0

科学大数学院試過去問解答例(2024午後04)

731
0

ここでは科学大数学系の修士課程の院試の2024午後04の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2024午後04

3次元球面S3={(x1,x2,x3,x4)R4|x12+x22+x32+x42=1}上の点pN=(0,0,0,1),pS=(0,0,0,1),q1=(0,0,1,0),q2=(0,12,12,0)を考える。ここでS3の部分集合
X={(x1,x2,x3,x4)S3|x1x2x3=0}
とおき、R4の位相から定まる部分位相をいれる。

  1. X{pN,pS}及びXの整係数ホモロジー群を求めなさい。
  2. X{q1}及びX{q2}2次ホモロジー群は0でないことを示しなさい。
  3. XからXへの同相によるpNの像はpNpSに限られることを示しなさい。
  1. Xの部分集合Yij={(x1,x2,x3,x4)X|xi=xj=0}をとり、Y=i,j{1,2,3}Yi,jとおき、Z=XYとおく。このときYに少し厚みを持たせた図形とZ{pN,pS}は内部がX{pN,pS}の被覆になっているからMayer-Vietoris完全列
    000H1(X{pN,pS},Z)Z24Z18Z0
    が得られる。以上から
    Hi(X{pN,pS})={Z(i=0)Z7(i=1)0(if else)
    である。次にX{pN}及びX{pS}は可縮であるからMayer-Vietoris完全列
    0H2(X,Z)Z70H1(X,Z)ZZ2Z0
    が得られる。以上からHi(X)={Z(i=0)Z7(i=2)0(if else)
    である。
  2. より一般に任意のqX{pN,pS}についてH2(X{q})0であることを示す。まずqYの場合を考える。このときqの近傍UqD2と同相になるようなものをとる。このときMayer-Vietoris完全列
    00H2(X{q},Z)Z7ZH1(X{q},Z)0ZZ2Z0
    が得られる。ここからH2(X{q},Z)0が従う。次にqYの場合を考える。このときqの近傍UqD2とホモトピー同値になり、Uq{q}が二つの単位円の和集合A={(x,y,z)=1|x2+y21=z=0}{(x,y,z)|x=y2+z21=0}とホモトピー同値であるようなものをとる。この整係数ホモロジー群はH1(A,Z)=Z3を満たすから、前半の議論と同様にMayer-Vietoris完全列
    00H2(X{q},Z)Z7Z3H1(X{q},Z)0ZZ2Z0
    が得られる。ここからH2(X{q},Z)0が従う。
  3. 同相f:XXが存在するときH2(X{p},Z)H2(X{f(p)},Z)でなければならない。よってX{pN}X{pS}の可縮性及び(2)よりf(pN)としてあり得るのはpN,pSのみである。
投稿日:2024411
更新日:2024104
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中