ある有名漸化式を，より自然に解きたい！
こんにちは，nmoonです．今回は以下の問題について考えていきたいと思います！
有名問題
$a$を$2$より大きい実数とする．以下の漸化式を解け．
$$a_{n+1} = a_{n}^2 - 2 ， a_{0} = a$$
この漸化式の有名な解法は，任意の非負整数$n$において，$a_{n}\geq2$が示されるので，$a_{n}=b_{n}+\displaystyle\frac{1}{b_{n}} , b_{n} > 1$とすると，$b_{n+1} = b_{n}^2$から解く，というものです．
しかし，皆さんはこれを最初に見てこう思ったでしょう．
いや，無理じゃない？
あまりにも突飛なので，どうやったらこの解法に辿り着けるか考えていきたいと思います．
下準備
$$e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}$$
証明は省きます．
よって，
$$\begin{cases}
e^x = \cos{(-ix)} + i\sin{(-ix)}\\
e^{-x} = \cos{(ix)} + i\sin{(ix)}
\end{cases}
$$
より
$$\cos{(ix)} = \displaystyle\frac{e^x + e^{-x}}{2}$$
となります．
本編
では，本題である漸化式を解いていきます．
条件式より，
$$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{2} = 2\biggl(\displaystyle\frac{a_{n}}{2}\biggr)^2 - 1$$
より，$2\cos{c_{n}} = a_{n}, c_{n+1} = 2c_{n}$を満たす数列$\lbrace c_{n}\rbrace$を取ることができる．そして，このとき$c_{n} = 2^nc_{0}$となる．
また，$\cos{c_{0}} = \displaystyle\frac{a}{2}$ より，下準備の結果を利用すると，
$$c_{0} = i\log{(a+\sqrt{a^2 - 1})}$$
とすると，条件を満たすことがわかる．以上から，
$$a_{n} = 2\cos{(2^nc_{0})} = (a+\sqrt{a^2-1})^{2^n} + (a-\sqrt{a^2-1})^{2^n}$$
最後に
自分の中でもやっとしていたものが解決していい気分です．
大学数学は俄かなので，どこかで議論の怪しいところがあれば教えて下さい．
最後まで読んでくださり，ありがとうございます．
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