に関する定理いろいろ

注意事項

コーナーケース

無限遠点

(この2タイプの無限遠点についての記事を前々から書こう書こうと思っているのですが、書けていないです……。)

有向角

有向角に関しては denta_geometry さんの 有向角の使い方 | Mathlog が参考になります。

この記事の証明の一部では、
恒等式 $\measuredangle CAB=\measuredangle CAP_1+\measuredangle P_1AP_2+\cdots+\measuredangle P_{n-1}AP_n+\measuredangle P_nAB$
とか
恒等式 $\measuredangle CAB=\measuredangle ACP_1+\measuredangle CP_1P_2+\measuredangle P_1P_2P_3+\cdots+\measuredangle P_{n-2}P_{n-1}P_n+\measuredangle P_{n-1}P_nB+\measuredangle P_nBA$
とか
円周角の定理：$A,B,P,Q\,\text{が共円}\,\Leftrightarrow\,\measuredangle APB=\measuredangle AQB\,\Leftrightarrow\,\measuredangle APB+\measuredangle BQA=0$
とか
を使うので、証明まできちんと見ようと思う人は有向角が使えた方がいいです。
証明を気にせずに、定理を眺めるだけならいりません。

はじめに

平面幾何において、ある線がある点を通ること(ある点がある線上にあること)や線同士が交わったり接したりすることを接続関係という。この記事は、円と直線と点の接続関係のみで記述される定理について載せる(私が知っている範囲で)。私がまだまだ不勉強なので抜けが多いと思う。

円と直線(および点)の接続関係は反転によって保たれる。
反転を考える際はユークリッド平面に一つの無限遠点を付け加えた平面で考えると便利である。この平面をメビウス平面あるいは反転平面という。

メビウス平面において直線は無限遠点$P_\infty$を通る円と考えることができる。
すなわち、「2点$X,Y$を通る直線」は「3点$P_\infty,X,Y$を通る円」とみなし、「3点$X,Y,Z$が共線であること」は「4点$P_\infty,X,Y,Z$が共円であること」と考える。また、「点$A$で交わる2直線」は「2点$P_\infty,A$で交わる2円」となり、「平行な2直線」は「点$P_\infty$で接する2円」となる。

円と直線の接続関係の命題は、どの円上にもなくどの直線上にもない点を中心とする反転により、円のみの接続関係の命題に書き換えられる。逆に、円のみの接続関係の命題は、いずれかの円上の点(特に円同士の交点)を中心とする反転により、円と直線の接続関係の命題に書き換えられる。
この記事では直線を円扱いして、すべて円として定理を記載することにする。

バンドル定理

バンドル定理(bundle theorem)を3つの表現で記載する。定理1,2,3が等価であることの確認は各自に任せる。

表現その1

すなわち、次の6通りのうち5通りで赤文字4点が共円ならば残り1通りの赤文字4点も共円である。

\begin{align} \mqty[\color{red}{A_1B_1}&\color{red}{A_2B_2}&\color{gray}{A_3B_3}&\color{gray}{A_4B_4}]\qquad\mqty[\color{red}{A_1B_1}&\color{gray}{A_2B_2}&\color{red}{A_3B_3}&\color{gray}{A_4B_4}]\qquad\mqty[\color{red}{A_1B_1}&\color{gray}{A_2B_2}&\color{gray}{A_3B_3}&\color{red}{A_4B_4}]\\\\\mqty[\color{gray}{A_1B_1}&\color{gray}{A_2B_2}&\color{red}{A_3B_3}&\color{red}{A_4B_4}]\qquad\mqty[\color{gray}{A_1B_1}&\color{red}{A_2B_2}&\color{gray}{A_3B_3}&\color{red}{A_4B_4}]\qquad\mqty[\color{gray}{A_1B_1}&\color{red}{A_2B_2}&\color{red}{A_3B_3}&\color{gray}{A_4B_4}] \end{align}

表現その2

表現その3

定理3の証明概略を載せる。

ミケルの六円定理

ミケルの六円定理を3つの表現で記載する。定理4,5,6が等価であることの確認は各自に任せる。

表現その1

すなわち、次の6通りのうち5通りで赤文字4点が共円ならば残り1通りの赤文字4点も共円である。

\begin{align} \mqty[\color{red}{A_1}&\color{red}{A_2}&\color{gray}{A_3}&\color{gray}{A_4}\\\color{gray}{B_1}&\color{gray}{B_2}&\color{red}{B_3}&\color{red}{B_4}]\qquad\mqty[\color{red}{A_1}&\color{gray}{A_2}&\color{red}{A_3}&\color{gray}{A_4}\\\color{gray}{B_1}&\color{red}{B_2}&\color{gray}{B_3}&\color{red}{B_4}]\qquad\mqty[\color{red}{A_1}&\color{gray}{A_2}&\color{gray}{A_3}&\color{red}{A_4}\\\color{gray}{B_1}&\color{red}{B_2}&\color{red}{B_3}&\color{gray}{B_4}]\\\\\mqty[\color{gray}{A_1}&\color{gray}{A_2}&\color{red}{A_3}&\color{red}{A_4}\\\color{red}{B_1}&\color{red}{B_2}&\color{gray}{B_3}&\color{gray}{B_4}]\qquad\mqty[\color{gray}{A_1}&\color{red}{A_2}&\color{gray}{A_3}&\color{red}{A_4}\\\color{red}{B_1}&\color{gray}{B_2}&\color{red}{B_3}&\color{gray}{B_4}]\qquad\mqty[\color{gray}{A_1}&\color{red}{A_2}&\color{red}{A_3}&\color{gray}{A_4}\\\color{red}{B_1}&\color{gray}{B_2}&\color{gray}{B_3}&\color{red}{B_4}] \end{align}

