PIDならばUFDを遠回りして証明してみよう！！！
PIDならばUFDを遠回りして証明してみよう！！！
この記事ではPIDならばUFDをアティマクの定理を使って遠回りに証明していきます。仮定はアティマクの準素分解の章あたりと、軽い環の次元あたりです。
準素分解ってなんだ？
最初に準素イデアルを定義します。
xy$\in$$\mathfrak{q}$$\land$x$\notin$$\mathfrak{q}$$\Longrightarrow$あるn$\in$$\mathbb{N}$が存在して$y^{n}$$\in$$\mathfrak{q}$
この性質を満たすイデアル$\mathfrak{q}$を準素イデアルと言います。
当然、素イデアル$\mathfrak{p}$は準素イデアルとなる。
また、AをPID、pを素元とすると,素元のベキで生成されるイデアル、（$p^{n}$)も準素イデアルになる。（これの証明は少しめんどくさいので略）この事実は今回の大切なところである。
r($\mathfrak{q}$)を準素イデアル$\mathfrak{q}$の根基とする。そのとき、r($\mathfrak{q}$)は素イデアルになる。
xy$\in$r($\mathfrak{q}$),y$\notin$r($\mathfrak{q}$)とする。このときあるn$\in$$\mathbb{N}$が存在して,
$x^{n}$$y^{n}$$\in$$\mathfrak{q}$となる。y$\notin$r($\mathfrak{q}$)より$y^{n}$$\notin$$\mathfrak{q}$，$\mathfrak{q}$が準素イデアルであることから、あるｍ$\in$$\mathbb{N}$が存在して$x^{mn}$$\in$$\mathfrak{q}$、これよりx$\in$$\mathfrak{q}$
よって素イデアル。
根基をとったら素イデアルになるイデアルは、必ずしも準素イデアルになるわけではない。
$\mathfrak{a}$を環$A$のイデアルとする。$\mathfrak{a}$を有限個の準素イデアル$\{\, \mathfrak{q}_1, \mathfrak{q}_2, \dots, \mathfrak{q}_n \,\}$を用いて $\mathfrak{a}$$=$$\bigcap_{i=1}^n \mathfrak{q}_i$として表したものを$\mathfrak{a}$の準素分解という。（一般に勝手なイデアル$\mathfrak{a}$に対して準素分解が存在するとは限らない。）$\mathfrak{a}$が準素分解を持つとき、$\mathfrak{a}$を準素分解可能という。
加えて,$\mathfrak{a}$準素分解可能の時、$\{\, \mathfrak{q}_1, \mathfrak{q}_2, \dots, \mathfrak{q}_n \,\}$から
(1)r($\mathfrak{q}_i$)$\neq$r($\mathfrak{q}_j$) (i$\neq$j) 1$\leq$i,j$\leq$n
(2)$\bigcap_{\substack{i=1 \\ i \ne j}}^n \mathfrak{q}_i\not \subset$$\mathfrak{q}_j$
この二つがなり立つように余分な準素イデアルを取り除くことができ、取り除いたものも$\mathfrak{a}$の準素分解となり、その準素分解のことを最短準素分解という。（赤文字のところは認めることとする）また、$\mathfrak{a}$の最短準素分解を$\mathfrak{a}$$=$$\bigcap_{i=1}^n \mathfrak{q}_i$とするとき、$\{\, \mathfrak{q}_1, \mathfrak{q}_2, \dots, \mathfrak{q}_n \,\}$を$\mathfrak{a}$の準素成分という。加えて、各準素成分の根基を取った素イデアルの集合$\{\, r(\mathfrak{q}_1), r(\mathfrak{q}_2), \dots, r(\mathfrak{q}_n) \,\}$を$\mathfrak{a}$に属する素イデアル集合と呼ぶ。
以下では特に断りがない場合、準素分解とは最短準素分解のことであるとする。
例
$\mathbb{Z}$を考えると
($12$)=($4$)$\cap$($3$)
$12 \mathbb{Z} $に属する素イデアル集合は{$2 \mathbb{Z} $,$3 \mathbb{Z} $}
$k$[$x$,$y$]（$k$は体）
$\mathfrak{a}$$=$($x^{2}$,$x
