スライス圏について
定義と忘却関手
圏$\catC$の対象$a \in \catC$上のスライス圏$C/a$とは，次のようなデータを持つ圏のことである:
[対象] はコドメインが$a$であるような$\catC$の射$f \colon x \to a$である．
[射] $\alpha \colon f \to g$は$f, g$のドメイン$x, y$の間の射$\alpha \colon x \to y$であって，$f = g \circ \alpha$をみたすものである．
\begin{xy}\xymatrix@C=12pt{
x \ar[rr]^\alpha \ar[rd]_f && y \ar[ld]^g\\
&a&
}\end{xy}
[射の合成] は$\catC$における射の合成である．
この記事では，スライス圏のベースとなる対象を$a,b,...$で，スライス圏の対象を$f \colon x \to a, g \colon y \to b,...$で，スライス圏の射を$\alpha,\beta,...$で，ベースの間の($\catC$の)射を$\varphi \colon a \to b,...$で(なるべく)表す．
$\catC$が終対象$1$を持つとき，$1$上のスライス圏$\catC/1$は$\catC$と圏同型である．
$a \in \catC$に対し，標準的な忘却関手$U = U_a \colon \catC/a \to \catC$が次のように定まる:
[on objects] $(f \colon x \to a) \in \catC/a$に対し，$Uf = x$である．
[on arrows] $\catC/a$の射$\alpha \colon f \to g$に対し，$U\alpha$は$\alpha$が表す$\catC$の射$Uf \to Ug$である．
$x \in \catC$について，$U$から$x$への普遍射$\langle Gx, \varepsilon_x\rangle$が存在する条件を考える．それは，$Gx \in \catC/a$, $\varepsilon_x \colon UGx \to x$であって，次の普遍性をみたす; 任意の$f \in \catC/a$と任意の$\catC$の射$h \colon Uf \to x$に対し，$\catC/a$の射$\alpha \colon f \to Gx$が一意に存在して，
\begin{xy}
\begin{gathered}\xymatrix{
f \ar@{.>}[d]_\alpha\\
Gx
}\end{gathered}\quad
\begin{gathered}\xymatrix@C=42pt{
Uf \ar@{.>}[d]_{U\alpha} \ar[rd]^h\\
UGx \ar[r]_{\varepsilon_x}& x
}\end{gathered}
\end{xy}
を可換にする．$f \in \catC/a$と$\catC$の射$h \colon Uf \to x$を与えることは，$\catC$のスパン$a \xleftarrow{f} Uf \xrightarrow{h} x$を与えることを意味する．また$\catC/a$の射$\alpha \colon f \to Gx$とは，下図の左の三角形を可換にする$\catC$の射のとこである．
\begin{xy}\xymatrix@R=12pt{
&Uf \ar[dd]^{U\alpha} \ar@/_/[lddd]_f \ar@/^/[rddd]^h&\\\\
&UGx \ar[ld]^{Gx} \ar[rd]_{\varepsilon_x}&\\
a &&x
}\end{xy}
従って上述の普遍性はまさに積の普遍性である．よって随伴の一般論から次定理の前半部分を得る．
$a \in \catC$について，次は同値である．
(イ) 忘却関手$U \colon \catC/a \to \catC$の右随伴が存在する．
(ロ) 任意の$x \in \catC$と$a$との積が存在する．
さらにこれらの同値な条件をみたすとき，$U$は厳密余モナディックである．
余モナド$T = UG = a \times \mathchar` \colon \catC \to \catC$のアイレンベルグ・ムーア圏$\catC_T$は次のようなデータを持つ圏である．
[対象] $\langle x, f \rangle$は$x \in \catC$と射$f \colon x \to a \times x$であって，$\id_x = (x \xrightarrow{f} x \times a \to x)$をみたすものの組である．積への射は成分ごとに決まるので，これは射$f_a \colon x \to a$を与えることと等価である．またこのとき$f = \binom{\id_x}{f_a}$(ペアリング)である．
[射] $\langle x, f \rangle \to \langle y, g \rangle$は，$\catC$の射$\varphi \colon x \to y$であって，下図を可換にするものである．
\begin{xy}\xymatrix{
x \ar[r]^\varphi \ar[d]_f &y \ar[d]^g\\
a \times x \ar[r]_{a \times \varphi} &a \times y
}\end{xy}
これは$f_a = g_a \circ \varphi$と同値である．
比較関手$\mathsf{K}_T \colon \catC/a \to \catC_T$は$f \mapsto \langle Uf, \binom{\id}{f} \rangle$で与えられ，明らかに圏同型である．
