q-MZSVのOhno-Zagier型母関数の表示
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で, 補間多重ゼータ値のOhno-Zagier型母関数に関するLi-Qinの結果を示し, その系として, MZSVの場合であるAoki-Kombu-Ohnoの結果を示した. 今回はその$q$類似を示す. $q$-MZSVを
\begin{align}
\zeta^{\star}[k_1,\dots,k_r]:=\sum_{1\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\prod_{i=1}^r\frac{q^{n_i(k_i-1)}}{(1-q^{n_i})^{k_i}}
\end{align}
とすると, それは以下のように表される.
\begin{align} &\sum_{0< k,n,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,n,s)}\zeta^{\star}[\bk]\right)u^{k-n-s}v^{n-s}w^{s-1}\\ &=\sum_{1\leq m}\frac{(q,(1+u)q;q)_{m-1}q^{m}}{\prod_{k=1}^m\left((1-v-q^k)(1-(1+u)q^k)-wq^k\right)} \end{align}
Takeyamaによる証明は$q$差分方程式を用いたものだが, ここでは直接的な級数変形による証明を与えようと思う.
以下の式変形により従う.
\begin{align}
&\sum_{0< k,n,s}\left(\sum_{\bk\in I_0(k,n,s)}\zeta^{\star}[\bk]\right)u^{k-n-s}v^{n-s}w^{s-1}\\
&=\sum_{0\leq s}\sum_{0\leq a_1,\dots,a_{s+1},b_1,\dots,b_{s+1}}\zeta[\{1\}^{a_1},b_1+2,\{1\}^{a_2},\dots,\{1\}^{a_{s+1}},b_{s+1}+2]u^{b_1+\cdots+b_{s+1}}v^{a_1+\cdots+a_{s+1}}w^s\\
&=\sum_{0\leq s}w^s\sum_{1\leq m_1\leq\cdots\leq m_{s}\leq m}\frac 1{\prod_{k=1}^{m_1}\left(1-\frac v{1-q^k}\right)}\frac 1{\prod_{k=m_1}^{m_2}\left(1-\frac v{1-q^k}\right)}\cdots\frac 1{\prod_{k=m_s}^m\left(1-\frac{v}{1-q^k}\right)}\\
&\qquad\cdot\frac{q^{m_1}}{(1-q^{m_1})^2\left(1-\frac{uq^{m_1}}{1-q^{m_1}}\right)}\cdots \frac{q^{m_s}}{(1-q^{m_s})^2\left(1-\frac{uq^{m_s}}{1-q^{m_s}}\right)}\frac{q^{m}}{(1-q^{m})^2\left(1-\frac{uq^{m}}{1-q^{m}}\right)}\\
&=\sum_{0\leq s}w^s\sum_{1\leq m_1\leq\cdots\leq m_{s}\leq m}\left(\prod_{i=1}^s\frac{q^{m_i}}{(1-v-q^{m_i})\left(1-(1+u)q^{m_i}\right)}\right)\frac{q^{m}}{(1-q^{m})\left(1-(1+u)q^{m}\right)\prod_{k=1}^m\left(1-\frac{v}{1-q^k}\right)}\\
&=\sum_{1\leq m}\frac{q^{m}}{(1-q^{m})\left(1-(1+u)q^{m}\right)\prod_{k=1}^m\left(1-\frac{v}{1-q^k}\right)}\frac 1{\prod_{k=1}^m\left(1-\frac{wq^k}{(1-v-q^k)(1-(1+u)q^k)}\right)}\\
&=\sum_{1\leq m}\frac{(q,(1+u)q;q)_{m-1}q^{m}}{\prod_{k=1}^m\left((1-v-q^k)(1-(1+u)q^k)-wq^k\right)}
\end{align}
左辺の分母を因数分解すれば${}_3\phi_2$の$q$超幾何級数で表すこともできるが, 古典的な場合と違って分母の$u,v$の役割が対称的ではないので少し複雑である.
このような級数変形による証明は, 補間$q$多重ゼータ値の場合にはそれほど容易ではないと思われる. 一方, $q$差分方程式による証明は, Li-Wakabayashiの2019年の論文で補間$q$多重ゼータ値に拡張されているようである.
