東大数理院試2015年度専門問2解答
東大数理の院試（2015年度専門問2）の解答です．
自分が作った解答は
ここ
に置いてあります．
$S = k[t]$を体$k$上の一変数多項式環，$K$を$S$の商体とする．$S$の部分環$R$を次のように定める：
$$
R = k[t^4, t^{10}, t^{13}].
$$
$I = \{ x \in K \, ; \, xS \subset R\}$とおいたとき，$I$は$R$と$S,$両方のイデアルであることを示せ．
$I$の$R$のイデアルとしての生成系のうち，生成元の個数が最小のものを$1$つ求めよ．
(1)
任意の$x, y \in I, z \in R$に対し
$$
(x + y)S \subset xS + yS \subset R + R \subset R, \qquad
zxS \in xS \subset R
$$
なので，$I$は$R$のイデアルである．$S$のイデアルであることも同様．
(2)
$x \in K$は$x = x \cdot 1 \in xS \subset R$を満たすから$I \subset R$である．また$i \geq 0$に対し
$$
t^{20 + 4i} = (t^4)^{5 + i}, \quad
t^{21 + 4i} = (t^4)^{2 + i} \cdot t^{13}, \quad
t^{22 + 4i} = (t^4)^{3 + i} \cdot t^{10}, \quad
t^{23 + 4i} = (t^4)^i \cdot t^{10} \cdot t^{13}
$$
は全て$R$の元であるから，$A = \{ 0, 4, 8, 10, 12, 13, 14, 17, 18\}$とおくと$R = \bigoplus_{i \in A} kt^i \oplus t^{20} k[t]$である．今$f \in I$の最低次の項を$at^i$とすると，任意の$j \geq 0$に対し$t^j f \in fS \subset R$となることから$i \geq 20,$すなわち$f \in t^{20} k[t]$が必要．逆にこの時$fS \subset t^{20} k[t] \subset R$である．よって
\begin{align*}
I
&= t^{20} k[t]
= t^{20} k[t^4] + t^{21} k[t^4] + t^{22} k[t^4] + t^{23} k[t^4] \\
&\subset t^{20} R + t^{21} R + t^{22} R + t^{23} R
\end{align*}
であり，逆の包含は明らかだから$I = t^{20} R + t^{21} R + t^{22} R + t^{23} R$である．従って$I$の$R$のイデアルとしての生成系として$t^{20}, t^{21}, t^{22}, t^{23}$が取れる．
生成元が$f_1, f_2, f_3$の$3$個であったとする．上の議論から$\deg f_i \geq 20$であるから，生成系を取り直して$f_i$の最低次の項を$t^{d_i} \, (20 \leq d_1 < d_2 < d_3)$として良い．$R$の定数でない元の次数の最小値は$4$であるから，$t^{20}, t^{21}, t^{22}, t^{23} \in I$のうち少なくとも一つは$I$の元ではない．これは矛盾．
