Jacobiの楕円関数入門1(実数の範囲)

Jacobiの楕円関数入門

本記事は、Jacobiの楕円関数に関して簡単にまとめたものです。
本記事を書くにあたって参考にしたサイトの方はこちらになります。
https://www.youtube.com/watch?v=Qy5gOQrUKMw&t=0s
https://www.youtube.com/watch?v=87MKUeMt7KQ&t=0s

単振り子の振動とJacobiの楕円関数

1.単振り子から始める楕円関数

質量$m$，糸の長さ$l$，鉛直軸からの振れの角度を$\theta$とする振り子の運動を考える。
すると、糸の運動方程式は簡単な考察から次式で与えられる。
\begin{equation} ml\frac{d^2 \theta}{dt^2} = -mg\sin\theta \end{equation}
よって，$\omega_0=\sqrt{\frac{g}{l}}$の様な微分方程式を得る。
\begin{equation} \frac{d^2 \theta}{dt^2}+\omega_0^2 \sin\theta=0 \end{equation}
さらに両辺に$\frac{d\theta}{dt}$をかけて積分すると次式を得る。
\begin{equation} \frac{1}{2}(\frac{d\theta}{dt})^2-\omega_0^2\cos\theta=-\omega_0^2\cos\theta_{max} \end{equation}
また$\cos\theta=1-2\sin^2\frac{\theta}{2}$を用いて式を整えると次のように書きなおせる。
\begin{equation} \frac{1}{4}(\frac{d\theta}{dt})^2=\omega_0^2(sin^2\frac{\theta_{max}}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}) \end{equation}
さらに$k=\sin\frac{\theta_{max}}{2}$とおきなおし整理する。
\begin{equation} \frac{1}{4\omega_{0}}(\frac{d\theta}{dt})^2=k-\sin^2\frac{\theta}{2} \end{equation}
$\sin\frac{\theta}{2}=k\sin\psi$とおくと
\begin{equation} (\frac{d\theta}{d\psi})^2=4k^2\frac{1-sin^2\psi}{1-k^2\sin^2\psi} \end{equation}
であるから、整理して次式を得る。
\begin{equation} \frac{1}{\omega_0^2}(\frac{d\psi}{dt})^2=1-k^2\sin^2\psi \end{equation}
この式を変形整理したのち積分することで次の積分を得る。
\begin{equation} \int^\psi_0\frac{d\psi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\psi}}d\psi=\omega_0t \end{equation}
なお、$x=\sin\psi$と変数変換すると次のようにも書き直せる。
\begin{equation} \int_0^{\sin x}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}=\omega_0t \end{equation}
今得られた最後の積分から次のような関数を定義し、これをJacobiの楕円関数という。

Jacobiの楕円関数の性質

$k \rightarrow 0$とすると次式を得る。
\begin{equation} \int_0^{x}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin{x}=u \end{equation}
つまり
\begin{equation} x=lim_{k\rightarrow 0}sn(u;k)=sin(u) \end{equation}
である事がわかる。この事から、Jacobiの楕円関数は$\sin{x}$を一般化したものだと推測できる。
ちなみに,$k \rightarrow 1$とすると、
\begin{equation} \int_0^x\frac{dx}{1-x^2}=\frac{1}{2}\log{\frac{1+x}{1-x}}=u \end{equation}
より
\begin{equation} x=\lim_{k \rightarrow 1}sn(u;k)=\tanh(u) \end{equation}
を得る。

Jacobiの楕円関数の定義域拡張

1.$-K\leq u \leq 0 \ (K=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}})$まで定義域を拡張

$x=sn(u)$とすると，
\begin{eqnarray} -u&=&-\int_0^x\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\\ &=& \int_0^{-x}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\\ \end{eqnarray}

snの加法定理

2.$定義域を-\infty \lt u \lt +\infty$まで拡張

ここまででやっと、定義域を$-\infty \lt u \lt \infty$広げる準備ができた。
いったん、先の加法定理の結果をまとめよう。それは次のようだ。

sn，cn，dnの加法定理

\begin{eqnarray} sn(u+v)&=&\frac{sn(u)cn(v)dn(v)+sn(v)cn(u)dn(u)}{1-k^2sn^2(u)sn^2(v)}\\ cn(u+v)&=&\frac{cn(u)cn(v)-sn(u)sn(v)dn(u)dn(v)}{1-k^2sn^2(u)sn^2(v)}\\ dn(u+v)&=&\frac{dn(u)dn(v)-k^2sn(u)sn(v)cn(u)cn(v)}{1-k^2sn^2(u)sn^2(v)} \end{eqnarray}
この加法定理により定義域を$|u| \lt K$の外に拡張する。そのために、形式的に$v=\pm K$を上式に代入する。
\begin{eqnarray} sn(\pm K)&=&\pm1 \\ cn(\pm K)&=&0 \\ dn(\pm K)&=&\sqrt{1-k^2} \end{eqnarray}
であることから次式を得る。
\begin{eqnarray} sn(u\pm K)&=&\pm \frac{cn(u)}{dn(u)}\\ cn(u\pm K)&=&\mp \frac{sn(u)}{dn(u)}\\ dn(u\pm K)&=&\frac{\sqrt{1-k^2}}{dn(u)} \end{eqnarray}
これらの式により、定義域を$u \leq |2K|$まで広げる．
一応念のため符号についてのみチェックをしておく。

$-2K \leq u-K \leq -K $の場合

\begin{eqnarray} sn(u-K)&=&-\frac{cn(u)}{dn(u)} < 0 \\ cn(u-K)&=&\frac{sn(u)}{dn(u)} < 0 \\ dn(u-K)&=&\frac{\sqrt{1-k^2}}{dn(u)} > 0 \end{eqnarray}

$K \leq u + K \leq 2K $の場合

\begin{eqnarray} sn(u+K)&=&\frac{cn(u)}{dn(u)} > 0 \\ cn(u+K)&=&-\frac{sn(u)}{dn(u)} < 0 \\ dn(u+K)&=&\frac{\sqrt{1-k^2}}{dn(u)} > 0 \end{eqnarray}

を得る．
この部分の議論は少し僕の知識不足で曖昧なところがあります。いずれ修正します。
$sn(2K)=0, \ cn(2K)=-1, \ dn(2K)=1$を用いると
\begin{eqnarray} sn(2K-u)&=&sn(u)\\ cn(2K-u)&=&-dn(u)\\ dn(2K-u)&=&dn(u) \end{eqnarray}
snは奇関数，cnは偶関数なのでこの事を用いて形式的に$u \rightarrow -u$として，定義域を$-2K \leq u \leq 4K$まで広げる。
\begin{eqnarray} sn(u+2K)&=&sn(u)\\ cn(u+2K)&=&-cn(u)\\ dn(u+2K)&=&dn(u)\\ \end{eqnarray}
を得る。実際は，sn，cn，dnの偶奇性から$|u| \leq 4K$まで定義域を拡大する事が出来てることに注意。
\begin{eqnarray} sn(4K)&=&sn(2K)=0\\ cn(4K)&=&-cn(2K)=1\\ dn(4K)&=&dn(2K)=1 \end{eqnarray}
次に$|u| \leq K$と制限して次の計算を行う。
\begin{eqnarray} sn(u+4K)&=&sn(u)\\ cn(u+4K)&=&cn(u)\\ dn(u+4K)&=&dn(u) \end{eqnarray}
すると、dnが周期2K，sn,cnが周期4K，の周期関数として定義できる事が分かる。