大学数学基礎解説

谷山志村予想のステートメント

数論,代数幾何,谷山志村予想

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

初めに

目標

まず谷山志村予想は以下のような主張です。

谷山志村予想

$Q$ 上の全ての楕円曲線は保型的(モジュラー)である

Fermat予想の話を聞くときこの定理を聞いたことがある人も多いのではないでしょうか？そこで今回はこのステートメントの意味するところを解説していきたいと思います。解説には齊藤毅先生のフェルマー予想の2章を参照しました。

前提知識

この記事ではHartshorne先生のAlgebraic Geometryの２章及び３章の一部(平坦射のところ)程度の代数幾何の知識、そしてSilverman先生のthe Arithmetic of Elliptic Curvesの１〜３章程度の楕円曲線の知識を仮定します。

言い訳とお願い

この記事は業務の傍、齊藤先生の本片手に駆け足で書いたもので、誤字脱字・数学的な誤り・説明が不親切な箇所等が多々あるはずなので、そのようなものを見つけた場合コメントに書いていただけると助かります。よろしくお願いします。

楕円曲線の還元( $p \geq 3$ で良い還元を持つ場合)

素数 $p \geq 3$ をとります。 $Q$ 上の楕円曲線とは $y^{2} + a_{1} x y + a_{3} y = x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{4} x + a_{6}$ の形で表される $(x, y)$ たちの為す曲線のことを指します(ここで $a_{i}$ たちは $Q$ の元です)が、例えばこの係数の取り方は一意ではなく、うまく変数変換を施してあげることで $y^{2} = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ の形(ここで $a, b, c$ は $Z_{(p)}$ の元で $a$ は単元)で表されることができます。このときこの楕円曲線の $p$ に於ける還元とはこの式で表される $F_{p}$ 上の曲線のことを指します。この曲線が楕円曲線になっているとき $E$ は $p$ に於いて良い還元を持つと言います。ここで以下の量を定義します。

定義

$p$ を $3$ 以上の素数とし、 $E$ は $p$ で良い還元を持つとする。。 $Q$ 上の楕円曲線 $E$ にたいして還元 $E_{F_{p}}$ を取ったとき、有理点 $E_{F_{p}} (F_{p}) = {(x, y) \in F_{p} \times F_{p} | y^{2} = a x^{3} + b x^{2} + c x + d} ⊔ {O}$ の個数を用いて $a_{p} (E) = p + 1 - | E_{F_{p}} (F_{p}) |$ と定義する。

$p = 2$ の場合や $p$ で良い還元を持たない場合も $a_{p} (E)$ は定義できますがここでは省略します。

保型形式

モジュラー曲線 $X_{0} (N)$

谷山志村予想を述べるためには「保型的である」ことの意味をはっきりさせる必要があります。しかしそのためには代数曲線 $X_{0} (N)$ を定義する必要があり、その構成には結構時間と手間がかかるので、この構成は未来の自分に任せてここではこの曲線の定義を挙げ、性質を列挙していきます。

まず一つ関手を定義します。

$Q$ 上のスキームの圏から集合の圏への関手 $M_{0} (N)$ を $M (T) := {(E, C) の同型類}$ で定義する。ここで $(E, C)$ は $T$ 上の楕円曲線 $E$ とその位数 $N$ の巡回部分群スキーム $C$ の組である。
スキーム $S$ 上の広義楕円曲線 $E$ の $Γ (N)$ 構造とは、 $E^{sm}$ の位数 $N$ の巡回部分群スキームで $C$ 、 $S$ の任意の幾何学的点 $\overset{―}{s}$ について、 $C$ が $E_{\overset{―}{s}}$ のすべての既約成分と交わるものを指す。
$Q$ 上のスキームの圏から集合の圏への関手 ${\overset{―}{M}}_{0} (N)$ を $\overset{―}{M} (T) := {(E, C) の同型類}$ で定義する。ここで $(E, C)$ は $T$ 上の広義楕円曲線 $E$ とその $Γ_{0} (N)$ 構造 $C$ の組である。

ここでこれらのモジュライが存在すれば嬉しいですが、実は嬉しいことに以下の結果があります。

上記で定義した関手 $M (N)$ 及び $\overset{―}{M} (N)$ には粗モジュライが存在する(以下それぞれ $Y_{0} (N)$ 及び $X_{0} (N)$ とおく)。
$X_{0} (N)$ は $Q$ 上の固有smooth代数曲線であり、 $Y_{0} (N)$ はその稠密アファイン開部分スキームである。
$X_{0} (N)$ は連結で、その定数体は $Q$ である。

一般的にこのようなモジュラー曲線の存在をきちんと述べるためにはそれなりの労力を要するので説明は未来の自分に丸投げします。この $X_{0} (N)$ はレベル $N$ のモジュラー曲線と呼ばれます。

