一般の極座標と接する正弦波螺旋の作る円、おまけ（前半）付き！
はじめに
（今回は自分が過去に書いた記事の延長となる内容にはなりますが, 特に前回の内容は使わず, また恥ずかしいので, 興味のある方のみ探してもらえたらと思います. ）
今回は一般の極と始線に関する考察と, それを用いた正弦波曲線とよばれる曲線の性質について紹介しようと思います.
期間が空いたり様々な理由が重なって雑な部分が多めだと思います.
準備
三角関数と円周率を定義するところまでやります.
知ってるよーって方は読み飛ばしてください.
この章は基礎のうちやりたいことだけをやる章です.
興味がなければ読み飛ばすことをお勧めします.
というか, 多分自分が無視してやります.
$z\in\mathbb{C}$に対し, $\displaystyle\exp z := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$ とする.
ratio testから, $\exp$は$\mathbb{C}$全体で収束し,
項別微分ができる.
つまり$\displaystyle\exp' z=\sum_{k=0}^\infty \frac{nz^{n-1}}{n!}=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^n}{n!}=\exp z$となる.
また, 次が成り立つ.
$z,w\in\mathbb{C}$に対し,
$\exp (z) \cdot\exp(w)=\exp(zw)$
$$\left|\left(\sum_{j=0}^n \frac{z^j}{j!}\right)\left(\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}\right)-\sum_{l=0}^n\frac{z^l}{l!}\right|$$
$$=\left|\sum_{l=0}^n\sum_{m=0}^{l}\frac{z^l}{m!(l-m)!}+\sum_{l=n+1}^{2n}\sum_{m=l-n}^{n}\frac{z^l}{m!(l-m)!}-\sum_{l=0}^n\frac{z^l}{l!}\right|$$
$$\displaystyle=\left|\sum_{l=n+1}^{2n}\sum_{m=l-n}^{n}\frac{z^l}{m!(l-m)!}\right|$$
$$\displaystyle\leq\sum_{l=1}^{n}\sum_{m=l}^{n}\frac{|z|^{l+n}}{m!(l+n-m)!}\leq \sum_{l=1}^{n}\frac{|z|^{l+n}}{(l+n)!}$$
$$\displaystyle=\sum_{l=0}^{2n}\frac{|z|^{l}}{l!}-\sum_{l=0}^{n}\frac{|z|^{l}}{l!}\to0 \quad (n\to \infty)$$
よって,
$\exp (z) \cdot\exp(w)=\exp(zw)$
特に$x\in\mathbb{R}_{> 0}$において,$\exp x\geq 1>0$であり,
$\exp(-x)=\exp(-x)\exp (x)/\exp(x)=1/\exp(x)$から, $0<\exp(x)<1$. $\exp0=1$となる. $\square$
以下$i$は虚数単位とする. $z\in \mathbb{C}$について
$$\exp(iz)=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{2n}\frac{(iz)^k}{k!}=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!}+i\cdot\frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)$$
$$=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}$$
が成り立つ.
$z\in\mathbb{C}$について,
$$\cos z:=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!}$$
$$\sin z:=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}$$
と定める.
明らかに$\cos$は偶関数, $\sin$は奇関数である.
定義から$x\in\mathbb{R}$に対し, $\sin x,\cos x\in\mathbb{R}$であり,
前の等式から$z\in\mathbb{C}$に対し,
$$\cos z=\frac{\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}, \sin z =\frac{\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}$$
が成り立つ.
また, $\cos'z=-\sin z,\ \sin' z=\cos z$である.
$\exp$の指数法則から次の基本的な公式が得られる.
$z,w\in\mathbb{C}$について,
$\cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\sin(z)\sin(w)$
$\sin(z+w)=\sin(z)\cos(w)+\cos(z)\sin(w)$
特に, $\cos^2 z +\sin^2 z =\cos(z-z)=\cos(0)=1$.