y$)$=(x)$$\cap$$(x,y)^{2}$
$\mathfrak{a}$に属する素イデアル集合は{($x$),($x,y$)}
一般に準素分解に出てくる準素イデアルには一意性がない。
例えば($x^{2}$,$xy$)=($x$)$\cap$$(x,y)^{2}$=($x$)$\cap$($x^{2},y$)
がある。しかし、一意性がある部分もある。
$\mathfrak{a}$を準素分解可能なイデアルとする。$\mathfrak{a}$に属する素イデアル集合は、準素分解の仕方に依存せず、どんな準素分解をしても一致する。
これによって、$\mathfrak{a}$に属する素イデアル集合を考察するときは一つの準素分解を与えればよいことになる。
$\mathfrak{a}$を準素分解可能なイデアルとする。$\mathfrak{a}$に属する素イデアル集合の極小元を$\mathfrak{a}$に属する極小素イデアル、または孤立素イデアルともいう。極小元ではない素イデアルを非孤立素イデアルという。
この孤立素イデアル、非孤立素イデアルというのは、代数多様体の既約成分、既約成分に埋め込まれている多様体に対応している。詳しくは代数幾何の本かアティマクを見るといい。
$12 \mathbb{Z} $を考える。$\mathfrak{a}$に付随する素イデアル集合を考えると、{$2 \mathbb{Z} $,$3 \mathbb{Z} $}となり、孤立素イデアルは{$2 \mathbb{Z} $,$3 \mathbb{Z} $}となる。
$k$[$x$,$y$]（$k$は体）
$\mathfrak{a}$$=$($x^{2}$,$x
y$)$=(x)$$\cap$$(x,y)^{2}$
$\mathfrak{a}$に属する素イデアル集合は{($x$),($x,y$)}であり、孤立素イデアルは($x$),非孤立素イデアルは($x,y$)となる。
$\mathfrak{a}$を準素分解可能なイデアルとする。$\mathfrak{a}$に属する極小素イデアルに対応する準素イデアル、つまり根基をとったら$\mathfrak{a}$に属する極小素イデアルになるような準素イデアルは、$\mathfrak{a}$に対して一意的に決まる。
$\mathfrak{a}$=($x^{2}$,$xy$)=($x$)$\cap$$(x,y)^{2}$=($x$)$\cap$($x^{2},y$)を考える。$\mathfrak{a}$に属する素イデアル集合は{($x$),($x,y$)}であり、孤立素イデアルは($x$),非孤立素イデアルは($x,y$)となる。孤立素イデアルに対応する準素イデアルは、($x$)であり違う準素分解に対しても同じ準素成分が出ている。
ここで思うのが、$\mathfrak{a}$に属する素イデアル集合の元である素イデアル$\mathfrak{p}$が十分大きい。極端な話、極大イデアルになっていれば一意的な準素成分が出てくることになる。なら、元の環$A$の素イデアルの分布が大まかにわかれば、準素分解に対して何か面白いことができるのではないかと思う。これをもとに以下では、ネーター環を導入する。
環$A$の勝手なイデアルの昇鎖列が有限回で停止する。すなわち、
$I_1 \subseteq I_2 \subseteq I_3 \subseteq \cdots \subseteq I_n = I_{n+1} = \cdots$ (I_{j}はイデアル)
が成り立つことである。同値な命題としてすべてのイデアルが有限生成であるがある。
$\mathbb{Z}$はPIDなのでネーター環である。またもう少し一般に、PIDはネーター環である。
体$k$もネーター環である。
$k$[$x$,$y$]（$k$は体）もネーター環である。
ネーター環の剰余環もイデアルの対応定理よりネーター環である。
また$A$をネーター環とする、その時$A$を係数に持つようなn変数多項式環はネーター環である。（ヒルベルトの基底定理）
このようにネーター環である例はとても多い。それに加えてネーター環における準素分解に対して、素晴らしい定理が成り立つ。
$A$をネーター環とする。その時、$A$の真のイデアル$\mathfrak{a}$は必ず準素分解できる。
これによって、ネーター環では準素分解におけるすべての定理を応用することができる。
環$A$の有限個の素イデアルの狭義増大列$\mathfrak{p}_1 \subsetneq \mathfrak{p}_2 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_n$を素イデアルの鎖といい、この鎖の長さは$n$である。$A$におけるすべての鎖の長さの上限を$\dim$$A$と定義する。これがいわゆるクルル次元である。
