ポアソン和公式の証明などでよく誤魔化されるやつ

102

これ

$\sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (x - n) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} e^{2 π i n x}$

確かに，右辺において， $x$ が整数だと $\dots + 1 + 1 + 1 + \dots$ で無限大になって， $x$ が整数じゃないといっぱいの符号(ここでは符号の一般化: $e^{2 π i n x}$ の事)達が互いに打ち消しあって $0$ になるなと何となく理解できるが，ガバすぎるので証明を考えてみた．

右辺は $c_{n} = 1$ のフーリエ級数の形をしているし，左辺は実は
$\sum_{n = - \infty}^{\infty} δ ((x + 1) - n) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (x - (n - 1)) = \sum_{m = - \infty}^{\infty} δ (x - m) (m = n - 1)$
で，周期 $1$ の周期関数だから，フーリエ級数展開を使って変形すればいけるべという見通しがつく．

$\begin{aligned} \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (x - n) & = \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{2 π i k x} \int_{1 周期} \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (x - n) e^{- 2 π i k x} d x \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{2 π i k x} (\dots + 0 + 1 + 0 + \dots) \\ (1 周期をどのように取ってもその中に唯１つだけデルタ関数が発散するような x がある) \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{2 π i k x} . \end{aligned}$

これが分かりにくかったら,次のような解釈もできる

$\begin{aligned} \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (x - n) & = \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{2 π i k x} \int_{1 周期 (= [p, p + 1])} \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (x - n) e^{- 2 π i k x} d x \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{2 π i k x} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \int_{p}^{p + 1} δ (x - n) e^{- 2 π i k x} d x \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{2 π i k x} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \int_{p - n}^{p - n + 1} δ (t) e^{- 2 π i k (t + n)} d t (x - n = t) \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{2 π i k x} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \int_{p - n}^{p - n + 1} δ (t) e^{- 2 π i k t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{2 π i k x} \int_{- \infty}^{\infty} δ (t) e^{- 2 π i k t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{2 π i k x} . \end{aligned}$

投稿日：2024年8月10日

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

ドジコジ

5281

東北大学工学研究科出身できるだけ受け売りはせず，自分で思いついた解法や妄想を備忘録がてら書き綴っていこうと思います．

他の人のコメント

コメントはありません。

読み込み中

ドジコジ

ポアソン和公式の証明などでよく誤魔化されるやつ