(ただし, $\cos^2 z := (\cos z)^2,\ \sin^2 z := (\sin z)^2$)
$\cos$について示す. ($\sin$も同様. )
$\cos(z)\cos(w)-\sin(z)\sin(w)$
$$=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\cdot\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}-\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\cdot\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}$$
$$=\frac{e^{iz}e^{iw}+e^{-iz}e^{iw}+e^{iz}e^{-iw}+e^{-iz}e^{-iw}}{4}+\frac{e^{iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{iw}--e^{iz}e^{-iw}+e^{-iz}e^{-iw}}{4}
$$
$$=\frac{e^{iz}e^{iw}+e^{-iz}e^{-iw}}{2}$$
$$=\frac{e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}}{2}=\cos(z+w)$$
$\square$
次の円周率と実関数としての$\cos,\sin$の挙動は頻繁に用いる.
$\cos(x)=0$となる最小の正の実数が存在する. これの2倍を$\pi$とする.
このとき, $z\in\mathbb{C}$に対し$\cos(z+\frac{\pi}{2})=-\sin z,\ \sin(z+\frac{\pi}{2})=\cos z$が成り立ち,
特に$\cos,\sin$は周期$2\pi$の関数である.
また、次のように増減する.
| $x$ | $0$ | $\to$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\to$ | $\pi$ | $\to$ | $\frac{3}{2}\pi$ | $\to$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos$ | $1$ | $\searrow$ | $0$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $1$ |
| $\sin$ | $0$ | $\nearrow$ | $1$ | $\searrow$ | $0$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $0$ |
まず$\cos$について考えよう.
$x\in[0,2]$を任意にとり固定する.
数列$\left(\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)_n$は$n\geq1$で単調減少である.
($\because \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}\leq \frac{x^{2n}\cdot4}{(2n)!\cdot(2n+1)(2n+2)}<\frac{x^{2n}}{(2n)!}$)
つまり,
$$1-\frac{x^2}{2}\leq\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}\leq1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$$
$x\in[0,1]$なら$\cos x>0$, $\cos 2\leq -\frac{1}{3}<0$であり,
中間値の定理から$[1,2]$上に零点をもつことがわかる.
$[1,2]$上の零点が唯一であると言うために$[1,2]$上で$\cos$が単調減少となることを示す. $\cos'=-\sin$であるから, $[1,2]$上で$\sin$が正であることを示せばいい.
改めて, $x\in[1,2]$を任意にとり固定する.
数列$\left(\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)_n$は$n\geq 0$で単調減少である.
($\because \frac{x^{2n+3}}{(2n+3)!}\leq \frac{x^{2n+1}\cdot4}{(2n+1)!\cdot(2n+2)(2n+3)}<\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$)
つまり,
$$0< x-\frac{x^3}{6}\leq\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$$
よって$[1,2]$上で$\sin$は正である.
したがって, $\cos$は最小の正の零点$\frac{\pi}{2}\in[1,2]$が存在し,
$x\in[0,\frac{\pi}{2})$で$\cos x > 0$
つまり, $\sin$は$[0,\frac{\pi}{2}]$で単調に増加する.
$\cos^2\frac{\pi}{2}+\sin^2\frac{\pi}{2}=1,\ \sin\frac{\pi}{2}>0$から, $\sin\frac{\pi}{2}=1$.
加法定理から, $\cos(z+\frac{\pi}{2})=-\sin z,\ \sin(z+\frac{\pi}{2})=\cos z$
これらと, $[0,\frac{\pi}{2}]$での$\sin$の単調増加性より表の増減を得る. $\square$
ついでに$\mathbb{C}$範囲での零点を調べておこう.
$\cos,\sin$の零点集合はそれぞれ$\pi\mathbb{Z}+\frac{\pi}{2},\ \pi\mathbb{Z}$であり, $\exp$は零点を持たない.
$\exp$を先に考える.
$x,y\in\mathbb{R}$について, $\exp(x+iy)=\exp(x)(\cos(y)+i\sin(y))$である.
$\exp(x)>0$から, $\exp(x+iy)=0\iff\cos(y)=\sin(y)=0$
となるが, 命題3の増減および周期性からこれはあり得ない.
$\sin$について示す. ($\cos$は$\cos z=\sin(z+\frac{\pi}{2})$からわかる.)
$\sin(z)=0\Iff \exp(iz)=\exp(-iz) \Iff \exp(2iz)=1$である.
