ディリクレのベータ関数の関数等式を示す
ディリクレのベータ関数の関数等式を示す
どうも、らららです
最近ディリクレのベータ関数の関数等式を示したいって思ってたんですよ
そして示したので証明を書いていきます。
わたしは解析接続についてほとんど何も知らないので正しくない変形をしているかもしれません。
今回の記事は解析接続とかは気にせず関数等式を示していきます。
$$\beta(1-s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-s}\sin\frac{\pi s}{2}\Gamma(s)\beta(s)$$
これを示していきます
$$\beta(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}\quad\mathrm{Re}(s)>0$$
$$\zeta(s,a)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+a)^s}\quad\mathrm{Re}(s)\geq1,\mathrm{Re}(a)>0$$
$$\zeta(s,1)=\zeta(s)$$
\begin{align} \zeta(s,1)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^s} \\&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \\&=\zeta(s) \end{align}
$$\beta(s)=\frac{1}{4^s}\left(\zeta\left(s,\frac14\right)-\zeta\left(s,\frac34\right)\right)$$
\begin{align} \beta(s)&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s} \\&=\frac{1}{1^s}-\frac1{3^s}+\frac1{5^s}-\frac1{7^s}+\frac1{9^s}-\frac1{11^s}\cdots \\&=\left(\frac1{1^s}+\frac1{5^s}+\frac1{9^s}+\cdots\right)-\left(\frac1{3^s}+\frac1{7^s}+\frac1{11^s}+\cdots\right) \\&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(4n+1)^s}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(4n+3)^s} \\&=\frac{1}{4^s}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(n+\frac14\right)^s}-\frac{1}{4^s}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(n+\frac34\right)^s} \\&=\frac{1}{4^s}\left(\zeta\left(s,\frac14\right)-\zeta\left(s,\frac34\right)\right) \end{align}
この$s$をどんな$s$でも成り立つとします。
$\mathrm{Re}(s)\geq1\quad1\leq m\leq n\ (n,m\in\mathbb{N})$
$$\zeta\left(1-s,\frac{m}{n}\right)=\frac{2\Gamma(s)}{(2n\pi)^s}\sum_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{\pi s}{2}-\frac{2\pi mk}{n}\right)\zeta\left(s,\frac{k}{n}\right)$$
まめけびさんの こちらの記事 で証明されている
それでは、ディリクレのベータ関数の関数等式の証明をします。
\begin{align}
\beta(1-s)=\frac{1}{4^{1-s}}\left(\zeta\left(1-s,\frac14\right)-\zeta\left(1-s,\frac34\right)\right)
\end{align}
\begin{align}
\zeta\left(1-s,\frac14\right)&=\frac{2\Gamma(s)}{8^s\pi^s}\sum_{k=1}^{4}\cos\left(\frac{\pi s}{2}-\frac{\pi k}{2}\right)\zeta\left(s,\frac{k}4\right)
\\&=\frac{2\Gamma(s)}{8^s\pi^s}\left(\sin\frac{\pi s}{2}\zeta\left(s,\frac14\right)-\cos\frac{\pi s}{2}\zeta\left(s,\frac12\right)-\sin\frac{\pi s}{2}\zeta\left(s,\frac34\right)+\cos\frac{\pi s}{2}\zeta(s)\right)
\end{align}
\begin{align}
\zeta\left(1-s,\frac34\right)&=\frac{2\Gamma(s)}{8^s\pi^s}\sum_{k=1}^{4}\cos\left(\frac{\pi s}{2}-\frac{3\pi k}{2}\right)\zeta\left(s,\frac{k}4\right)
\\&=\frac{2\Gamma(s)}{8^s\pi^s}\left(-\sin\frac{\pi s}{2}\zeta\left(s,\frac14\right)-\cos\frac{\pi s}{2}\zeta\left(s,\frac12\right)+\sin\frac{\pi s}{2}\zeta\left(s,\frac34\right)+\cos\frac{\pi s}{2}\zeta(s)\right)
\end{align}
$$\zeta\left(1-s,\frac14\right)-\zeta\left(1-s,\frac34\right)=\frac{4\Gamma(s)}{8^s\pi^s}\sin\frac{\pi s}{2}\left(\zeta\left(s,\frac14\right)-\zeta\left(s,\frac34\right)\right)$$
$$\frac{1}{4^{1-s}}\zeta\left(1-s,\frac14\right)-\zeta\left(1-s,\frac34\right)=\left(\frac{\pi}2\right)^{-s}\Gamma(s)\sin\frac{\pi s}{2}\frac{1}{4^s}\left(\zeta\left(s,\frac14\right)-\zeta\left(s,\frac34\right)\right)$$
$$\beta(1-s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-s}\sin\frac{\pi s}{2}\Gamma(s)\beta(s)$$
でたーーー！！
まめけびさんがフルヴィッツのゼータ関数の関数等式の証明の記事書いてくれてるのありがたすぎる！
おしまい！！