行列式計算の小ネタ
本記事では
\begin{vmatrix}
x(2yz+zx+xy)(2x+y+z)&x(2yz+zx+xy)(x+y)(x+z)&(x+y)^2(x+z)^2\\
y(2zx+xy+yz)(2y+z+x)&y(2zx+xy+yz)(y+z)(y+x)&(y+z)^2(y+x)^2\\
z(2xy+yz+zx)(2z+x+y)&z(2xy+yz+zx)(z+x)(z+y)&(z+x)^2(z+y)^2\\
\end{vmatrix}
のような対称性の高い行列の行列式を計算する小ネタを紹介します。
$s=x+y+z,\ t=xy+yz+zx,\ u=xyz$とおきます。
行列の1列目の成分を$\mathbb{R}[s,t,u][x]$の元として表します。ここで、$x^3-sx^2+tx-u=0$により必ず$x$の2次式以下にできるのがポイントです。
\begin{align}
x(2yz+zx+xy)(2x+y+z)
&=x(yz+t)(s+x)\\
&=(u+tx)(s+x)\\
&=su+(st+u)x+tx^2,
\end{align}
\begin{align}
x(2yz+zx+xy)(x+y)(x+z)
&=(u+tx)(t+x^2)\\
&=tu+t^2x+ux^2+tx^3\\
&=2tu+(st+u)x^2,
\end{align}
\begin{align}
(x+y)^2(x+z)^2
&=(t+x^2)^2\\
&=t^2+2tx^2+x^4\\
&=t^2+ux+tx^2+sx^3\\
&=su+t^2+(u-st)x+(s^2+t)x^2
\end{align}
と表せます。2列目、3列目も同様に$\mathbb{R}[s,t,u][y]$, $\mathbb{R}[s,t,u][z]$の元で表すことができます。
これを用いると、
\begin{align}
&\begin{vmatrix}
x(2yz+zx+xy)(2x+y+z)&x(2yz+zx+xy)(x+y)(x+z)&(x+y)^2(x+z)^2\\
y(2zx+xy+yz)(2y+z+x)&y(2zx+xy+yz)(y+z)(y+x)&(y+z)^2(y+x)^2\\
z(2xy+yz+zx)(2z+x+y)&z(2xy+yz+zx)(z+x)(z+y)&(z+x)^2(z+y)^2\\
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
su+(st+u)x+tx^2&2tu+(st+u)x^2&su+t^2+(u-st)x+(s^2+t)x^2\\
su+(st+u)y+ty^2&2tu+(st+u)y^2&su+t^2+(u-st)y+(s^2+t)y^2\\
su+(st+u)z+tz^2&2tu+(st+u)z^2&su+t^2+(u-st)z+(s^2+t)z^2\\
\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}
1&x&x^2\\1&y&y^2\\1&z&z^2
\end{vmatrix}\begin{vmatrix}
su&2tu&su+t^2\\
st+u&0&u-st\\
t&st+u&s^2+t
\end{vmatrix}
\end{align}
となります。
第1項は
\begin{align}\begin{vmatrix}
1&x&x^2\\1&y&y^2\\1&z&z^2
\end{vmatrix}=(y-x)(z-x)(z-y),\end{align}
第2項は
\begin{align}
\begin{vmatrix}
su&2tu&su+t^2\\
st+u&0&u-st\\
t&st+u&s^2+t
\end{vmatrix}
&=\begin{vmatrix}
su&2tu&t^2\\
st+u&0&-2st\\
t&st+u&s^2
\end{vmatrix}\\
&=-4st^3u+t^2(st+u)^2-2s^2tu(st+u)+2s^2tu(st+u)\\
&=t^2(st-u)^2
\end{align}
と計算でき、
$$st-u=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=(x+y)(y+z)(z+x)$$
を用いると
\begin{align}
&\phantom{={}}\begin{vmatrix}
x(2yz+zx+xy)(2x+y+z)&x(2yz+zx+xy)(x+y)(x+z)&(x+y)^2(x+z)^2\\
y(2zx+xy+yz)(2y+z+x)&y(2zx+xy+yz)(y+z)(y+x)&(y+z)^2(y+x)^2\\
z(2xy+yz+zx)(2z+x+y)&z(2xy+yz+zx)(z+x)(z+y)&(z+x)^2(z+y)^2\\
\end{vmatrix}\\
&=(y-x)(z-x)(z-y)(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2(xy+yz+zx)^2
\end{align}
となります。