$x,y\in\mathbb{R}$について,
$\exp(x+yi)=1$とすると, $\exp(x)(\cos(y)+i\sin(y))=1$,
$\exp(x)>0$から$\cos(y)>0,\ \sin(y)=0$が必要だが,
命題3の増減および周期性からこれは$y\in 2\pi\mathbb{Z}$を意味し, このとき,$\cos(y)+i\sin(y)=1$から$\exp(x)=1$, すなわち$x=0$となる.
したがって, $\exp(2iz)=1\Iff 2iz\in 2\pi i\mathbb{Z}\Iff z\in \pi\mathbb{Z}$. $\square$
極座標表示を定義するために次の補題を示そう.
以下の2つは同値:
- $x,y\in\mathbb{R}$が$x^2+y^2=1$を満たす.
- ある$\theta\in\mathbb{R}$が存在して$x=\cos\theta, y=\sin\theta$.
つまり, $\set{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1}=\set{(\cos\theta,\sin\theta)\mid \theta\in\mathbb{R}}$
これを$\mathbb{S}^1$と書く.
特に$a\in\mathbb{R}$に対し,
$\varphi_a:[a,a+2\pi)\to\mathbb{S}^1;\ \theta\mapsto (\cos\theta,\sin\theta)$は全単射である.
$\varphi_a$の全単射性を示せばいい.
・単射性
$\theta_1,\theta_2\in [a,a+2\pi)$について,
$(\cos\theta_1,\sin\theta_1)=(\cos\theta_2,\sin\theta_2)$とする.
このとき,
$\cos(\theta_1-\theta_2)=\cos(\theta_1) \cos(\theta_2)+\sin(\theta_1) \sin(\theta_2)$
$=\cos^2(\theta_1)+\sin^2(\theta_1)=1$
$\sin(\theta_1-\theta_2)=\sin(\theta_1) \cos(\theta_2)-\sin(\theta_1) \cos(\theta_2)=0$
$\theta_1-\theta_2\in(-2\pi,2\pi)$であるから, $\cos,\sin$の増減より, $\theta_1-\theta_2=0$
つまり, $\theta_1=\theta_2$.
・全射性
一旦$\phi_a$を同じ表示で$[a,a+2\pi]$に拡張する.
($\cos,\sin$の周期が$2\pi$だから一般性を失わない.)
$(x,y)\in\mathbb{S}^1$を任意にとる.
$(x_a,y_a):=(x\cos (a)+y\sin (a),x\sin (a)+y\cos (a))$
とおくと, $(x_a,y_a)\in\mathbb{S}^1$である.
$\cos0=1\leq x_a\leq -1=\cos\pi$から,
$\cos\theta_0=x_a$となる$\theta_0\in[0,\pi]$が存在する.
$y_a^2=1-x_a^2=1-\cos^2\theta_0=\sin^2\theta_0$であるから,
$y_a=\sin\theta_0$または$y_a=-\sin\theta_0=\sin(2\pi-\theta_0)$が成り立つ.
$2\pi-\theta_0\in[\pi,2\pi],\ \cos(2\pi-\theta_0)=\cos\theta_0=x_a$
から, $\theta_a\in [0,2\pi]$であって,
$(x_a,y_a)=(\cos\theta_a,\sin\theta_a)$となるものが存在する.
計算すると,
$\cos(\theta_a+a)=x_a\cos(a)-y_a\sin(a)=x$
$\sin(\theta_a+a)=x_a\sin(a)+y_a\cos(a)=y$
$\theta_a+a\in[a,a+2\pi]$が成り立つ.
$\square$
(1次)射影空間
記述のための言葉として射影空間を導入する.
$\mathbb{R}^2\setminus\set{(0,0)}$上の同値類$\sim$を,
$(x_0,x_1)\sim (y_0,y_1):\Iff \exists s\in\mathbb{R}, (sx_0,sx_1)=(y_0,y_1)$
によって定める.
このとき, $\mathbb{R}\mathrm{P}_1:=(\mathbb{R}^2\setminus\set{(0,0)})/{\sim}$とおき,
$(x,y)$を含む同値類を$[x:y]$とかく.