$\dim \mathbb{Z} $=$1$である。もっと一般に、$A$をPIDとしたとき、$\dim$A=$1$である。なぜならPIDでは、素イデアルは($0$)以外は極大イデアルであるから。
$k$を体とすると、$\dim$$k$=$0$である。
$\dim$$k[x_1, x_2, x_3, \dots]$=$\infty $となる。（$k$は体)
$A$をネーター環とする。$\dim$$A$は必ずしも有限になるわけではない。永田雅宜が反例を挙げている。
ネーター環とは逆で、任意のイデアルの降鎖列が有限回で停止することである。$I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \cdots$
に対してある$n \in $$\mathbb{N}$が存在して、$I_n = I_{n+1} = \cdots$となることである。
かなり特殊な構造をしているのがわかる。先にアルティン環であることと同値な命題と、アルティン環の性質を述べておく。
- $A$をアルティン環とする。$A$の素イデアルはすべて極大イデアルである。
- アルティン環の素イデアルは有限個。
- $A$がアルティン環$\Longleftrightarrow$$\dim$$A$=$ 0$かつ$A$はネーター環
(1)は初等的なので証明しておく。
$\mathfrak{p}$をアルティン環$A$の素イデアルとする。 $A / \mathfrak{p}$を考える。これは整域でありかつ、イデアルの対応定理よりアルティン環でもある。$x$$\in$$A$かつ$x$$\notin$$\mathfrak{p}$の$A / \mathfrak{p}$での像を$\overline{x}$$\in$$A / \mathfrak{p}$とする。$(\overline{x})^{n+1}$$\subset$$(\overline{x})^{n}$$\subset$$(\overline{x})^{n-1}$・・・$\subset$($\overline{x}$)という降鎖列があり、$A / \mathfrak{p}$がアルティン環であることからある$k$$\in$$\mathbb{N}$で停止し、$(\overline{x})^{k}$=$(\overline{x})^{k+1}$となり、ある$a$$\in$$A / \mathfrak{p}$があって、$\overline{x}^{k}$=$a $$\overline{x}^{k+1}$であるから、$\overline{x}^{k}$(1-$a$$\overline{x}$)=$0$
$A / \mathfrak{p}$は整域なので$x$$\notin$$\mathfrak{p}$から$\overline{x}^{k}$$\neq$$0$よって、1-$a$$\overline{x}$=$0$
よって、$\overline{x}$は単元。これより、$A / \mathfrak{p}$は体。従って、$\mathfrak{p}$は極大イデアルである。
(1)$k$を体とすると、$k$はアルティン環である。
(2)$A$をネーター環とする。$\operatorname{Spec}(A) $を$A$の素イデアルの集合とする。$\operatorname{Spec}(A) $には極小元が存在し、その極小元を極小素イデアルという。極小素イデアルを$\mathfrak{p}$とすると、$A_{\mathfrak{p}}$($\mathfrak{p}$による$A$の局所化)はアルティン環である。(素イデアルの対応定理と定理５の(3)より)
(3)$\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$はアルティン環になる。
もっと一般に、$A$をPIDとし、$I$を$0$でないイデアルとする。そのとき、$A / I$はアルティン環になる。(イデアルの対応定理より)
(3)はのちに使う。
ここからは、ほとんどすべての素イデアルが極大イデアルであるような整域な環を考える。
$A$を$\dim$$A$=$1$となる整域なネーター環とする。この時、勝手なイデアル$\mathfrak{a}$の準素分解に出てくる準素成分は一意的。つまり、準素分解は一意的である。
この条件の時の$A$での素イデアルの分布を考える。$\dim$$A$=$1$であり、$A$は整域であることから、(0)以外の素イデアルは極大イデアルとなってる。これを念頭に証明を行う。
