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東大数理院試過去問解答例(2015B05)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2015B05の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2015B05

X=R3{0}とおく。X上のC級関数fはある1変数関数hを用いてf(x,y,z)=h(r)と表されるとする。但しr=x2+y2+z2である。X上の1次形式ω
ω=f(x,y,z)(xdx+ydy+zdz)
と定義する。

  1. ωX上閉形式であることを示しなさい。
  2. ωX上完全形式であることを示しなさい。
  3. ある調和関数φを用いてω=dφと書けるとき、fとしてあり得るものを全て挙げなさい。但し調和関数とは
    Δφ:=2φx2+2φy2+2φz2=0
    を満たすX上のC2級関数を指す。
  1. 関数H:R>0Rを積分
    H(r)=120r2h(s)ds
    とおく。このとき
    d(H(r))=h(r)xdx+h(r)ydy+h(r)zdz=f(xdx+ydy+zdz)
    であるから完全形式であり、特に閉形式である。
  2. (1)で既に示した
  3. まずF(x,y,z)=H(r2)とおく。このときd(Fφ)=0になっているから、F(x,y,z)=φ(x,y,z)が従う。ここで
    Fx=2xh(r)
    2Fx2=2h(r)+h(r)2x2r
    であることから
    ΔF=2(3h(r)+h(r))
    が従う。これが0になるにはh(r)=Cexp(3r)であることが必要充分なので、これによってfは定数Cを用いて
    f=Cexp(3x2+y2+z2)
    と表される関数であることがわかる。
投稿日:2024811
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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