東大数理院試2015年度専門問2解答

(1)
任意の$x,y\in I,z\in R$に対し
$$(x+y)S\subset xS+yS\subset R+R\subset R,zxS\in xS\subset R$$
なので，$I$は$R$のイデアルである．$S$のイデアルであることも同様．

(2)
$x\in K$は$x=x\cdot 1\in xS\subset R$を満たすから$I\subset R$である．また$i\ge 0$に対し
$$t^{20+4i}=(t^4{)}^{5+i},t^{21+4i}=(t^4{)}^{2+i}\cdot t^{13},t^{22+4i}=(t^4{)}^{3+i}\cdot t^{10},t^{23+4i}=(t^4{)}^i\cdot t^{10}\cdot t^{13}$$
は全て$R$の元であるから，$A=\{0,4,8,10,12,13,14,17,18\}$とおくと$R=\underset{i\in A}{⨁}k{t}^i\oplus t^{20}k[t]$である．今$f\in I$の最低次の項を$a{t}^i$とすると，任意の$j\ge 0$に対し$t^{j}f\in fS\subset R$となることから$i\ge 20,$すなわち$f\in t^{20}k[t]$が必要．逆にこの時$fS\subset t^{20}k[t]\subset R$である．よって
$$\begin{array}{rl}I& =t^{20}k[t]=t^{20}k[t^4]+t^{21}k[t^4]+t^{22}k[t^4]+t^{23}k[t^4]\\ & \subset t^{20}R+t^{21}R+t^{22}R+t^{23}R\end{array}$$
であり，逆の包含は明らかだから$I=t^{20}R+t^{21}R+t^{22}R+t^{23}R$である．従って$I$の$R$のイデアルとしての生成系として$t^{20},t^{21},t^{22},t^{23}$が取れる．

生成元が$f_1,f_2,f_3$の$3$個であったとする．上の議論から$\mathrm{deg}{f}_i\ge 20$であるから，生成系を取り直して$f_i$の最低次の項を$t^{d_i}(20\le d_1<d_2<d_3)$として良い．$R$の定数でない元の次数の最小値は$4$であるから，$t^{20},t^{21},t^{22},t^{23}\in I$のうち少なくとも一つは$I$の元ではない．これは矛盾．