$\mathfrak{a}$をイデアルとする。$\mathfrak{a}$の準素分解を、$\mathfrak{a}$$=$$\bigcap_{i=1}^n \mathfrak{q}_i$ とする。$\mathfrak{a}$に属する素イデアル集合を考える。$\{\, r(\mathfrak{q}_1), r(\mathfrak{q}_2), \dots, r(\mathfrak{q}_n) \,\}$この集合の各$r(\mathfrak{q}_i)$は極大イデアルとなる。つまり、各$r(\mathfrak{q}_i)$は孤立素イデアル。よって、定理$3$の第２一意性定理よりすべての準素成分は$\mathfrak{a}$に対して一意的。よって、準素分解は一意的。
これによって、$\mathbb{Z}$や$k$[$x$]などのPIDは$\dim$$A$=$1$のネーター環な整域なので準素分解が一意的であることがわかる。
ここで使った性質は、ほとんどすべての素イデアルが極大イデアルであることなので、同じような証明によって以下も得られる。
アルティン環の準素分解も一意的である
定理$6$の証明を繰り返せば可能。
定理5,6を用いてPIDならばUFDを証明する。
以下では$A$を体でないとする。
$A$をPIDとする。$A$の無限個の極大イデアルの集合を、$\{ \mathfrak{m}_i \}_{i \in I}$とする。$\bigcap_{i \in I}\mathfrak{m} _i$=($0$)となる。
$0$$\neq$$a \in $$\bigcap_{i \in I}\mathfrak{m} _i$が存在すると仮定する。($a$)=$I$とすると、$A/I$はアルティン環となる。$I$$\subset$$\bigcap_{i \in I}\mathfrak{m} _i$からイデアルの対応定理より$A/I$には無限個の素イデアルがあることになるが、$A/I$はアルティン環であることに矛盾。
これは、PIDにおいて$0$でない非単元$a$が有限個の素元の積で書けることを表してる。なぜなら、($a$)を考えるとそれを含むような極大イデアル($p$)が存在して、($a$)$\subset$($p$)となる。これより、$a$=$bp$となる。$b$が単元なら終わり、$b$が非単元なら同じ操作を繰り返せばよい。この操作が止まらない時、出てくる素元の数が無限個の時は、補題$8$を用いればよく、出てくる素元の数が有限個の時は、出てくる素元の中で無限回出てくる素元が存在し、それを$p$とすると、$\bigcap_{i=1}^\infty (p)_i$=$0$ ($(p)_i$=($p^{i}$))を示せばよい。証明は補題$8$のように$0$でない元$a$が存在すると仮定して、$I$=($a$)を考え、$A/I$はアルティン環であることを用いて矛盾を導く。
PIDならばUFD
$A$をPIDとする。$\dim$$A$=$1$であり、ネーター環であるので、定理$6$が使える。$a$$\in$$A$を、非単元かつ$0$でないとすると、aは有限個の素元の積にかけるので、素元分解が一意的であることを示す。a=$p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}=q_1^{\beta_1} q_2^{\beta_2} \cdots q_k^{\beta_k}$、となってるとする。($a$)は準素分解可能であり、($a$)=$\bigcap_{i=1}^k \mathfrak{q}_i$ $\mathfrak{q}_j$=$(p_j^{\alpha_j}) $と書ける。二個目の素元分解より、($a$)=$\bigcap_{i=1}^k \mathfrak{q`}_i$ $\mathfrak{q`}_j$=$(q_j^{\beta_j}) $とも書ける。(これが準素分解になってることは、各準素イデアルは互いに素であることを使うといける。）しかし定理$6$より準素分解は一意的、それより各準素成分は一致する。よって、素元分解に出てくる素元も一致する。
$\mathbb{Z}$はPIDなので素因数分解は一意的である。
読んでくださりありがとうございました！！！
参考文献
[1]Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G., Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969
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