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アティマク第5章演習問題30番

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アティマク第5章30

$A$ を体 $K$ の付値環とする. $A$ のすべての単元のつくる群 $U$ は $K$ の乗法群 $K^{*}$ の部分群である.
$Γ = K^{*} / U$ とおく. $ξ, η \in Γ$ の代表元をそれぞれ $x, y \in K$ とする. $x y^{- 1} \in A$ のとき、 $ξ \geq η$ として $Γ$ に順序を定義する.これは $Γ$ 上に群構造と適合している全順序を定義することを示せ(すなわち、すべての $ω \in Γ$ に対して、 $ξ \geq η ⟹ ξ ω \geq η ω$ ).言い換えると, $Γ$ は全順序である可換群となる.これを $A$ の値群(value group)という.
$v : K^{*} \to Γ$ を標準的な準同型写像とする.すべての $x, y \in K^{*}$ に対して、 $v (x + y) \geq m i n (v (x), v (y))$ が成り立つことを示せ.

$Γ$ が $A$ の値群であること.
まず,定義された順序が全順序であること.
任意に $ξ, η \in Γ$ を取り,それぞれの代表元を $x, y \in K$ とする. $A$ が $K$ の付値環であることから, $x y^{- 1} \in A$ または $y x^{- 1} \in A$ が成り立つ.つまり, $ξ \geq η$ または $η \geq ξ$ が成り立つ。よって示された。
次にこの全順序が群構造と適合していること.
任意に $ω \in Γ$ と $ξ, η \in Γ$ を取り、 $ξ \geq η$ が成り立っているとする. $ξ, η, ω \in Γ$ の代表元をそれぞれ $x, y, z \in K$ とする. $ξ \geq η$ より, $x y^{- 1} \in A$ である.また, $x y^{- 1} = x z (y z)^{- 1}$ と書けるので, $x y^{- 1} = x z (y z)^{- 1} \in A$ となり, $ξ ω \geq η ω$ が示される.
以上により, $Γ は A$ の値群である.
すべての $x, y \in K^{*}$ に対して、 $v (x + y) \geq m i n (v (x), v (y))$ が成り立つこと.
背理法で示す. ある $x, y \in K^{*}$ が存在して, $v (x + y) < m i n (v (x), v (y))$ が成り立っているとする. $v (x + y) < v (x)$ かつ $v (x + y) < v (y)$ なので,全順序より, $(x + y) x^{- 1}, (x + y) y^{- 1} \notin A$ が成り立っていることと同値.
$(x + y) x^{- 1} = 1 + y x^{- 1} \notin A$
$(x + y) y^{- 1} = x y^{- 1} + 1 = (y x^{- 1})^{- 1} + 1 \notin A$
なので,
$y x^{- 1}, (y x^{- 1})^{- 1} \notin A$ となり、 $A$ が付値環であることに矛盾.よって示された.