保型形式って何？

いよいよ保型形式を定義します。

保型形式

$X_{0} (N)$ の正則微分形式とは $S (N) = Γ (X_{0} (N), Ω_{X_{0} (N) / Q}^{1})$ の元を指す。 $X_{0} (N)$ 上の正則微分形式を $Q$ 上のレベル $N$ の保型形式ないしモジュラー形式と呼ぶ。

$q$ 展開

急展開ではありません、 $q$ 展開です。だだすべりしたので裸エプロン先輩に大嘘憑きでなかったことにしてもらって早速解説に入っていきましょう。

保型形式の $q$ 展開とは読んで字の如く保型形式を $q$ を係数とする冪級数の形に展開することです。しかし前節で定義した通り保型形式とは微分形式だったはずです。そこでこれがどのようにして冪級数に対応していくのか見ていきましょう。

ここからはかなり天下り的な解説になりますがご容赦ください。まず関数 $σ_{k} (n) := \sum_{d | n} d^{k}$ 及びRiemannの $ζ$ -関数 $ζ$ を取ります。ここで偶数 $k \geq 2$ に対して $q$ に関する冪級数 $E_{k} (q) := 1 + \frac{2}{ζ (1 - k)} \sum_{n = 1}^{\infty} σ_{k - 1} (n) q^{n}$ を定義します。一つ気をつけておきたいのは実は正の偶数 $k$ について $ζ (1 - k)$ は有理数であるということです。これによって上記の冪級数は実は $Q [[q]]$ の元であることがわかります。ここで以下の命題が成り立ちます。

方程式 $y^{2} = 4 x^{3} - \frac{1}{12} E_{4} (q) x + \frac{1}{216} E_{6} (q))$ は $Q [[q]]$ 上の広義楕円曲線であり、 $Q ((q))$ 上では楕円曲線を定めている。

証明は時間のある時か必要性に迫られた時に書くのでひとまず省略させてくださいm(_ _)m。そしてさらにここには自然な $Γ_{0} (N)$ 構造を構成することができます。ここで $Q$ -スキーム $T$ に対して $X_{0} (N) (T) = {射 T \to X_{0} (N)}$ は $T$ 上の広義楕円曲線たちを司っていたことを思い出しましょう。これによって上記の広義楕円曲線及びその $Γ_{0} (N)$ 構造は射 $e : Spec Q [[q]] \to X_{0} (N)$ を定めることができます。

次にこの射 $e$ から微分形式の引き戻し $e^{*} : Ω_{X_{0} (N) / Q} \to Ω_{Q [[q]] / Q}$ が定まります。ここで $d q \mapsto q$ で定義される写像 $Ω_{Q [[q]] / Q} \to Q [[q]]$ を合成することで準同型 $e^{*} : S (N) \to Q [[q]]$ が定義できる。ここで保型形式 $f$ から定まる展開 $e^{*} f = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} (f) q^{n}$ を $q$ -展開と呼びます。

以上の定義は非常に抽象的ですが、解析的に見ると実は非常に自然な定義です。後日時間がある時にこの解説も書こうと思います。

ここで上記の定義からだと異なる保型形式から同じ $q$ -展開が得られることも起こりそうなものですが実は以下の命題が成り立ちます。

$e^{*} : S (N) \to Q [[q]]$ は単射である。

Hecke作用素

Hecke作用素を定義する前に

以上で楕円曲線 $E$ に対して $a_{p} (E)$ が、保型形式 $f$ に対して $a_{n} (f)$ が定義できたので「楕円曲線がモジュラーである」とは $E$ から定まる $a_{p} (E)$ が $f$ の $q$ -展開の係数 $a_{p} (f)$ となんか対応してるんだろうなということが想像できます。実際その通りなのですが、実は主張をより正確に述べるためにはまだ準備が必要です。

ここではそのための準備としてHecke作用素を定義していきます。Hecke作用素とは $S (N)$ の間のある線型写像を指すのですが、その構成には $X_{0} (N)$ の性質やモジュライ空間としての意味をフルに使っていきます。

モジュラー曲線 $X_{0} (N, n)$

$X_{0} (N)$ とは $Q$ -スキーム上の楕円曲線とその $Γ_{0} (N)$ 構造を司るモジュライ曲線でした。ここでHecke作用素を定めるためにもう一つモジュラー曲線を考える必要があります。

定義語句（任意）

$Q$ 上のスキームの圏から集合の圏までの関手 $M_{0} (N, n)$ を $M_{0} (N, n) (T) = {(E, C, E^{'}, C^{'}, f) の同型類}$ で定義する。ここで $(E, C, E^{'}, C^{'}, f)$ は

楕円曲線 $E / T$ 及び $E^{'} / T$
$E$ の位数 $N$ の巡回部分群スキーム $C$ 及び $C^{'}$
$n$ 次の射 $f : E \to E^{'}$ で $f (C) = C^{'}$ なるもの

