大学数学基礎解説

ディリクレのベータ関数の関数等式を示す

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ディリクレのベータ関数の関数等式を示す

どうも、らららです
最近ディリクレのベータ関数の関数等式を示したいって思ってたんですよ
そして示したので証明を書いていきます。

わたしは解析接続についてほとんど何も知らないので正しくない変形をしているかもしれません。

今回の記事は解析接続とかは気にせず関数等式を示していきます。

ディリクレのベータ関数の関数等式

$β (1 - s) = {(\frac{π}{2})}^{- s} \sin \frac{π s}{2} Γ (s) β (s)$

これを示していきます

ディリクレのベータ関数

$β (s) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)^{s}} Re (s) > 0$

フルヴィッツのゼータ関数

$ζ (s, a) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(n + a)^{s}} Re (s) \geq 1, Re (a) > 0$

$ζ (s, 1) = ζ (s)$

$\begin{aligned} ζ (s, 1) & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(n + 1)^{s}} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} \\ = ζ (s) \end{aligned}$

$β (s) = \frac{1}{4^{s}} (ζ (s, \frac{1}{4}) - ζ (s, \frac{3}{4}))$

$\begin{aligned} β (s) & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)^{s}} \\ = \frac{1}{1^{s}} - \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{5^{s}} - \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{9^{s}} - \frac{1}{11^{s}} \dots \\ = (\frac{1}{1^{s}} + \frac{1}{5^{s}} + \frac{1}{9^{s}} + \dots) - (\frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{7^{s}} + \frac{1}{11^{s}} + \dots) \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(4 n + 1)^{s}} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{(4 n + 3)^{s}} \\ = \frac{1}{4^{s}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{{(n + \frac{1}{4})}^{s}} - \frac{1}{4^{s}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{{(n + \frac{3}{4})}^{s}} \\ = \frac{1}{4^{s}} (ζ (s, \frac{1}{4}) - ζ (s, \frac{3}{4})) \end{aligned}$

この $s$ をどんな $s$ でも成り立つとします。

フルヴィッツのゼータ関数の関数等式

$Re (s) \geq 1 1 \leq m \leq n (n, m \in N)$
$ζ (1 - s, \frac{m}{n}) = \frac{2 Γ (s)}{(2 n π)^{s}} \sum_{k = 1}^{n} \cos (\frac{π s}{2} - \frac{2 π m k}{n}) ζ (s, \frac{k}{n})$

まめけびさんのこちらの記事で証明されている

それでは、ディリクレのベータ関数の関数等式の証明をします。

$\begin{array}{r} β (1 - s) = \frac{1}{4^{1 - s}} (ζ (1 - s, \frac{1}{4}) - ζ (1 - s, \frac{3}{4})) \end{array}$
$\begin{aligned} ζ (1 - s, \frac{1}{4}) & = \frac{2 Γ (s)}{8^{s} π^{s}} \sum_{k = 1}^{4} \cos (\frac{π s}{2} - \frac{π k}{2}) ζ (s, \frac{k}{4}) \\ = \frac{2 Γ (s)}{8^{s} π^{s}} (\sin \frac{π s}{2} ζ (s, \frac{1}{4}) - \cos \frac{π s}{2} ζ (s, \frac{1}{2}) - \sin \frac{π s}{2} ζ (s, \frac{3}{4}) + \cos \frac{π s}{2} ζ (s)) \end{aligned}$
$\begin{aligned} ζ (1 - s, \frac{3}{4}) & = \frac{2 Γ (s)}{8^{s} π^{s}} \sum_{k = 1}^{4} \cos (\frac{π s}{2} - \frac{3 π k}{2}) ζ (s, \frac{k}{4}) \\ = \frac{2 Γ (s)}{8^{s} π^{s}} (- \sin \frac{π s}{2} ζ (s, \frac{1}{4}) - \cos \frac{π s}{2} ζ (s, \frac{1}{2}) + \sin \frac{π s}{2} ζ (s, \frac{3}{4}) + \cos \frac{π s}{2} ζ (s)) \end{aligned}$
$ζ (1 - s, \frac{1}{4}) - ζ (1 - s, \frac{3}{4}) = \frac{4 Γ (s)}{8^{s} π^{s}} \sin \frac{π s}{2} (ζ (s, \frac{1}{4}) - ζ (s, \frac{3}{4}))$
$\frac{1}{4^{1 - s}} ζ (1 - s, \frac{1}{4}) - ζ (1 - s, \frac{3}{4}) = {(\frac{π}{2})}^{- s} Γ (s) \sin \frac{π s}{2} \frac{1}{4^{s}} (ζ (s, \frac{1}{4}) - ζ (s, \frac{3}{4}))$
$β (1 - s) = {(\frac{π}{2})}^{- s} \sin \frac{π s}{2} Γ (s) β (s)$