定理1の同値な条件をみたすとき，$a$は積許容であるという(この記事だけの用語です)．
$a \in \catC$が積許容であるとき，忘却関手$U$は余極限を保存・創出する．
$U$は左随伴であるから余極限を保つ．また余モナディック関手の一般論から$U$は余極限を創出する．
とくに，$a$が積許容であるとき，$\catC/a$の射$\alpha \colon f \to g$について，$\alpha$が$\catC/a$においてエピであることと，これを表す$\catC$の射$U\alpha \colon Uf \to Ug$が$\catC$においてエピであることは同値である．
依存和と基底変換
$\catC$の射$\varphi \colon a \to b$に対し，後からの合成によりスライス圏の間の関手
\begin{align}
\sum_\varphi := \varphi \circ \mathchar` \colon \catC/a \to \catC/b
\end{align}
が定まる．これを$\varphi$に沿った依存和(dependent sum)という．
$\catC$が終対象$1$を持つとき，同型$\catC/1 \cong \catC$のもと，唯一の射$a \to 1$に沿った依存和は忘却関手$U$に一致する．
前節と同様の考察により，$\sum_\varphi$から$(g \colon y \to b) \in \catC/b$への普遍射$\langle \varphi^\ast[g], \varepsilon_g \rangle$とは，引き戻し
\begin{xy}\xymatrix{
a \times_b y \ar[r]^{\varepsilon_g} \ar[d]_{\varphi^\ast[g]} &y \ar[d]^g\\
a \ar[r]_\varphi &b
}\end{xy}
のことであるとわかる．よって次の定理を得る．
$\catC$の射$\varphi \colon a \to b$について，次は同値である:
(イ) $\varphi$に沿った依存和$\sum_\varphi \colon \catC/a \to \catC/b$は右随伴を持つ．
(ロ) $\catC$において，$\varphi$に沿った任意の射の引き戻しを持つ．
定理2の同値な条件をみたすとき，$\sum_\varphi$の右随伴を
\begin{align}
\varphi^\ast \colon \catC/b \to \catC/a
\end{align}
で表し，基底変換(関手)(base change functor)という．
$a,b \in \catC$が積許容であり，$\varphi \colon a \to b$に沿った任意の射の引き戻しが存在するとする．このとき以下は同値である:
(イ) 基底変換$\varphi^\ast$は忠実である．
(ロ) $\varphi$のすべての引き戻しはエピである．
(ハ) $\varphi^\ast$はエピを反映する．
系1(の下で述べたこと)により，$\catC/a, \catC/b$におけるエピと$\catC$におけるエピは同値であるから，以下ではこれらを区別しない．
[(イ)$\iff$(ロ)] 随伴の一般論により，$\varphi^\ast$が忠実であることと，余単位の各成分$\varepsilon_g$がエピであることとは同値である．
[(ロ)$\implies$(ハ)] 任意の$(f \colon x \to b), (g \colon y \to b) \in \catC/b$および$\alpha \in \catC/b(f, g)$をとる．引き戻し
\begin{xy}\xymatrix{
a \times_b x \ar[r]^{\varepsilon_f} \ar[d]_{\varphi^\ast[\alpha]} \ar `l[d] `[dd]_{\varphi^\ast[f]} [dd] &x \ar[d]^\alpha \ar `r[d] `[dd]^{f} [dd]\\
a \times_b y \ar[r]^{\varepsilon_g} \ar[d]_{\varphi^\ast[g]} &y \ar[d]^g\\
a \ar[r]_\varphi &b
}\end{xy}
において，$\varepsilon_g$がエピであるから，$\varphi^\ast[\alpha]$がエピであれば$\alpha$もエピである．
[(ハ)$\implies$(ロ)] $(g \colon y \to b) \in \catC/b$に対し，$\varepsilon_g$の核対を考える．
\begin{xy}\xymatrix{
\mathsf{Eq}(\varepsilon_g) \ar[r] \ar[d]_{\varphi^\ast[\varepsilon_g]} &a \times_b y \ar[d]^{\varepsilon_g}\\
a \times_b y \ar[r]^{\varepsilon_g} \ar[d]_{\varphi^\ast[g]} &y \ar[d]^g\\
a \ar[r]_\varphi &b
}\end{xy}
一般に核対は分裂エピであるから，$\varphi^\ast[\varepsilon_g]$はエピであり，このとき仮定(ハ)により$\varepsilon_g$はエピである．
\begin{xy}\xymatrix{
a \ar[r]^\varphi \ar[d]_\id &b \ar[d]^\id\\
a \ar[r]_\varphi &b
}\end{xy}
が引き戻しであるから，$\varphi^\ast$が忠実であれば，上命題(ロ)により$\varphi$自身もエピである．
