積分を解く
積分を解く
どうも。らららです。
積分を解きます。
問題
$$\int_{0}^{1}\frac{\log(x+1)}{x^2+1}dxを求めよ。$$
はい、
この問題はいろんな解き方があります。
今回は、1つの文字をあえて2つの文字にして解くというやり方でやっていきます。
解説
\begin{align} &I=\int_{0}^{1}\frac{\log(x+1)}{x^2+1}dx &\\f(t)&=\int_{0}^{1}\frac{\log(tx+1)}{x^2+1}dx &\\f'(t)&=\int_{0}^{1}\frac{x}{(x^2+1)(tx+1)}dx \\&=\frac{1}{t^2+1}\int_{0}^{1}\left(\frac {t+x}{x^2+1}-\frac{t}{tx+1}\right)dx \\&=\frac{1}{t^2+1}\left(\frac{\pi}{4}t+\frac{\log2}{2}-\log(t+1) \right) \end{align}
\begin{align} 求める値はf(1)-f(0) \end{align}
\begin{align} f(1)-f(0)&=\int_{0}^{1}f'(t)dt \\&=\int_{0}^{1}\frac{1}{t^2+1}\left(\frac{\pi}{4}t+\frac{\log2}{2}-\log(t+1) \right)dt \\&=\frac{\pi}{8}\log2+\frac{\pi}{8}\log2-I \end{align}
\begin{align} f(1)-f(0)がIなので、 \end{align}
\begin{align} 2I=\frac{\pi}{4}\log 2 \end{align}
\begin{align} よって、求める値は\frac{\pi}{8}\log2 \end{align}
はい、このような求め方があります。
ポイントは$f(1)-f(0)$を作ることです。
この計算の中で微分と積分の交換をしています。
3行目ですね。
一応書いておきます。
\begin{align} &f(t,x)と\frac{\partial}{\partial t}f(t,x)が積分する区間で連続であるとき、 \\&\frac{d}{dt}\int_{a}^{b}f(t,x)dx =\int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial t}f(t,x)dx が成り立つ。 \end{align}
微分と積分の交換です。
先ほどやった交換は上記の条件を満たしているのでやってもいい操作ですね。
おまけ
おまけとして別解でやってみます。
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$$
まぁ、ここまでみてる人は知ってると思いますけど一応。
\begin{align}
I&=\int_{0}^{1}\frac{\log(x+1)}{x^2+1}dx
\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan x)dx
\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log \left(1+\tan
\left( \frac{\pi}{4}-x \right) \right)dx
\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log
\left(\frac{2}{1+\tan x} \right)
\\&=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log2dx-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan x)dx
\end{align}
\begin{align}
2I&=\frac{\pi}{4}\log2
\\I&=\frac{\pi}{8}\log2
\end{align}
はい、高校範囲でも解けますね。
$\frac{1}{x^2+1},\log(x+1)$の級数展開を使っても解けるのかもしれない。
まぁ、お暇な方はやってみてね！
お終い！！