この証明を見てみると、与えられた5組の4点共円をもとにして円周角の定理を5回使っていることがわかると思う。

表現その2

定理5で$A_{11},A_{12},A_{21},A_{22}$が共円の場合は$\mqty[A_{11}&A_{21}'&A_{12}'&A_{22}\\A_{22}'&A_{12}&A_{21}&A_{11}']_\mathrm{Miquel}$となる。

表現その3

定理6の場合は$\mqty[A&C_1&C_2&C_3\\D&B_1&B_2&B_3]_\mathrm{Miquel}$となる。

定理6の証明概略を載せる。

ミケルの六円定理の2点接近極限

定理4は異なる8点を考えているが、$A_i$と$B_j$が近づいた極限を考えることで2点が一致する場合の定理が得られる。

1組接近

次の定理は定理4における$A_4$と$B_3$が近づいた極限とみなせる。

この記事では、定理7の5つの条件が成立していることを$\mqty[A_1&A_2&A_3&T\\B_1&B_2&T&B_4]_\mathrm{Miquel}$と書く。

2組接近

次の定理は定理4における$A_4$と$B_3$が近づき$A_2$と$B_1$が近づいた極限とみなせる。

この記事では、定理8の4つの条件が成立していることを$\mqty[A_1&S&A_3&T\\S&B_2&T&B_4]_\mathrm{Miquel}$と書く。

クリフォードの定理

クリフォードの定理は無限に続く定理である。
通常のクリフォードの定理の前に、$n=4$の場合について違う表現で書いておく。

$n=4$の場合

ここではクリフォードの定理の初段である$n=4$の場合を定理6を踏まえた書き方で書く。

点$A$が無限遠点である場合、ミケルの四辺形定理となる。

一般の場合

注意：「クリフォード点」や「クリフォード円」は私が勝手にそう呼んでいるだけで、そういう用語があるわけではありません。

証明略　(私がまだわかっていません。)

ミケルの五点円定理

ミケルの五点円定理(五角形定理,五芒星定理)は直線と円の定理だが、ここではすべて円として記述する。

点$A$が無限遠点である場合が通常のミケルの五点円定理である。

参考：証明に出てきた5つの円(5点$B_{i},C_{i+1},C_{i-1},D_{i+1},D_{i-1}$を通る円($i=1,2,3,4,5$))をこの定理の構図に付け加えると、$n=5$のクリフォードの定理の構図になる。

定理名称不明

この後に載せる高田の定理の証明で使用する補題を先に示しておく。

(証明はtakadaを参考にしました。)

[i]の証明の考察：
定理12の[i]は$i=1,2,3,4,5$の5つの主張をまとめて述べているが、その中の1つに着目する。
4点$A,B_{i},F^+_{i},F^-_{i}$を決定するために必要な点と円は$A,$ $B_{i},B_{i+1},B_{i+2},B_{i-2},B_{i-1},$ $C_{i+1},C_{i+2},C_{i-2},C_{i-1},$ $E_{i+2},E_{i-2},$ $F^+_{i},F^-_{i}$の14点と$\omega_{i},\omega_{i+1},\omega_{i+2},\omega_{i-2},\omega_{i-1},$ $B_{i}B_{i+2}C_{i+1},B_{i}B_{i-2}C_{i-1},B_{i+1}B_{i-2}C_{i+2},B_{i-1}B_{i+2}C_{i-2},$ $B_{i}B_{i+1}E_{i-2},B_{i}B_{i-1}E_{i+2}$の11円である。証明では補助点として$\omega_{i+1}$と$\omega_{i-1}$の交点である$C_{i}$を使っている。必要14点+補助1点が各円の上に何個乗っているか見てみると、$\omega_{i+1},\omega_{i-1}$は6点共円・$\omega_{i},\omega_{i+2},\omega_{i-2}$は5点共円・$B_{i}B_{i+2}C_{i+1},B_{i}B_{i-2}C_{i-1},B_{i+1}B_{i-2}C_{i+2},B_{i-1}B_{i+2}C_{i-2},B_{i}B_{i+1}E_{i-2},B_{i}B_{i-1}E_{i+2}$は4点共円になっている。
[i]の証明では円周角の定理を18回使っているのだが、これは6点共円2つで各3回・5点共円3つで各2回・4点共円6つで各1回、これらを合わせて計18回となっている。

高田の定理

高田の定理は円と直線の定理だが、ここではすべて円として記述する。

点$A$が無限遠点である場合が通常の高田の定理である。

おわりに

冒頭にも書いたが、メビウス平面では直線は円と同じように扱うことができる。
円に加えて直線が関係する定理は一見すると別の定理のように見えても、メビウス平面で考えると実は同じもので統一的に理解できる場合があることがわかったと思う。

この記事を書いてみて、ミケルの六円定理がいろいろと使えて便利だった。
定理6のように1点を通る3円を起点にして探すと、ミケルの六円定理の構図を見つけやすい。
そして定理4のように8点を$2\times4$の形に書いてみると確認がしやすいと思う。
いったんその構図を見つけてしまえば、関連する点と円が8点6円に限定されるので、角度追跡など別の手で示すこともやりやすくなる。
ミケルの六円定理の表現その1(定理4)と表現その3(定理6)だけでも頭の片隅に置いておいてもらえればうれしい。

今回の記事では円が接するものをほとんど載せていないので、また勉強してわかったことが増えたら次の記事を書いてみたいと思う。