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I 型のC*環について

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フォンノイマン環の分類については、和書で記述されていることが多い。しかしながら、C環の特殊な場合とも言えるフォンノイマン環の分類よりC環の方が、初歩的なことに限れば入門しやすいかも知れない。今日は、そのことについて基本的な事実をメモすることを本稿の目的とする。

C環がI 型だった時の同値な言い換えを取ってみても、フォンノイマン環の分類の場合の証明手法とは異なるなど面白さが感じられるから、どうぞごゆっくり。

以下、AC環とする。Hは無限次元ヒルベルト空間とする。

Aの正元xがabelianであるとは、xによって生成されるhereditary C部分環すなわちxAxが可換であることを言う。

AI:⇔Aabelian0
AI0:⇔Aabelian
Aantiliminary:⇔Aabelian0

I型von Neumann環は一般にC環としてI型とは限らないことに注意。これは、von Neumann環B(H)の剰余環であるカルキン環B(H)/K(H)は可換な元を持たないことから明らかである。このことは、カルキン環は単純だったことから。

xA+がAbelian Aの任意の既約表現(π,H)に対してdimπ(x)1

xがabelianで(π,H)が既約表現とすると、π(x)π(A)においてabelianである。πが既約表現のときB(H)=π(A)であるからπ(x)B(H)π(x)は可換となりdimπ(x)1を満たす(任意のξHπ{0}に対しξπの巡回ベクトルなのでHπ=π(A)ξ=Cξより)。
逆にxA+とし、任意の既約表現πに対してdimπ1とすると、xAxをuniversal representation (H,φ)で送った先のφ(xAx)は可換であることが確かめられる。φは忠実だからxはabelianとなる。

AがHilbert空間Hにacting irreduciblyする作用素がなすC環であって、AK(H)0ならば、K(H)Aが成り立つ。
Aの任意の忠実な既約表現0は恒等表現とユニタリー同値である。

AK(H)0なので、有限階の射影pAK(H)が存在する。MurphyのTheorem 2.4.9を参照する。後半の主張は(πψ,Hψ)が忠実な表現となるAの任意の純粋状態ψAが、Hのあるベクトルξを用いて一意的に決定できることを示せば良い。(πψ,Hψ)が忠実だからψ|K(H)0であり、よってK(H)上の純粋状態は0ではない。これは、ある単位ベクトルξHが存在し、任意のxK(H)に対しψ(x)=(xξ|ξ)を意味する()。イデアル上の状態の定義域をAとする拡張は一意的だから、任意のxAψ(x)=(xξ|ξ)である。()と実際にユニタリー同値となることはMurphy p.146を参照する。次の事実を使えばいい。

巡回ベクトルξ1,ξ2をそれぞれに持つCAの部分表現(π1,H1),(π2,H2)がequivalent with isometry u s.t. uξ1=ξ2(π1(x)ξ1|ξ1)=(π2(x)ξ2|ξ2)xA
であることとは同値である。実際、
u:π1(A)ξ1π2(A)ξ2uπ1(x)ξ1=π2(x)ξ2と定めると、確かにuはisometryである。実際

(π1(A)ξ1|π1(B)ξ1)=(π(BA)ξ1|ξ1)=(π2(BA)ξ2|ξ2)=(π2(A)ξ2|π2(B)ξ2)
であり、このuを巡回ベクトルの性質を用いてu:H1H2と拡張できる。

AICA(π,H)K(H)π(A)である。もしAI0型ならπ(A)=K(H)が成り立つ。

xπ(A)x=1を満たすabelianとするときxH上のrank 1の射影となる。前定理よりK(H)π(A)である。π(A)はabelianな元つまりrank 1の有限階作用素で生成され最小性からπ(A)K(H)が成り立つ。

abelianな元によって生成されるCA0AAI0型-極大イデアルである。

Jをabelianな元を含む、A+における最小のhereditaryな凸錐とする。xJと、有限集合(xi)xxiかつxiはabelianを満たすものが存在することは同値である。正元和での表示にすることを考え、任意のxJに対してx=iyiyi,yiyixi(yi)Aが取れる。
abelianな元bが存在してabと書ける任意の正元aはabelianで、yyがabelianなることからyyもabelianとなる。
よってxはabelianな正元の和だからJA0である。任意のユニタリーuAに対してuJu=Jが成り立つ(Murphy 3.3.2よりuJu=uA+uで上からJA0で閉である)。J(A0)+JAの全てのabelianな元を含むため、J=(A0)+を満たす。すなわち凸錐の定義からA0Aのイデアルである。Aのイデアル内でabelianな元はAにおいてもabelianなので、A0Aの極大I0型-イデアルである。

I0C環の任意の元は、abelianな元の和として書ける近似単位元をもつ。{ixi | xi:abelian}A+でhereditaryな稠密凸錐であるため、Aの近似単位元を含む。つまり、CAには近似単位元(uλ)が存在するがAI0型の場合それが常にabelianなxiを用いてuλ=ixiと書ける。

ここから、色んなことが導かれる。例えば、

任意のCAI型の極大イデアルIをもち、A/Iは antiliminary

投稿日:2024815
更新日:2024815
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societah
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現在は量子誤り訂正、位相線形構造とバナッハ環論に関心を持つ。 趣味 : SPY×FAMILY、ハンガリー史、Official髭男dism

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