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東大数理院試過去問解答例(2019B03)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2019B03の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

わたしはGalois理論は好きなのですが、実際に取り扱うのは非常に苦手で、例えばGalois拡大でないものをGalois拡大として取り扱ったり、Galois拡大のGalois拡大はGalois拡大だと平気で口走ったり、そもそも群論ができていなかったりとだいたいどこかで致命的な間違いを犯します。なのでこの解答も答えが正しくなかったり、そもそも途中の議論に致命的な間違いがあったりする可能性が高いので、ご覧になる際は注意深く議論を追ってください。もし誤り等があればコメントで指摘していただけるとうれしいです。

2019B03

3変数関数体E=C(x,y,z)及びその部分体F=C(x2y,y2z,z2x)をとる。次に対称式全体の為すEの部分体をLとし、K=LFとおく。

  1. E/FはGalois拡大であることを示し、そのGalois群を求めなさい。
  2. 拡大次数[E:K]を求めなさい。
  3. 拡大L/Kの中間体の個数を求めなさい。
  1. まずE=F(x)である。ここでx9Fであり、EF上の多項式f=T9x9の最小分解体であるから特にGalois拡大である。Gal(E/F)の元
    xζxyζ7yzζ4z
    は任意のxi(i=1,2,,8)をζixiに移すから、fは既約である。よって[E:F]=9がわかり、上で定めたGal(E/F)の元は位数が9であるからGal(E/F)=Z/9Z
  2. まず体Kx9,y9,z9に関する対称式全体の為す体とする。このときE/Kはガロア拡大であり、x,y,zをそれぞれx1,x2,x3とおくとGal(E/K)
    g(i,j,k),σ(x1)=ζixσ(1)
    g(i,j,k),σ(x2)=ζjxσ(2)
    s(i,j,k),σ(x3)=ζkxσ(3)
    なるs(i,j,k),σ全体(ここでζ1の原始9乗根であり、i,j,kZ/9Zの元を、σは対称群S3の元を走る)の為す位数936の群である。このときLFの元はx2y,y2z,z2xから生成されていることと対称式であることから、ガロア理論によって体LF2i+j=2j+k=2k+i=0なる
    g(i,j,k),1
    全体と
    g0,0,0,σ
    全体によって生成される群Gに対応している。このG
    2i+j=2j+k=2k+i=0
    ないし
    5i+j=5j+k=5k+i=0
    ないし
    i=j=k
    ないし
    (i,j,k)=(0,3,6),(0,6,3),(3,6,0),(3,0,6),(6,3,0),(6,0,3)
    のいずれかを満たすようなσ(i,j,k),1全体の為す位数27の群HS3の半直積である。以上から[E:K]=162である。
  3. まずHg(1,7,4),1及びg(0,3,6),1から生成される正規部分群で、同型
    HZ/9Z×Z/3Z
    を満たしている。よって
    G(Z/9Z×Z/3Z)S3
    が成り立っている。ここで求める中間体の個数GS3を含む部分群に対応しているが、その個数はS3の共役で安定なZ/9Z×Z/3Zの部分群の個数に等しい。まず位数9の巡回的でない部分群は1つしかないのでS3の作用で安定である。次に巡回部分群を考える。この生成元g(i,j,k),1ijを満たしていたとき、3iの場合この群はg(i,k,j),1を含まず、3iの場合この群はg(k,j,i),1を含まない。よって巡回群がS3の作用で安定であるにはg(i,i,i),1で生成されることが必要充分である。このような群はg(3,3,3),1で生成されるものとg(1,1,1),1で生成されるものとg(0,0,0),1で生成されるものの3つのみである。最後にH自身と合わせて、S3の作用で安定なHの部分群は5つあるから、L/Kの部分拡大も5つである。
投稿日:20231019
更新日:202485
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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