a-Legendre多項式のq類似とBailey対

Legendre多項式は区間 $(- 1, 1)$ における直交性
$\begin{array}{r} \int_{- 1}^{1} P_{n} (x) P_{m} (x) d x = \frac{2}{2 n + 1} δ_{n, m} \end{array}$
を満たす. これを区間 $(0, 1)$ にして考えると, $p_{n} (x) = P_{n} (2 x - 1)$ として, 直交性
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} p_{n} (x) p_{m} (x) d x & = \frac{1}{2 n + 1} δ_{n, m} \end{aligned}$
を得る. また, $ρ_{n} (x) := P_{2 n} (\sqrt{x})$ とすると, 直交性は
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} ρ_{n} (x) ρ_{m} (x) \frac{d x}{\sqrt{x}} & = \frac{1}{2 n + \frac{1}{2}} δ_{n, m} \end{aligned}$
となる. これらは前の記事( Legendre多項式の変数付きの拡張について )で導入した $a$ -Legendre多項式 $ρ^{(a)} (x)$ を用いることによって, $p_{n} (x) = ρ_{n}^{(1)} (x)$ $ρ_{n} (x) = ρ_{n}^{(\frac{1}{2})} (x)$ と同時に一般化することができる. この $q$ 類似を考えていきたい. まず, $(0, 1)$ 区間における $q$ 積分が
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} f (x) d_{q} x := \sum_{0 \leq n} q^{n} f (q^{n}) \end{array}$
によって定義される. $q^{α} = a$ として, 重み関数 $x^{α - 1} \frac{(x q; q)_{\infty}}{(b x; q)_{\infty}}$ で直交する多項式, つまり,
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} ρ_{n}^{(a, b)} (x; q) ρ_{m}^{(a, b)} (x; q) x^{α - 1} \frac{(x q; q)_{\infty}}{(b x; q)_{\infty}} d_{q} x & = C_{n} δ_{n, m} \end{aligned}$
を満たす多項式として $q$ -(little)Jacobi多項式が
$\begin{aligned} ρ_{n}^{(a, b)} (x; q) & = (- 1)^{n} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, a b q^{n - 1}; q)_{k}}{(a, q; q)_{k}} (x q)^{k} \end{aligned}$
によって定義でき, $C_{n}$ は具体的に
$\begin{array}{r} C_{n} = \frac{(q^{n + 1}, a b q^{n - 1}; q)_{\infty}}{(a q^{n}, b q^{n}; q)_{\infty}} \frac{a^{n}}{1 - a b q^{2 n - 1}} \end{array}$
で与えられる. これを元に, $a$ -Legendre多項式の $q$ 類似として, $(a, q)$ -Legendre多項式を, $ρ_{n}^{(a)} (x; q) := ρ_{n}^{(a, q)} (x; q)$ と定義することができる. その直交性は,
$\begin{array}{r} \int_{0}^{1} ρ_{n}^{(a)} (x; q) ρ_{m}^{(a)} (x; q) x^{α - 1} d_{q} x = \frac{a^{n}}{1 - a q^{2 n}} δ_{n, m} \end{array}$
となる.

Bailey対

$a$ に関するBailey対とは, 関係式
$\begin{array}{r} b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{a_{k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} \end{array}$
を満たす数列の組 $(a_{n}, b_{n})$ のことをいう. 以下略して $a$ -Bailey対ということにする. $(a_{n}, b_{n})$ が $a$ -Bailey対であることは,
$\begin{array}{r} a_{n} = (1 - a q^{2 n}) \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a q; q)_{n + k - 1} (- 1)^{n - k} q^{(\binom{n - k}{2})}}{(q; q)_{n - k}} b_{k} \end{array}$
が成り立つことと同値であることが知られている. 先ほど導入した $(a, q)$ -Legendre多項式は

$\begin{aligned} ρ_{n}^{(a)} (x; q) & = (- 1)^{n} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(q^{- n}, a q^{n}; q)_{k}}{(a, q; q)_{k}} (x q)^{k} \\ = (- 1)^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a; q)_{n + k}}{(q; q)_{n - k} (a, q; q)_{k}} (- 1)^{k} q^{(\binom{k}{2}) - n k} (x q)^{k} \\ = q^{- (\binom{n}{2})} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(a; q)_{n + k} (- 1)^{n - k} q^{(\binom{n - k}{2})}}{(q; q)_{n - k}} \frac{x^{k}}{(a, q; q)_{k}} \end{aligned}$
と書くことができるので,
$\begin{aligned} a_{n} & := \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} q^{(\binom{n}{2})} ρ_{n}^{(a)} (x; q) \\ b_{n} & := \frac{x^{n}}{(a, q; q)_{n}} \end{aligned}$
とすると, $(a_{n}, b_{n})$ は $a$ -Bailey対である. Bailey対に関しては, 以下の定理が知られている.

Baileyの補題

$(a_{n}, b_{n})$ が $a$ -Bailey対のとき,
$\begin{aligned} a_{n}^{'} & := \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} a_{n} \\ b_{n}^{'} & := \frac{1}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(b, c; q)_{k} (a q / b c; q)_{n - k}}{(q; q)_{n - k}} {(\frac{a q}{b c})}^{k} b_{k} \end{aligned}$
とすると, $(a_{n}^{'}, b_{n}^{'})$ は $a$ -Bailey対である.

これを用いると, 一つのBailey対 $(a_{n}, b_{n})$ から新たなBailey対 $(a_{n}^{'}, b_{n}^{'})$ を得ることができ, $(a_{n}^{'}, b_{n}^{'})$ からさらに $(a_{n}^{″}, b_{n}^{″})$ を得ることができる. これを繰り返して得られるBailey対の無限系列をBailey鎖という. これを先ほどの,
$\begin{aligned} a_{n} & := \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} q^{(\binom{n}{2})} ρ_{n}^{(a)} (x; q) \\ b_{n} & := \frac{x^{n}}{(a, q; q)_{n}} \end{aligned}$
に適用すると以下を得る.

$x$ の多項式に対する線形作用素を
$\begin{array}{r} ϕ \frac{x^{n}}{(a, q; q)_{n}} := \frac{1}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(b, c; q)_{k} (a q / b c; q)_{n - k}}{(q; q)_{n - k}} {(\frac{a q}{b c})}^{k} \frac{x^{k}}{(a, q; q)_{k}} \end{array}$
とすると,
$\begin{array}{r} ϕ ρ_{n}^{(a)} (x; q) = \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} ρ_{n}^{(a)} (x; q) \end{array}$
が成り立つ.