級数の変形（内積による変形)

$$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{C}-\{0\}:\mathrm{\exists }c\in \mathbb{C}s.t.a=bc$$

下記の式が成り立つとする。
$$\mathrm{\forall }\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{C}(|\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n|<+\mathrm{\infty }),\mathrm{\forall }\{b_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{C}-\{0\}:\mathrm{\exists }\{c_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}s.t.\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{c}_k$$
また下記の様に記号を設定する。
$$\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\\ ⋮\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1^{\ast }\\ b_2^{\ast }\\ ⋮\\ b_n^{\ast }\\ ⋮\end{array}\right),\mathbf{c}=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\\ ⋮\end{array}\right)$$
すると元の級数は次のように書ける。
$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k={\mathbf{b}}^{†}\mathbf{c}$$
さらに、任意のユニタリー変換$\mathbf{U}$を用いて以下の様な無限次元ベクトルを考える。
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\mathbf{b}}^{{}^{\prime }}=\mathbf{U}\mathbf{b}\\ {\mathbf{c}}^{{}^{\prime }}=\mathbf{U}\mathbf{c}\end{array}\end{array}$$
これらを用いると最終的に元の級数は下記の様に変換される。
$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=({\mathbf{b}}^{{}^{\prime }}{)}^{†}{\mathbf{c}}^{{}^{\prime }}$$
これを以下内積を用いた級数の変形と呼ぶことにする。