環上の加群の組成列と束論

束論,環上の加群

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まえがき

この記事では，環上の加群について定義される組成列の長さが組成列によらず一定であることを束論を用いて証明します(ただ，少し但し書きがつきます).

証明

組成列の長さは組成列によらず一定である

任意の $R$ 加群 $M$ について， $M$ がアルティン加群かつネーター加群で長さが有限の組成列を持つなら組成列の長さは組成列によらず一定である．

$M$ の部分加群全体の集合は包含関係による順序によって束をなす. $M_{1}, M_{2} \subset M$ の結びは $M_{1} + M_{2}$ ，交わりは $M_{1} \cap M_{2}$ である．
ここで $M_{1} \subset M_{3}$ のとき $M_{1} + (M_{2} \cap M_{3}) = (M_{1} + M_{2}) \cap M_{3}$ であるのでこの束はモジュラ束である.
高さ有限なモジュラ束においてはJordan-Dedekind チェイン条件が成り立つ，すなわち任意の区間について，その区間の極大チェインの長さは全て等しいことが知られているので，組成列の長さは $M$ だけに依存する.