$[x_0:x_1],[y_0:y_1]\in\mathbb{R}\mathrm{P}_1$について,
$[x_0:x_1]=[y_0:y_1]\Iff x_0y_1=x_1y_0$
$\theta,\eta\in\mathbb{R}$について,
$[\cos\theta:\sin\theta]=[\cos\eta:\sin\eta]:\Iff \theta-\eta\in\pi\mathbb{Z}$
極座標と曲線
$r,\theta\in\mathbb{R}$に対し, $\pc{r,\theta}:=(r\cos\theta,r\sin\theta)$
また, $\pc{r,\theta}^{(x_0,y_0)}:=(r\cos\theta+x_0,r\sin\theta+y_0)$とする.
また, 「極方程式$F(r,\theta)=0$(で表される曲線)」は$\set{\pc{r,\theta}\mid F(r,\theta)=0}$を表し,
「$(x_0,y_0)$を極とする極方程式$F(r,\theta)=0$(で表される曲線)」は$\set{\pc{r,\theta}^{(x_0,y_0)}\mid F(r,\theta)=0}$を表す.
ある$\theta_0\in\mathbb{R}$の近傍$U$で定義される$C^\infty$級関数$r:U\to\mathbb{R}_{\geq 0}$について,
$p:U\to\mathbb{R}^2$を$p(t):= \pc{r(t),t}^{(x_0,y_0)}$と定めると, これは$C^\infty$級曲線を定める.
特に, $\forall t\in U,(r(t))^2+(r'(t))^2\neq 0$なら正則な曲線である. (つまり, 停留点をもたない.)
$p(t)=(r(t)\cos t+x_0,r(t)\sin t+y_0)$であるから$C^\infty$級,
$\|p'(\theta_0)\|=\|(r'(\theta_0)\cos \theta_0-r(\theta_0)\sin\theta_0, r'(\theta_0)\sin \theta_0+r(\theta_0)\cos\theta_0)\|$
$=\sqrt{(r(t))^2+(r'(t))^2}$であるから,
$\forall t\in U,(r(t))^2+(r'(t))^2\neq 0$なら正則な曲線である.
以下$p_r(t)$は上記のように定めた正則曲線とする.
($p_r$と書いた場合$r$が$C^\infty$級で$(r(t))^2+(r'(t))^2$)
点$\pc{r(\theta_0),\theta_0}^{(x_0,y_0)}$における接ベクトルは,
$[r'(\theta_0):r(\theta_0)]=[\cos\alpha:\sin\alpha]$なる$\alpha$について,
$(\cos(\alpha+\theta_0),\sin(\alpha+\theta_0))$と平行.
接線ベクトルは$(r'(\theta_0)\cos \theta_0-r(\theta_0)\sin\theta_0, r'(\theta_0)\sin \theta_0+r(\theta_0)\cos\theta_0)$
$[r'(\theta_0)\cos \theta_0-r(\theta_0)\sin\theta_0: r'(\theta_0)\sin \theta_0+r(\theta_0)\cos\theta_0]$
$=[\cos\alpha\cos \theta_0-\sin\alpha\sin\theta_0: \cos\alpha\sin \theta_0+\sin\alpha\cos\theta_0]$
$=[\cos(\alpha+\theta_0): \sin(\alpha+\theta_0)]$
であることから従う.
正弦波螺旋
極方程式$r^n=\sin(n\theta)$で表される曲線
および, それと相似な図形を正弦波螺旋という.
一般形は, 一般の点$(x_0,y_0)$を極とする極方程式$r^n=A^n\sin(n(\theta-\theta_0))\ (A\in\mathbb{R}_{>0})$
として表される. ここだけの用語だが$(x_0,y_0)$を中心,$A$を半径,$\theta_0$を向き, $n$をパラメーターと呼ぶ.
パラメーターは整数とは限らない
また, これは$\sin(nt)>0$なる$t$で定義される関数$r(t)=A\sqrt[n]{\sin(nt)}$で極以外を表すことができる.
以下, $r$にあたる関数の変数は省略して議論する.
2つの関数$p_r, p_R$はそれぞれ(異なる)中心$(a,b),(c,d)$, 半径$A,B$, 向き$\tau,\eta$なる正弦波曲線とする.