の組である。

前述の通りこのような関手を表現するモジュライ曲線があるかは常に厄介な問題ですが、実は以下が成り立ちます。

自然数 $N, n$ をとる。
(1) 商 $Y (N n) \times S_{N, n} / {GL}_{2} (Z / N n Z)$ は関手 $M_{0} (N, n)$ の粗モジュライである。
(2) 上記の $Y_{0} (N, n)$ は $Q$ 上のsmoothアファイン代数曲線である。

ここで関手の射 $s, t : M_{0} (N, n) \to M (N)$ を $s (E, C, E^{'}, C^{'}, f) := (E, C)$ $t (E, C, E^{'}, C^{'}, f) = (E^{'}, C^{'})$ と定義します。ここで $s, t$ は代数曲線の射 $s, t : Y_{0} (N, n) \to Y_{0} (N)$ を誘導しますが、実は以下が成り立ちます。

上記で述べた代数曲線の射 $s, t$ は有限平坦である。

ここで曲線 $X_{0} (N, n)$ を稠密開部分スキームとして $Y_{0} (N, n)$ を含む $Q$ 上のsmooth射影代数曲線とします(非自明ですがこのような $X_{0} (N, n)$ はちゃんと一意的に存在します)。さらに嬉しいことに $s, t : Y_{0} (N, n) \to Y (N) \subseteq X_{0} (N)$ は $s, t : X_{0} (N, n) \to X_{0} (N)$ に一意的に延長します。

以上から曲線 $X_{0} (N, n)$ と曲線の有限平坦射 $s, t : X_{0} (N, n) \to X_{0} (N)$ を定義することができました。

微分形式の引き戻し・跡

まず体 $K$ をとり、 $K$ 上のsmoothな射影曲線の有限平坦射 $f : X \to Y$ があったとき、引き戻し $Γ (Y, Ω_{Y / K}) \to Γ (X, Ω_{X / K})$ は常に定義されます。

跡は、 $f$ の有限平坦射性を用いて、自然に定義できます。まず既約成分ごとに分けることで $Y$ は連結であるとして一般性を失いません。ここで連結smooth曲線は既約なので、特に任意の開集合が稠密になります。そこで $Y$ の稠密アファイン開部分スキーム $V$ 及び $f (U) \subseteq V$ なる $X$ のアファイン開集合 $U$ で、 $f$ が $U$ 上エタールになっているようなものを取ることができます。ここで $V = Spec (A)$ 及び $U = Spec (B)$ とすると、 $A$ -加群 $Γ (V, Ω)$ はランク $1$ の自由 $A$ -加群(さりげなくここで $Y$ のsmooth性が効いています)で、その生成元を $ω$ とします。ここで引き戻しによる像 $f^{*} ω \in Γ (U, Ω)$ を取ることができますが、これは $Γ (U, Ω)$ の生成元になっています。ここで $B$ は有限射影 $A$ -加群なのでこれによって跡写像 ${Tr}_{B / A} : B \to A$ を定めることができます。ここで押し出し $(f |_{U})_{*} : Γ (U, Ω) \to Γ (V, Ω)$ を $(f |_{U})_{*} (b f^{*} ω) = ({Tr}_{B / A} b) ω$ と定義します。これは生成元 $ω$ の取り方に依りません。ここで包含 $Γ (X, Ω) \subseteq Γ (U, Ω)$ 及び $Γ (Y, Ω) \subseteq Γ (V, Ω)$ を考えると跡写像 $f_{*} : Γ (X, Ω) \to Γ (Y, Ω)$ が誘導されます。以上から射影smooth曲線の有限平坦射 $f : X \to Y$ から引き戻し $f^{*} : Γ (Y, Ω) \to Γ (X, Ω)$ と跡 $f_{*} : Γ (X, Ω) \to Γ (Y, Ω)$ が定義されました。

Hecke作用素と準素形式

Hecke作用素

Hecke作用素 $T_{n}$ を $T_{n} = s_{*} \circ t^{*} : S (N) \to Γ (X (N, n), Ω) \to S (N)$ で定義する。

上でHecke作用素を定義しました。この線型写像に対して特別な振る舞いをする保型形式を考えていきます。

まず標数 $0$ の体 $K$ に対して $S (N)_{K} = S (N) \otimes_{Q} K$ とおき、その元を $K$ -係数の保型形式と呼びます。上で定めた $q$ -展開 $S (N) ↪ Q [[q]]$ の係数拡大 $e_{K}^{*} : S (N)_{K} ↪ K [[q]]$ とおき、これも $q$ -展開と呼びます。

準素形式

$f \neq 0 \in S (N)_{K}$ をとり、その $q$ -展開が $\sum_{m = 1}^{\infty} a_{m} (f) q^{m}$ であるとする。このとき $f$ が準素形式であるとは任意の $n$ に対し $T_{n} f = a_{n} (f) f$ を満たしていることを指す。

この記事は齊藤毅先生のフェルマー予想を参照していますが、上で定めた「準素形式」とはこの本の中だけの呼び方であり、通常は「正規化された同時固有カスプ形式」と呼ばれるものです。