ポアソン和公式の証明などでよく誤魔化されるやつ

確かに，右辺において，$x$が整数だと$\cdots+1+1+1+\cdots$で無限大になって，$x$が整数じゃないといっぱいの符号(ここでは符号の一般化:$e^{2\pi inx}$の事)達が互いに打ち消しあって$0$になるなと何となく理解できるが，ガバすぎるので証明を考えてみた．

右辺は$c_n=1$のフーリエ級数の形をしているし，左辺は実は
$$ \sum_{n = -\infty}^\infty \delta((x+1)-n) =\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(x-(n-1)) =\sum_{m = -\infty}^\infty \delta(x-m) \ (m=n-1) $$
で，周期$1$の周期関数だから，フーリエ級数展開を使って変形すればいけるべという見通しがつく．

$$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(x-n) & = \sum_{k = -\infty}^\infty e^{2\pi ikx}\int_{1\mathrm{周期}}\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(x-n) e^{-2\pi ikx}\d xx \\ & = \sum_{k = -\infty}^\infty e^{2\pi ikx}(\cdots + 0 + 1 + 0 + \cdots)\\ & \ \ \ \ \ (\mathrm{1周期をどのように取ってもその中に唯１つだけデルタ関数が発散するような}x\mathrm{がある}) \\ & = \sum_{k = -\infty}^\infty e^{2\pi ikx}. \end{align}$$

これが分かりにくかったら,次のような解釈もできる

$$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(x-n) & = \sum_{k = -\infty}^\infty e^{2\pi ikx}\int_{1\mathrm{周期}(=[p,p+1])}\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(x-n) e^{-2\pi ikx}\d xx \\ & = \sum_{k = -\infty}^\infty e^{2\pi ikx}\sum_{n = -\infty}^\infty \int_p^{p+1} \delta(x-n)e^{-2\pi ikx}\d xx \\ & = \sum_{k = -\infty}^\infty e^{2\pi ikx}\sum_{n = -\infty}^\infty\int_{p-n}^{p-n+1} \delta(t) e^{-2\pi ik(t+n)}\d xt \ \ (x-n=t) \\ & = \sum_{k = -\infty}^\infty e^{2\pi ikx}\sum_{n = -\infty}^\infty\int_{p-n}^{p-n+1} \delta(t) e^{-2\pi ikt}\d xt \\ & = \sum_{k = -\infty}^\infty e^{2\pi ikx}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-2\pi ikt}\d xt \\ & = \sum_{k = -\infty}^\infty e^{2\pi ikx}.\\ \end{align}$$