中心, 向きは固定する(半径$A,B$は固定しない)
このとき, 半径$A,B$を動かしたときの接点の軌跡は,
2中心を通る, 有限個の円と直線から, 2中心を除いたものである.
とある半径$A,B$及び点$t_0,t_1$が存在して,
$p_r,p_R$が$\pc{r(t_0),t_0}^{(a,b)}=\pc{R(t_1),t_1}^{(c,d)}\ (r(t_0),R(t_1)\neq 0)$で接するとする.
$r^n=A^n \sin(n(t-\tau))$から,
$nr^{n-1}r'=nA^n\cos(n(t-\tau))$
$r^{n-1}r'=A^n\cos(n(t-\tau))$
よって$r\neq 0$とすると$[r',r]=[\cos(n(t-\tau)),\sin(n(t-\tau))]$
つまり, 接ベクトルは$(\cos((n+1)t_0-n\tau),\sin((n+1)t_0-n\tau))$と平行.
同様にして$(\cos((n+1)t_1-n\eta),\sin((n+1)t_1-n\eta))$とも平行である.
したがって, $(n+1)(t_0-t_1)-n(\tau-\eta)=m\pi\ (m\in\mathbb{Z})$
$\therefore t_0-t_1=\frac{n}{n+1}(\tau-\eta)+\frac{m}{n+1}\pi\ (m\in\mathbb{Z})$と表せる.
極座標表示の性質から$m$は$\mathrm{mod}\ 2(n+1)$の違いによらず, 同じ接点を与える.
$m$を固定し$t_0$を動かしたときの軌道を考える.
$\pc{r(t_0),t_0}^{(a,b)}=\pc{R(t_1),t_1}^{(c,d)}$から,
$$
\begin{cases}
r(t_0)\cos t_0-R(t_1)\cos t_1 = a-c \\
r(t_0)\sin t_0-R(t_1)\sin t_1 = b-d
\end{cases}
$$
ところで,
$$
\begin{vmatrix}
\cos(t_0) & -\cos(t_1) \\
\sin(t_0) & -\sin(t_1)
\end{vmatrix}
=-\cos(t_0)\sin(t_1)+\sin(t_0)\cos(t_1)$$
$$=\sin(t_0-t_1)$$
これが$0$のとき,
すなわち, $\frac{n}{n+1}(\tau-\eta)+\frac{m}{n+1}\pi\in\pi\mathbb{Z}$のとき,
$\cos t_0=\pm \cos t_1,\ \sin t_0=\pm\sin t_1$（複合同順）となる.
このとき, $r(t_0)\mp R(t_1)\neq 0$である.
$[a-c:b-d]=[(r(t_0)\mp R(t_1))\cos t_0:(r(t_0)\mp R(t_1))\sin t_0]$
$=[\cos t_0:\sin t_0]$となる.
よって接点は$(a,b),(c,d)$を通る直線上の点であり, 仮定から$(a,b), (c,d)$以外の点である.
・$\sin(t_0-t_1)\neq 0$とする.
$(a-c:b-d)=C(\cos\mu,\sin\mu)$ $(C>0)$とおく.
$$
\begin{pmatrix}
\cos t_0 & \cos t_1 \\
\sin t_0 & \sin t_1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
r(t_0) \\
R(t_1)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\mu \\
\sin\mu
\end{pmatrix}
$$
から,
$$r(t_0)=\frac{-C\sin(\mu-t_1)}{\sin(t_0-t_1)}$$
$$R(t_0)=\frac{-C\sin(t_0-\mu)}{\sin(t_0-t_1)}$$
$t_0-t_1$は定数であるからこれらは円を表し, 特に$C$は2中心の距離だから2中心を通る円となる.
ただし, 仮定から2中心そのものは通らない.
また, 逆にたどれば求めたかった結果を得る.
ある点を中心にして拡大とした曲線族であって, それと相似な曲線族との接点全体が有限個の点を除いた, 有限個の円と直線になるものは正弦波螺旋になる.
読者への演習問題とする(丸投げ)
いかがでしt
aでしょうか？
この記事, 実は作りかけの記事をとりあえず形にして投稿することにしたものなので後半が雑に見えるかもしれません.
気が向いたら追記するかもしれません.
ここまで読んでいただきありがとうございました!
