スライス圏について

定義と忘却関手

圏 $C$ の対象 $a \in C$ 上のスライス圏 $C / a$ とは，次のようなデータを持つ圏のことである:
[対象] はコドメインが $a$ であるような $C$ の射 $f : x \to a$ である．
[射] $α : f \to g$ は $f, g$ のドメイン $x, y$ の間の射 $α : x \to y$ であって， $f = g \circ α$ をみたすものである．
$x α f y g a$
[射の合成] は $C$ における射の合成である．

この記事では，スライス圏のベースとなる対象を $a, b, . . .$ で，スライス圏の対象を $f : x \to a, g : y \to b, . . .$ で，スライス圏の射を $α, β, . . .$ で，ベースの間の( $C$ の)射を $φ : a \to b, . . .$ で(なるべく)表す．

$C$ が終対象 $1$ を持つとき， $1$ 上のスライス圏 $C / 1$ は $C$ と圏同型である．

$a \in C$ に対し，標準的な忘却関手 $U = U_{a} : C / a \to C$ が次のように定まる:
[on objects] $(f : x \to a) \in C / a$ に対し， $U f = x$ である．
[on arrows] $C / a$ の射 $α : f \to g$ に対し， $U α$ は $α$ が表す $C$ の射 $U f \to U g$ である．

$x \in C$ について， $U$ から $x$ への普遍射 $⟨ G x, ε_{x} ⟩$ が存在する条件を考える．それは， $G x \in C / a$ , $ε_{x} : U G x \to x$ であって，次の普遍性をみたす; 任意の $f \in C / a$ と任意の $C$ の射 $h : U f \to x$ に対し， $C / a$ の射 $α : f \to G x$ が一意に存在して，
$\begin{matrix} f α G x \end{matrix} \begin{matrix} U f U α h U G x ε_{x} x \end{matrix}$
を可換にする． $f \in C / a$ と $C$ の射 $h : U f \to x$ を与えることは， $C$ のスパン $a \overset{f}{\leftarrow} U f \overset{h}{\to} x$ を与えることを意味する．また $C / a$ の射 $α : f \to G x$ とは，下図の左の三角形を可換にする $C$ の射のとこである．
$U f U α f h U G x G x ε_{x} a x$
従って上述の普遍性はまさに積の普遍性である．よって随伴の一般論から次定理の前半部分を得る．

$a \in C$ について，次は同値である．
(イ) 忘却関手 $U : C / a \to C$ の右随伴が存在する．
(ロ) 任意の $x \in C$ と $a$ との積が存在する．
さらにこれらの同値な条件をみたすとき， $U$ は厳密余モナディックである．

余モナド $T = U G = a \times \mathchar ‘ : C \to C$ のアイレンベルグ・ムーア圏 $C_{T}$ は次のようなデータを持つ圏である．
[対象] $⟨ x, f ⟩$ は $x \in C$ と射 $f : x \to a \times x$ であって， ${id}_{x} = (x \overset{f}{\to} x \times a \to x)$ をみたすものの組である．積への射は成分ごとに決まるので，これは射 $f_{a} : x \to a$ を与えることと等価である．またこのとき $f = (\binom{{id}_{x}}{f_{a}})$ (ペアリング)である．
[射] $⟨ x, f ⟩ \to ⟨ y, g ⟩$ は， $C$ の射 $φ : x \to y$ であって，下図を可換にするものである．
$x φ f y g a \times x a \times φ a \times y$
これは $f_{a} = g_{a} \circ φ$ と同値である．
比較関手 $K_{T} : C / a \to C_{T}$ は $f \mapsto ⟨ U f, (\binom{id}{f}) ⟩$ で与えられ，明らかに圏同型である．

定理1の同値な条件をみたすとき， $a$ は積許容であるという(この記事だけの用語です)．

$a \in C$ が積許容であるとき，忘却関手 $U$ は余極限を保存・創出する．

$U$ は左随伴であるから余極限を保つ．また余モナディック関手の一般論から $U$ は余極限を創出する．

とくに， $a$ が積許容であるとき， $C / a$ の射 $α : f \to g$ について， $α$ が $C / a$ においてエピであることと，これを表す $C$ の射 $U α : U f \to U g$ が $C$ においてエピであることは同値である．

依存和と基底変換

$C$ の射 $φ : a \to b$ に対し，後からの合成によりスライス圏の間の関手
$\begin{array}{r} \sum_{φ} := φ \circ \mathchar ‘ : C / a \to C / b \end{array}$
が定まる．これを $φ$ に沿った依存和(dependent sum)という．

$C$ が終対象 $1$ を持つとき，同型 $C / 1 ≅ C$ のもと，唯一の射 $a \to 1$ に沿った依存和は忘却関手 $U$ に一致する．

前節と同様の考察により， $\sum_{φ}$ から $(g : y \to b) \in C / b$ への普遍射 $⟨ φ^{*} [g], ε_{g} ⟩$ とは，引き戻し
$a \times_{b} y ε_{g} φ^{*} [g] y g a φ b$
のことであるとわかる．よって次の定理を得る．

$C$ の射 $φ : a \to b$ について，次は同値である:
(イ) $φ$ に沿った依存和 $\sum_{φ} : C / a \to C / b$ は右随伴を持つ．
(ロ) $C$ において， $φ$ に沿った任意の射の引き戻しを持つ．

定理2の同値な条件をみたすとき， $\sum_{φ}$ の右随伴を
$\begin{array}{r} φ^{*} : C / b \to C / a \end{array}$
で表し，基底変換(関手)(base change functor)という．

$a, b \in C$ が積許容であり， $φ : a \to b$ に沿った任意の射の引き戻しが存在するとする．このとき以下は同値である:
(イ) 基底変換 $φ^{*}$ は忠実である．
(ロ) $φ$ のすべての引き戻しはエピである．
(ハ) $φ^{*}$ はエピを反映する．

系1(の下で述べたこと)により， $C / a, C / b$ におけるエピと $C$ におけるエピは同値であるから，以下ではこれらを区別しない．
[(イ) $⟺$ (ロ)] 随伴の一般論により， $φ^{*}$ が忠実であることと，余単位の各成分 $ε_{g}$ がエピであることとは同値である．
[(ロ) $⟹$ (ハ)] 任意の $(f : x \to b), (g : y \to b) \in C / b$ および $α \in C / b (f, g)$ をとる．引き戻し
$a \times_{b} x ε_{f} φ^{*} [α] φ^{*} [f] x α f a \times_{b} y ε_{g} φ^{*} [g] y g a φ b$
において， $ε_{g}$ がエピであるから， $φ^{*} [α]$ がエピであれば $α$ もエピである．
[(ハ) $⟹$ (ロ)] $(g : y \to b) \in C / b$ に対し， $ε_{g}$ の核対を考える．
$Eq (ε_{g}) φ^{*} [ε_{g}] a \times_{b} y ε_{g} a \times_{b} y ε_{g} φ^{*} [g] y g a φ b$
一般に核対は分裂エピであるから， $φ^{*} [ε_{g}]$ はエピであり，このとき仮定(ハ)により $ε_{g}$ はエピである．

$a φ id b id a φ b$
が引き戻しであるから， $φ^{*}$ が忠実であれば，上命題(ロ)により $φ$ 自身もエピである．

投稿日：11日前

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