級数の変形（内積による変形)

\begin{equation} \forall a,b\in\mathbb{C}-\{0\}:\exists c\in\mathbb{C}s.t.a=bc \end{equation}

下記の式が成り立つとする。
\begin{equation} \forall \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset \mathbb{C}\quad (|\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}|\lt +\infty),\forall \{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset \mathbb{C}-\{0\}:\exists \{c_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}s.t.\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}c_{k} \end{equation}
また下記の様に記号を設定する。
\begin{equation} \vectorbold{a}= \begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots \\ a_{n} \\ \vdots \end{pmatrix}, \vectorbold{b}= \begin{pmatrix} b_{1}^{\ast}\\ b_{2}^{\ast}\\ \vdots \\ b_{n}^{\ast} \\ \vdots \end{pmatrix}, \vectorbold{c}= \begin{pmatrix} c_{1}\\ c_{2}\\ \vdots \\ c_{n} \\ \vdots \end{pmatrix} \end{equation}
すると元の級数は次のように書ける。
\begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\vectorbold{b}^{\dagger}\vectorbold{c} \end{equation}
さらに、任意のユニタリー変換$\vectorbold{U}$を用いて以下の様な無限次元ベクトルを考える。
\begin{eqnarray} \left \{ \begin{array}{l} \vectorbold{b}^{'}=\vectorbold{U}\vectorbold{b}\\ \vectorbold{c}^{'}=\vectorbold{U}\vectorbold{c} \end{array} \right. \end{eqnarray}
これらを用いると最終的に元の級数は下記の様に変換される。
\begin{equation} \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=(\vectorbold{b}^{'})^{\dagger}\vectorbold{c^{'}} \end{equation}
これを以下内積を用いた級数の変形と呼ぶことにする。