本記事は、Jacobiの楕円関数に関して簡単にまとめたものです。
本記事を書くにあたって参考にしたサイトの方はこちらになります。
https://www.youtube.com/watch?v=Qy5gOQrUKMw&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=87MKUeMt7KQ&t=0s
質量
すると、糸の運動方程式は簡単な考察から次式で与えられる。
よって,
さらに両辺に
また
さらに
であるから、整理して次式を得る。
この式を変形整理したのち積分することで次の積分を得る。
なお、
今得られた最後の積分から次のような関数を定義し、これをJacobiの楕円関数という。
つまり
である事がわかる。この事から、Jacobiの楕円関数は
ちなみに,
より
を得る。
まずは例から始めよう。
より正しい。
よって、
cを任意の定数,u,vは
を得る。これより簡単な計算を行い下記の関係式を得る。
上の関係式から直ちに次の関係式を得る。
ゆえに、次式を得る。
この関係式を用いると、次式を得る。
ゆえに,cnの加法定理は示せた。
同様に,次の関係式を求める。
そして、次の計算を行う。
よりdnについても証明が完了した。
ここまででやっと、定義域を
いったん、先の加法定理の結果をまとめよう。それは次のようだ。
この加法定理により定義域を
であることから次式を得る。
これらの式により、定義域を
一応念のため符号についてのみチェックをしておく。
を得る.
この部分の議論は少し僕の知識不足で曖昧なところがあります。いずれ修正します。
snは奇関数,cnは偶関数なのでこの事を用いて形式的に
を得る。実際は,sn,cn,dnの偶奇性から
次に
すると、dnが周期2K,sn,cnが周期4K,の周期関数として定義できる事が分かる。
まとめ
他は周期4Kである事を使って定義する。