最近巨大数という概念があることを知ったので、自分でも作ってみようと思い立ちました。
初めて作ったものと、その改良版を紹介します。
※巨大数においての「配列表記」とは別です。
このアイデアは、↑表記を重ね合わせることで強くなる、という至極シンプルなアイデアによるものです。
次のような配列
例えば
などと表せます。
これを用いれば、グラハム数なども
次にこの配列自身を複製するためのパラメタを導入します。
そして、この配列
例えば、
である。
やってみれば分かりますが、この数は相当大きくなります。
配列の要素自体よりも、パラメタを増やすことで爆発的に数を大きくさせられます。
そして、更にこの順次配列に対して第2パラメタを導入して、などやっていったのですが...
結局これは多変数アッカーマン関数等の真似事(しかもそれらより著しく弱い)になってしまっています。
そのため、この配列の追及はここでストップさせました。
先ほどの配列は、再帰的定義を主軸に大きくさせていました。では、重ね合わせと再帰的定義を組み合わせたらどうなるでしょうか?
というのが、この巨大数(を生成する関数)のアイデアです。
まずは、↑表記を表す記号を新たに導入します。
例えば、
となります。
更に、
即ち、
ということです。
(※補足ですが、記号
そのため、
そして、次にこの
そして、
ここで、クラスと層について定義します。
まず、ある数
と表されるとき、この
そして、あるクラスにはいくつかの層が存在し、互いの層の間の関係は以下のようになります。
更に、あるクラスの最後の層の一つ手前の層の記号量は、
つまり、
のように構成されています。そして、この
そして、クラスk(
そして、
このように、クラスに属する層は互いの記号量を示し、クラスは互いの層数を示します。クラスの数は
この数はあまりにも大きくなりすぎるため、クラス数を計算するので精一杯です。
定義から、
これは先ほど計算していましたね。
これは、飽くまで「クラス数」です。実際の数の表示は、先ほどの定義にあった通り、一つのクラス内で一番深い層が
それぞれの層数は次のクラスの値が決めている、というわけです。
ちなみに、
なぜならば、どんな
これで
まず、先ほどの補足の通り、
定義から分かる通り、数を大きくするために大事なのは、
派手に大きくしましょう。
そして、何よりも忘れてはいけないのは、
宇宙の素粒子の数がまったく塵芥になってしまうほど巨大な数が巨大数です。
現在様々な定義の巨大数が世界中の人によって生み出されています。
定義を理解し、急増加関数で序列をつけることは出来こそすれ、その数の莫大さを生身で実感することは人類には不可能です。
世界80億人を1か所に集めた光景さえ想像することは難しいのですから、巨大数は言わずもがなです。
しかし、この宇宙に存在することが許されず、想像することもできないような数を創造できるのが巨大数、そして何より数学の
奥深さかと思います。
今回は計算可能の範囲で作りましたが、いずれは計算不可能の巨大数も作ってみたいですね。
以上です。