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大学数学基礎解説
文献あり

第一種完全楕円積分の関係式

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こんにちは。参考書に以下の関係式を示す問題があったので示していきます。

問題

K(k)=11+kK(2k1+k)=21+kK(1k1+k)

以下は解くのに必要な定義です。

第一種完全楕円積分

K(k)=01dz(1z2)(1k2z2)

ここでk=sinθとすると別の表現が出来ます。

第一種完全楕円積分その2

K(k)=0π2dθ1k2sin2θ

またkはモジュラス(母数)といいます。そしてk=1k2を補モジュラス(補母数)と言います。
以下K(k)=KK(k)=Kとします。

続いて必要な定義は算術幾何平均です

算術幾何平均

a,b>0a,bRとする。以下の漸化式で定められる数列an,bnは同じ値に収束する。
a0=a,b0=ban+1=an+bn2bn+1=anbn
この時、収束先の値を算術幾何平均といい、M(a,b)で表す。

定義より、以下の性質が成り立ちます。

M(a,b)=M(b,a)
M(λa,λb)=λM(a,b)
M(a,a)=a
M(a,b)=M(an,bn)
ただしλ>0

次に、算術幾何平均と第一種完全楕円積分を結びつける以下の等式を示します。

0<k<1について
M(1,k)=π21K

まず初めに以下の補題を示します。

a,b>0に対して
I(a,b)0π2dθa2cos2θ+b2sin2θ
とすると
I(a,b)=π21M(a,b)

I(a,b)=0π2dθa2cos2θ+b2sin2θ
t=btanθとして
I(a,b)=0dt(a2+t2)(b2+t2)
つぎにu=12(tabt)とすると
dt=tab+u2du(a2+t2)(b2+t2)=t2(t2+a2+b2+a2b2)=t2(4u2+a2+b2+2ab)=t2((a+b)2+4u2)
なので
I(a,b)=20du((a+b)2+4u2)(ab+u2)=0du((a+b2)2+u2)(ab2+u2)
これと最初の式を比べて
I(a,b)=I(a+b2,ab)
これを繰り返すことで
I(a,b)==I(M(a,b),M(a,b))
よって
I(M(a,b),M(a,b))=0π2dθM2(a,b)=π2M(a,b)
よって示された。

この補題を使えば定理1は簡単に示せます。

I(1,k)=π2M(1,k)
また
I(1,k)=0π2dθcos2θ+k2sin2θ=0π2dθ1(1k2)sin2θ=K
よって
M(1,k)=π21K
となって示された。

定理2についてkの条件を0<k<1としましたが、k>1でもkRではありますがk2Rなのでk>0としても大丈夫です

では問題を解いていきましょう中辺と右辺が左辺に等しいことをそれぞれ示します。
K=π21M(1,1k2
であり、中辺については
11+kK(2k1+k)=π21M(1,1kk+1)=π21M(1+k,1k)=π21M(1,1k2)=K
つづいて右辺は
21+kK(1k1+k)=π1+k1M(1,2k1+k)=π21121M(1+k,2k)=π21M(1+k2,k)=π21M(1,k)=K
これで示せました。以上です。最後まで読んでくれてありがとうございました。

参考文献

[1]
武部尚志, 楕円積分と楕円関数, 日本評論社, 2019, 46
投稿日:2024218
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木立
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